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etat de l’art et r´esultats de la th`ese
Cette th`ese porte sur la mod´elisation du trafic routier. Le but de la mod´elisation est de pouvoir reproduire la r´ealit´ physique `a l’aide de mod`eles math´ematiques qui per-mettent d’am´eliorer la compr´ehension du trafic routier. Ces mod`eles ont connu un d´eveloppement important au cours des derni`eres d´ecennies. Le trafic routier peut ˆetre mod´elis´ `a diff´erentes ´echelles et on distinguera deux ´echelles dans cette th`ese qui sont l’´echelle microscopique et l’´echelle macroscopique. A l’´echelle microscopique, on mod´elise la dynamique de chaque v´ehicule individuellement. L’avantage de l’approche micro-scopique est sa facilit´e et sa pr´ecision du point de vue mod´elisation. En effet, ces mod`eles d´ecrivent le comportement de chaque v´ehicule avec une grande pr´ecision en fonction d’une situation donn´ee, comme par exemple les feux rouges, le ralentissement ou le changement de la vitesse maximale. Un des mod`eles les plus connus `a l’´echelle microscopique est le mod`ele de type ”follow the leader”. Ces mod`eles d´ecrivent la vitesse de chaque v´ehicule en fonction des v´ehicules qui sont devant. De nombreux mod`eles `a l’´echelle microscopique ont et´ propos´es, on cite par exemple [80, 21, 48, 63].
Les mod`eles macroscopiques consistent eux `a d´ecrire le comportement collectif des v´ehicules. On d´ecrit par exemple l’´evolution de la densit´ des v´ehicules. L’avantage principal de ces mod`eles est qu’il est possible de faire des simulations num´eriques sur une grande partie de la route. Le premier mod`ele a` cette ´echelle est le mod`ele LWR pro-pos´e initialement par Lighthill Whitham en 1955 [70] et compl´et´ par Richards [82]. Ce mod`ele repose sur la loi de conservation de la masse. Il part du principe que la masse est transport´ee sans perte ni accumulation.
Le mod`ele LWR est exprim´ en coordonn´ees eul´eriennes (l’inconnu de ce probl`eme est la densit´e, et est donn´e en un point physique de la route `a un temps pr´ecis). Plus r´ecemment, d’autres approches ont et´ propos´ees. En utilisant les coordonn´ees lagrang-iennes, le mod`ele LWR peut ˆetre reformul´ pour d´ecrire le flux des v´ehicules en termes d’espacement entre les v´ehicules (qui est l’inverse de la densit´e, voir [69]). Tous ces mod`eles peuvent ´egalement ˆetre reformul´es `a l’aide d’une ´equation d’Hamilton-Jacobi (HJ) (l’inconnu devient la position du v´ehicule tel que sa d´eriv´ee est l’espacement, voir [76]). Le lien entre les lois de conservation et les ´equations HJ est donn´e dans [66, 79, 55] et tr`es r´ecemment pour la th´eorie du trafic routier dans [31, 32].
Dans cette th`ese, nous nous int´eressons aux mod`eles de trafic routier qui sont donn´es par des ´equations de HJ locales, non locales, p´eriodiques et stochastiques. Plusieurs mod`eles sont consid´er´es dans cette th`ese, o`u chacun d´ecrit des situations particuli`eres du trafic. Les mod`eles du trafic routier reposent sur des ´equations de Hamilton-Jacobi sur des r´eseaux, i.e des ensembles constitu´es de branches reli´ees entre elles par des points de jonction. On limite notre ´etude dans ce qui suit sur le cas d’un seul point de jonction. Sur la jonc-tion qui est form´ee de plusieurs routes entrantes et d’autres sortantes, le comportement des v´ehicules sur chaque branche est diff´erent, suivant les ph´enom`enes locaux du trafic. Ainsi pour les mod`eles de trafic a` l’´echelle macroscopique, on doit ´etudier des ´equations d’Hamilton-Jacobi discontinues. Les solutions de ces mod`eles sont donn´ees au sens de vis-cosit´e. La difficult´e vient du fait qu’au point de discontinuit´e la d´efinition des solutions de viscosit´e n’est pas classique. Les notions qui sont propos´ees dans cette th`ese sont associ´ees a` une motivation li´ee au trafic routier. Plus pr´ecis´ement, sur le point de discontinuit´e, not´e point de jonction, on compare le flux demande et le flux offre du trafic. On renvoie, pour la notion classique des solutions de viscosit´e, a` [14, 15, 27], a` [52, 59] pour des pre-miers r´esultats pour des ´equations discontinues et `a [1, 17, 56, 58, 73] pour les d´efinitions sur une jonction. Dans ces travaux, plusieurs notions diff´erentes de solutions discontin-ues d’´equations HJ discontinues ont et´ propos´ees pour prouver l’existence, des r´esultats de comparaisons et d’unicit´e sous diverses hypoth`eses (par exemple, si l’hamiltonien est convexe ce qui est le cas du trafic routier).
Chaque ´echelle, microscopique ou macroscopique, a ses propres avantages et d´esavantages. Le principal inconv´enient de l’´echelle microscopique, est que pour mod´eliser le trafic routier `a l’´echelle d’une ville, il est difficile de prendre en compte tous les v´ehicules et toutes leurs interactions, et pour les simulations num´eriques, o`u l’on doit traiter un grand nombre de donn´ees, ceci peut ˆetre tr`es coˆuteux, voire impossible. Dans ce cas il est plus judicieux de consid´erer un mod`ele macroscopique qui mod´elise le trafic grˆace `a des quan-tit´es macroscopiques. En revanche `a l’´echelle macroscopique, il est plus compliqu´e de d´ecrire des ph´enom`enes microscopiques, les ph´enom`enes locaux sont n´eglig´es.
Alors d’ici vient l’importance de ce qu’on appelle l’homog´en´eisation pr´ecis´ee: cette homog´en´eisation nous permet de trouver des probl`emes macroscopiques a` partir des probl`emes microscopiques en gardant en m´emoire des ph´enom`enes locaux. Dans ce cadre, on renvoie aux travaux d’Achdou et Tchou [2] et de Galise, Imbert et Monneau [45]. On renvoie ´egalement au travail de Forcadel, Salazar et Zaydan, [44] o`u ils ont obtenu des mod`eles macroscopiques de trafic routier a` partir des mod`eles microscopiques contenant des perturbations locales. A l’´echelle microscopique, ils ont consid´er´ un mod`ele du sec-ond ordre de type follow the leader, ensuite ils consid`erent une perturbation locale situ´ee a` l’origine qui fait ralentir les voitures. Au niveau macroscopique, ils obtiennent une ´equation de HJ `a gauche et `a droite de la jonction et une condition de jonction a` l’origine. Cette condition de jonction permet de voir l’influence de la perturbation microscopique au niveau macroscopique.
De plus, d’un point de vue mod´elisation on distingue deux approches pour d´ecrire le flux, un p´eriodique et l’autre stochastique. Des r´esultats d’homog´en´eisation pr´ecis´ee dans les deux cas sont pr´esent´es dans cette th`ese. Plusieurs r´esultats d’homog´en´eisations
Mod´elisation du trafic routier
p´eriodiques classiques et pr´ecis´ees ont et´ obtenus jusqu’`a pr´esent. Depuis le papier de Lions, Papanicolaou et Varadhan [72], les probl`emes d’homog´en´eisation des ´equations de HJ ont et´ enorm´ement etudi´es. On renvoie `a la section suivante pour plus de r´ef´erences. Dans ce cadre p´eriodique tous les conducteurs sont suppos´es identiques (type des v´ehicules, vitesses, r´eactions· · · ) ou distribu´es d’une fa¸con p´eriodique. D’un point de vue mod´elisation, ces mod`eles ne sont pas tr`es r´ealistes. Pour cela, on consid`ere ´egalement des mod`eles qui reproduisent mieux la r´ealit´ en tenant compte de la diversit´ des con-ducteurs (plusieurs types de v´ehicules sont pris en compte, comme des poids lourds et des voitures par exemple, vitesses diff´erentes, · · · ). Le premier r´esultat d’homog´en´eisation stochastique a et´ obtenu par Souganidis [86] et on renvoie ´egalement `a la section suiv-ante pour des r´esultats plus r´ecents. Dans notre travail nous traitons l’homog´en´eisation stochastique pr´ecis´ee, ce qui est `a notre connaissance le premier r´esultat du genre.
Enfin, pour la derni`ere partie de la th`ese, nous proposons un nouveau mod`ele non-local pour le trafic routier. Bien que plusieurs mod`eles non-locaux aient et´ propos´es au niveau loi de conservation scalaire (voir par exemple Chiarello et Goatin [25]), il s’agit `a notre connaissance du premier mod`ele non-local pour le trafic au niveau Hamilton-Jacobi. Ce mod`ele est obtenu a` partir d’une remise `a l’´echelle rigoureuse d’un mod`ele microscopique qui d´ecrit la vitesse de chaque v´ehicule comme une fonction d´ependant de la position d’un grand nombre de voitures se trouvant devant.
Pour ce mod`ele macroscopique, nous d´emontrons un r´esultat d’existence et d’unicit´e. Nous proposons ´egalement un sch´ema num´erique pour lequel nous montrons la conver-gence. Enfin, plusieurs simulations num´eriques sont effectu´ees.
Mod´elisation du trafic routier
Le trafic routier ob´eit `a des lois de la physique qui permettent d’expliquer la plupart des ph´enom`enes observ´es sur nos r´eseaux routiers. Pour comprendre le fonctionnement d’un r´eseau routier, une premi`ere approche consiste souvent a` mesurer l’´evolution de la vitesse du trafic en fonction du d´ebit (relation d´ebit-vitesse) qu’on le note par le diagramme fondamental, et d’en d´eduire des param`etres de fonctionnement du r´eseau, comme la vitesse libre ou la capacit´e.
Diagramme fondamental
• Les variables du trafic: les variables du trafic routier sont les suivants
1. le d´ebit f (le flux) qui repr´esente le nombre de v´ehicules N pass´es pendant une p´eriode Δt en un point donn´e: f = ΔNt ,
2. la densit´ (concentration) ρ qui repr´esente le nombre de v´ehicules N pr´esents sur une section de longueur Δx a` un instant donn´e: ρ = ΔNx ,
3. La vitesse V qui repr´esente la vitesse de d´eplacement du flux de v´ehicules (la vitesse moyenne). Cette vitesse peut ˆetre calcul´ee a` partir du d´ebit et de la concentration: V = fρ .
Table des matières
Abstract
Remerciements
1 Introduction, ´etat de l’art et r´esultats de la th`ese
1 Introduction g´en´erale
2 Mod´elisation du trafic routier
2.1 Diagramme fondamental.
2.2 Passage des ´equations de type loi de conservation aux ´equations de type Hamilton-Jacobi sur des r´eseaux.
3 Homog´en´eisation pr´ecis´ee sur des r´eseaux
3.1 Homog´en´eisation des ´equations de HJ sur une droite
3.2 Homog´en´eisation p´eriodique sur une jonction
3.3 G´en´eralisation du cadre p´eriodique au cadre stochastique
3.4 Homog´en´eisation stochastique sur une droite
3.5 Probl`eme m´etrique
3.6 Homog´en´eisation stochastique sur une jonction.
4 Mod`ele non-local pour le trafic routier
4.1 Etude du mod`ele non-local et r´esultats d’homog´en´eisation.
4.2 Sch´ema num´erique
2 Pr´e-requis
1 Notations.
2 Aper¸cu des ´equations de Hamilton-Jacobi et solutions de viscosit´e.
3 Solutions de viscosit´e continues des ´equations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.
4 Solutions de viscosit´e discontinues
5 Existence de la solution de viscosit´e
3 A junction condition by homogenization on network and applications
to traffic flow
1 Presentation of the problem and traffic flow motivations
1.1 Setting of the problem
1.2 Organization of the paper
2 Definition of viscosity solutions on junction and some useful properties
3 Comparison principle for (1.3)
4 Construction of the flux limiter A
4.1 Truncated problem
5 Construction of a global corrector
6 Convergence result of the rescaled problem (1.1)
4 Stochastic homogenization of Hamilton-Jacobi equations on a junction
1 General Introduction
2 Assumptions and main results
2.1 Main result
2.2 Organization of the paper
3 Metric problem far from the origin.
4 Metric problem at the junction point
4.1 Definition of the metric problem at the junction and of the stochastic flux limiter
4.2 Properties of the solution of the metric problem
4.3 Deterministic flux limiter.
5 Homogenization result of metric problems defined in half space
5.1 A discritization scheme
5.2 Proof of Theorem 5.3.
5.3 Proof of Theorems 5.1 and 5.2
5.4 Some properties of mμ(x, y).
6 Main results for the approximated corrector at the junction point.
6.1 Existence of approximated correctors at the junction point.
6.2 Control of slopes
6.3 Proof of Theorem 6.1
7 Convergence result of the rescaled problem (2.4)
7.1 A junction condition by stochastic homogenization on a junction
5 A non-local macroscopic model for traffic flow
1 Introduction
1.1 Description of the model and assumptions
1.2 Main results
2 Well-posedness of the microscopic problem
3 Well-posedness of the macroscopic model
4 Homogenization result.
5 Numerical tests
5.1 Discretization aspects and numerical scheme
5.2 Analysis of the scheme
5.3 Some numerical illustrations.
6 Conclusion et perspectives
1 Perspectives
Bibliography
