PLANS PROJECTIFS, GRAPHES ET ALGEBRES SIMPLES

Algèbres de Jordan

Si k est un corps, une algèbre de Jordan est une k-algèbre commutative qui satisfait l’égalité suivante : x²(xy) = x(x²y). Une k-algèbre de Jordan J est centrale simple si la K-algèbre K⊗k J est une K-algèbre simple pour toute extension K/k. Remarquons que toute algèbre commutative satisfaisant l’identité x² = 0 est une algèbre de Jordan. On se donne maintenant une simple construction du produit interne de l’espace vectoriel H(X). Définissons H comme l’espace vectoriel sur le corps k de caractéristique 2, dont la base est déterminée par les sommets du graphe F et le produit interne défini comme suit : ∀ τ, σ ∈ F, (τ, σ) = 1 si τ, σ adjacents et (τ, σ) = 0 sinon DEFINITION 2.0.15. On définit sur H une structure d’algèbre qu’on note toujours par H en définissant la multiplication par : στ = (σ, τ) ( σ + τ), pour tous τ, σ ∈ F Après extension par bilinéaire, H est une k-algèbre (commutative mais non associative) telle que x² = 0 pour tout x ∈ H et cela se montre facilement. ( H n’est pas une algèbre de LIE, mais il y a une forte ressemblance avec la construction de la théorie des groupes de NOBUSAWA ; nous parlerons des algèbres de LIE sur 2 au chapitre 3, en partant d’une construction de KAPLANSKY). Nous considèrerons toujours que H admet F comme base. DEFINITION 2.0.16. Si h ∈ H, alors h = τ τ ∑ τ ∈I r Où I⊂ F et rk ∈ k- {0}. Le support de h est I, et nous noterons supp(h) = I ; la longueur de h, notée λ(h), est |I| = |supp(h)|. LEMME 2.0.17. Si E = { h ∈ H : λ(h) est pair }, alors E est un idéal de dimension n3 – 1 et H² ⊂ E. DEMONSTRATION. Si h, h’ ∈ H alors il est facile de voir que supp(h + h’) = supp(h) ∆ supp(h’) ( où ∆ l’opérateur différence symétrique) ; il s’ensuit que si λ(h) et λ(h’) sont pairs, alors λ(h + h’) est aussi pair ; d’où E est un sous-espace de H. En fixant σ ∈ F, l’ensemble {σ + τ : τ ∈ F, τ ≠ σ } est un sous-espace indépendant de E, ainsi dim E ≥ n 3 – 1 ; puisque E est un sous-espace propre de H, il s’ensuit que dim E = n3 – 1. Soit h = i I i ∑rτ ∈E et soit h = j J j ∑r τ ‘ ∈H tous les r’j et ri étant supposés non nuls ; alors hh’ = Σ rir’jτiτj = Σ rir’j (τI ,τj) (τI + τj ) . Puisque τI + τj ∈ E, il vient que hh’∈ E, donc E est un idéal de H qui convient évidemment H². THEOREME 2.0.18. (i) H admet un idéal propre unique, H² = E. (ii) Si n ≥ 7, alors H² est une k-algèbre centrale simple. 9 DEMONSTRATION. (i) Soit I un idéal non nul de H. (1) Si σ ∈ H pour un certain σ ∈ F alors I = H. Nous avons montré que I contient σ + τ pour tous τ ∈ F ; puisque σ ∈ I, par hypothèses, il s’ensuit que F⊂ I et I = H. Si = (τ, σ) = 1, alors τσ = τ + σ ∈ I. Si α ∈ F et dist(α,σ) = 2 (distance dans le graphe connexe F), alors ( σ + τ)α =σα + τα = τα = (τ,α)(τ + α) ∈ I Choissons τ0 ∈ σ avec (τ0 , α) = 1 ; alors τ0 + α ∈ I . D’où ( σ + τ0 ) + (τ0 + α ) = σ + α ∈ I. Si β ∈ F et dist(β,σ) = 3, choisissons α0 ∈ F avec (α0 , β) = 1 et dist(α0 ,σ) = 2. Comme précédemment, (σ + α0 )β = α0 β = α0 + β ∈ I et donc (σ + α0 ) + (α0 + β ) = σ + β ∈ I. (2) Si h = ρ + λσ ∈ I ( où ρ, σ ∈F, λ ∈ K, λ ≠ 0), alors I = H² ou I = H. Nous avons montré que I contient { ρ + τ : τ ∈ F } ; d’après le lemme précédent , I ⊃ E, un sous-espace de codimension 1, et le résultat en découle. Remarquons que cela montre que H² = E, pour H² un idéal contenant un élément de la forme ρ + σ, et H² ≠ H. Il existe τ0 ∈ F avec (ρ,τ0 ) = 1 et (σ,τ0 ) = 0. D’où (ρ + λσ)τ0 = ρ + τ0 ∈ I. Il existe α0 ∈ F avec dist(α0 , ρ) = 2 et (α0 ,τ0 ) = 1. D’où (ρ + τ0 )α0 = τ0 + α0 ∈ I, et ceci implique que (ρ + τ0 ) + (τ0 + α0 ) = ρ + α0 ∈ I. Il existe β0 ∈ F avec dist(β0,ρ) = 3 et (β0 , α0 ) = 1. D’où (ρ + α0 )β0 = α0 + β0 ∈ I et (ρ + α0 ) + (α0 + β0 ) = ρ + β0 ∈ I. Maintenant soit τ ∈ F satisfaisant (τ,ρ) = 1. Alors (ρ + β0)τ = ρ + τ ∈ I ( car (β0 ,τ) = 0). Si α ∈ F et dist(α,ρ) = 2, il existe τ’ ∈ F avec (τ’, ρ) = 1 = (τ’, α). D’où (ρ + τ’)α = τ’+ α ∈ I, ce qui implique que (ρ + τ’) + (τ’+ α) = ρ + α ∈ I. Enfin, prenons β ∈ F avec dist(β,ρ) = 3, il existe α’ ∈ F avec (α’, β) = 1 et tel que dist(α’, β) = 2. Comme précédemment, (ρ + α’ )β = α’ + β ∈ I et (ρ + α’) + (α’+ β ) = ρ + β ∈ I. (3) Si h ∈ I –{0} est de longueur positive minimale, alors λ(h) ≤ 2. Soit h = i I i ∑rτ , avec ri ≠ 0. Si σ ∈ F, alors hσ = ∑ (τ ,σ )(τ +σ ) i i I ir = i I irτ σ ∑ ∩ + σ σ (∑ ) I∩ ir . En particulier, choisissons τ0 ∈ supp(h) et choisissons σ ∈ 0 τ . Alors hσ = i I irτ σ ∑ ∩ + σ σ (∑ ) I∩ ir car τ ∈ I ∩ σ ; de plus, supp(hσ) ⊂ {σ} ∪ σ . D’après le lemme 1.0.9 (ii), σ = A1∪ A2 ∪ A3, une union disjointe de cliques orthogonales. Ainsi, hσ = tσ = Σα’i + Σα’’j + Σα’’’k , où t ∈ k, et α’i ∈ Ai , etc. Puisque λ(hσ) = 2 et c’est ok, ou bien on peut supposer, sans perte de généralités, que soit hσ = σ + α’ + α’’ + α’’’, soit α’1 ≠ 0 et α’2≠ 0. Dans le premier cas, (hσ)α’ = tσα’1 + ∑ (α’i + α’1) = t(σ + α’1) + |I ∩ A1|α’1 + ??? α’i . Remarquons que, x ∈ I, supp(x) ⊂ A1, et x ≠ 0. Mais si α1,…,αm appartiennent à une même clique, il existe β ∈ F avec (β , α2 ) = 1 et (β , αi) = 0 pour tout i ≠ 2 (lemme 1.0.10(i)). D’ où xβ = β + α2 ∈ I est un élément de I de longueur 2. Ainsi, (1) et (2) terminent la preuve de (i). (La non associativité de H nous empêche de conclure immédiatement que H² est centrale simple. Si S est un idéal d’un anneau non associatif R, alors un S-idéal contenu dans S n’est pas nécessairement un R-idéal. Par exemple, si G est un groupe et k un corps, définissons une k-algèbre k[G] comme étant l’espace vectoriel sur le corps k, de base G dont la multiplication de deux éléments x et y de la base définie par yxy-1 .Si S est un sous-groupe de G, il est facile de voir que k[S] est une sous-algèbre de k[G] qui est un idéal ssi S est un sous-groupe distingué dans G. D’où, si T est un sous-groupe distingué de S lequel n’est pas distingué dans G, alors k[T] est un idéal de k[S] qui n’est pas un idéal de k[G]. On montre que ce phénomène ne se présente pas dans notre cas.) (ii) Soit J un H² – idéal non nul de H². Ainsi, J est invariant par la multiplication entre éléments de longueur paire. 

Algèbres de LIE

Nous allons construire quelques algèbres de LIE centrales simples sur k = 2 dans ce chapitre DEFINITION 3.0.22. (NOBUSAWA). Un ensemble S muni d’une opération binaire  est symétrique si, pour tout a, b, c ∈ S, on a : (i) a  a = a ; (ii) (b  a)  a = b ; (iii) (b  c)  a = (b  a)  (c  a). Il est. facile de voir que ϑ : b → b  a est une bijection pour tout a ∈ S ; en effet, c’est un automorphisme du système (S ,  ) d’ordre 2. DEFINITION 3.0.23. Un espace alterné est un espace vectoriel sur k = 2 muni d’une forme bilinéaire alternée (dégénérée ou pas). Si G est un graphe, on définit k{G}, l’espace vectoriel sur k = 2 de base G. La matrice d’adjacence de G munit V d’une forme bilinéaire alternée, et nous nommerons k{G} l’espace alterné de G. Il est facile de vérifier qu’un sous-ensemble S d’un espace alterné V clos sous l’opération a  b = a + (a,b)b est un ensemble symétrique. On appelle un tel sous-ensemble S un ensemble symétrique abélien . Une propriété remarquable des ensembles symétriques abéliens, qui n’est pas vraie en général pour les ensembles symétriques, est que a  b ≠a ⇒ a  b = b  a LEMME 3.0.24. (KAPLANSKY) Soit S un ensemble abélien symétrique, et soit L(S) l’espace vectoriel sur k de base {ea : a ∈ S }. Définissons la multiplication dans L(S) par eaeb = (a, b)ea o b . Ainsi, L(S) est une algèbre de LIE de dimension |S| sur k. DEMONSTRATION . La commutativité de la multiplication vient du fait que S est un ensemble abélien symétrique : (a,b) = 1, alors a  b = b  a . Nous munissons , L(S) d’une forme bilinéaire alternée (ea,eb) =(a, b) pour tout a, b ∈ S. Il y a quatre cas pour vérifier l’identité de Jacobi pour ea, eb, ec, illustré ci-dessous (une arête a et b signifie que (a,b) = 1; aucune arête n’est définie ailleurs). Chacun des cas ci dessus est simple, vérifions par exemple le cas 2: (a,b) = 1, (a,c) = 1 et (b,c) = 0. eaeb.ec + ecea.eb + ebec.ea = ea o bec + ec o aeb + eb o cea = ea o bec + ec o aeb (car (b,c) = 0). Par conséquent, a  b = a + b et (a  b,c) = ( a +b,c) = (a,c) + (b,c) = 1+0=1. D’ où ea o bec = e(a o b)ec a b c a a a b b b c c c Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4 13 . De manière analogue, on a ec o aeb = e (co a)ob, et leur somme est nulle (car k est de caractéristique 2). Définissons une structure de graphe sur un espace vectoriel alterné V comme suit: pour a, b ∈ V on dira que: a et b sont adjacents ssi (a,b) = 1. Nous pouvons considérer tout sous-ensemble S de V comme un sous-graphe fermé de V (deux sommets de S sont adjacents dans S ssi ils sont adjacents dans V). DEFINITION 3.0.25. Soit σ τ, deux sommets d’un graphe G. Un sommet ρ sépare σ de τ si ρ est adjacent à exactement un d’entre eux. Un graphe G est séparable si toute paire de sommets peut être séparée. D’après le lemme 1.0.10 (ii) le graphe F est séparable. Notons que si σ et τ sont adjacents, alors tout autre sommet les sépare; si dist(σ ,τ ) ≥ 3, alors tout sommet adjacent à l’un les sépare. Donc, la séparation est une propriété sur les sommets de distance 2. Il est facile par conséquent de voir qu’un graphe connexe est séparable ssi a = b ⇒ a = b (rappelons que a est l’ensemble de tous les sommets adjacents à a) . THEOREME 3.0.26. Si S est un ensemble symétrique abélien dont le graphe est connexe et séparable, alors L(S) est une algèbre de LIE centrale simple sur 2 . DEMONSTRATION . Tout h ∈ L(S) a une valeur λ (h), à savoir, le nombre de ea nécessaire pour l’exprimer comme une combinaison linéaire . Soit I ≠ 0 un idéal de L(S), et choisissons h ∈ I de longueur positive minimale de l. Nous faisons une induction sur l ≥ 1 que I = L(S). Si l = 1, alors h = ea pour un certain a ∈ S. Si b ∈ S, alors eaeb = (a,b)e(a o b) . S’il existe une arête dans S joignant a et b, alors eaeb = ea + b ∈ I et ea + bea = eb ∈ I . Plus généralement, s’il existe un chemin dans S de a à b, alors ea∈ I entraîne que eb ∈ I. Puisque le graphe est connexe, eb ∈ S pour tout b ∈ S, et donc I = L(S). Si l  1, alors h = a a A ∑r e avec |A| ≥ 2 et ra = 1 pour tout a ∈ A. Si b ∈ S, alors heb = a ab A b r e ∩ ∑  où b = { s ∈ S : (s,b) =1 }. Notons que si a et a , sont des éléments distincts de A, alors a  b ≠ a ,  b . Donc λ (heb ) = |A ∩ b |, d’où heb ≠ 0. Si A ∩ b ≠ ∅ . Choisissons a, a , ∈ A avec a ≠ a , . Puisque S est séparable, il existe b ∈ S qui les sépare. Alors A ∩ b ≠ ∅ , donc heb ≠ 0 et |A ∩ b | < |A|. D’ où l’hypothèse d’induction s’applique et I = L(S). Soit K une extension du corps k, et soit J un idéal non nul de K⊗L(S). Choisissons h ∈ J, h ≠0 ; alors, h = a a A ∑r e où A ⊂ S et tous les ra ∈ S sont non nuls. Si |A| ≥ 2 et a,b ∈ A, la séparabilité fournit un c ∈ S avec (a,c) = 1 et (b,c) = 0. L’élément hec est un élément non nul de J de longueur minimale. Donc, nous pouvons supposer que J contient raea pour un certain a ∈ S et un élément non nul ra ∈ K ; puisque K est un corps, nous pouvons supposer que ea ∈ J. La connectivité de S nous montre que J contient { ea : a ∈ S}, qui est une K – base , et donc J = K⊗L(S). NOBUSAWA définit un ensemble symétrique simple S, comme ne contenant aucun sous-ensemble symétrique propre B avec |B| ≥ 2 et (B c) ∩ B = B ou ∅ pour tout c ∈ S. THEOREME 3.0.27. Un ensemble symétrique S est simple si, et seulement s’il est connexe et séparable DEMONSTRATION . Si S est connexe et séparable, alors S est simple. ( Dans l’article de N. NOBUSAWA, SIMPLE SYMMETRIC SETS AND SIMPLE GROUPS, OSAKA J. MATH , la transitivité de NOBUSAWA donne la connectivité, et son autre hypothèse est la séparabilité ). Supposons que S est simple. Si B est une composante de S, alors a,b ∈ B implique que a  b ∈ B, d’où B est sous-ensemble symétrique de S. Si c ∉ B ; alors (b,c) = 0 pour tout b ∈ B, et b  c = b ; d’où B c = B. Si avec |B| = 1, on a aussi B c = B. Si c ∈ B et |B| alors B connexe entraîne qu’il existe b ∈ B avec (b,c) = 1. Par conséquent, b  c = b + c ∈ B car (b+c,b) = (c,b) = 1. Donc B c ⊂ B (finalement, B c = B car l’application ϑc : S →S définie par s → s  c est une bijection). Puisque S est simple, B = S et donc S est connexe. 14 Si S n’est pas séparable, alors il existe a,b ∈ S qui ne peuvent pas être séparés nous pouvons supposer que a et b sont adjacents . Définissons B={a,b} tel qu’il soit un sous-ensemble symétrique de S. Si c ∈ ={a,b}, alors B c = B. D’autre part, c est adjacent à a et à b. Donc, b  c = b + c et a  c = a + c. Supposons (B c) ∩ B ≠ ∅ ; soit a + c ∈ B . Alors soit , a + c = a, soit a + c = b. Dans le premier cas, on a c = 0, cela contredit (a,c) ≠ 0. Dans le second cas, on a forcément b+ c = a, et donc B c = B. L’un ou l’autre cas contredit la simplicité de S. COROLLAIRE 3.0.28. (CHARNES). Si S est un ensemble symétrique abélien simple, alors L(S) est une algèbre de LIE centrale simple sur 2 DEMONSTRATION . Elle est immédiate à partir du théorème. DEFINITION 3.0.29. Si V est un espace alterné, toute intersection de sous-ensembles symétriques abéliens est aussi; si B est un sous-ensemble quelconque de V, sa clôture B∗ est le sous-ensemble symétrique abélien engendré par B. Si B ⊂ V est un sous-ensemble, on définit B B ={x + (x,y)y : x, y ∈ B}. Remarquons que B ⊂ B B, pour x = x + (x,x)x. DEFINITION 3.0.30. Si B ⊂ V, où V est un espace alterné, on définit B0 = B et Br+1 = Br  Br . Remarquons que Br ⊂ Br+1. LEMME 3.0.31. Soit B ⊂ V, où V est un espace alterné. Si B∗ désigne sa clôture, alors B∗ =  r≥0 Br . DEMONSTRATION .Il est clair que B∗ contient l’union ∪. D’autre part, U est un ensemble Symétrique : si α, β ∈ U, alors il existe r ≥ 0 avec α, β ∈ Br , et α β ∈ Br+1 ⊂U. LEMME 3.0.32. Si B est un sous-ensemble connexe d’un espace alterné V, alors sa clôture B∗ est aussi connexe DEMONSTRATION . Au sens du lemme précédent, il suffit de prouver que si B est connexe alors B B l’est aussi. Chaque nouveau élément de B B (i.e, qui n’est pas dans B) est de la forme a + (a,b)b, où a,b ∈ B et (a,b) = 1. D’où (a +b,b) = 1, et il existe une arête joignant a + (a,b)b et a. Donc, B B est connexe. DEFINITION 3.0.33. Un graphe connexe régulier est bien régulier si | a ∩ b | ne dépend pas des sommets adjacents a et b. Un graphe bien régulier est fortement régulier si | a ∩ b | ne dépend pas du choix des sommets distincts non-adjacents a et b. Si H est bien régulier, posons λ = | a ∩ b | lorsque a et b sont adjacents ; si H est fortement régulier, posons µ = | a ∩ b | lorsque a et b ne sont adjacents.