Présentation du radar de sol

Le radar de sol (appelé aussi géoradar ou radar géologique de surface) est une méthode de prospection géophysique basée sur la propagation des ondes électromagnétiques (EM) de fréquences variant de 1 à 3000 MHz. Les ondes électromagnétiques sont rééchies ou diractées aux frontières d’objets qui présentent des diérences de propriétés électriques et/ou magnétiques. La permittivité diélectrique, la conductivité électrique et la perméabilité magnétique sont les trois paramètres pétrophysiques qui déterminent la réectivité de limites de couches et la profondeur de pénétration. Ce chapitre est destiné à rappeler brièvement la théorie de l’électromagnétisme pour comprendre les phénomènes impliqués. D’abord, nous allons dénir les trois paramètres pétrophysiques caractérisant le comportement électromagnétique d’un milieu. Puis nous décrirons les équations régissant la propagation et la réexion des ondes électromagnétiques dans un milieu hétérogène. Nous développerons le cas de la propagation des ondes électromagnétiques appliquée à la méthode du radar de sol. Puis nous introduirons la méthode de simulation numérique de propagation d’ondes électromagnétiques par diérences nies en domaine temporel. Ces développements s’appuient sur des manuscrits de thèse sur le géoradar (Leparoux, 1997; Saintenoy, 1998; Lutz, 2002), des livres (Daniels, 2004; Sato, 2009), des chapitres de livres (Blindow et al., 2007; Mari et al., 1998; Moorman, 2002) et diérents articles (Knight, 2001; Perez, 2005; Davis and Annan, 1989). 

Notions d’électromagnétisme 

Paramètres électromagnétiques

Les ondes électromagnétiques sont composées de champs électriques et magnétiques qui se propagent dans l’espace et le temps. Ces ondes électromagnétiques sont caractérisées par leur fréquence, qui est mesurée par le nombre de cycles par seconde (Hertz, Hz) des champs électriques et magnétiques (Fig. 1.1). Les ondes électromagnétiques sont régies par les équations de Maxwell (Maxwell, 1881). Ces quatre équations diérentielles couplées fournissent les relations entre le champ électrique, le champ magnétique, le temps t et l’espace. Ces équations utilisent trois paramètres qui rendent compte des propriétés électromagnétiques du milieu qui sont la perméabilité magnétique, la permittivité diélectrique, et la conductivité électrique. Il faut donc connaître ces trois propriétés pour décrire le comportement des champs électromagnétiques. La perméabilité magnétique La perméabilité magnétique correspond à l’énergie stockée ou perdue dans le matériau suite aux phénomènes d’induction magnétique. Elle est utilisée pour décrire le comportement électromagnétique de la matière soumise à un champ magnétique. Dans le vide, en absence de sources externes, la relation entre l’induction magnétique −→B et le champ magnétique −→H s’écrit −→B = µ0 −→H , (1.1) avec µ0 = 4π10−7Hm−1 , la perméabilité magnétique du vide. Or, la grande majorité des matériaux géologiques rencontrés dans la pratique ne réagissent que très faiblement à une excitation magnétique et la perméabilité magnétique relative sera souvent prise égale à 1. Seuls quelques minéraux, tels que la magnétite ou l’hématite ont une susceptibilité magnétique non négligeable. Ces minéraux étant en quantité inme dans les milieux favorables à l’utilisation du géoradar, l’estimation µ ≈ 1 est très souvent adoptée. Par ailleurs, nous considérerons dans cette thèse que la perméabilité magnétique est réelle et ne dépend pas de la fréquence.

La permittivité diélectrique

 La permittivité diélectrique d’un matériau rend compte de sa capacité à être polarisé sous l’inuence d’un champ électrique, ce qui provoque le déplacement relatif de charges liées positives et négatives (Lutz, 2002). Nous utiliserons la notation usuelle en électromagnétisme en dénissant la permittivité complexe ε ∗ , qui prend en compte le déplacement de charges électriques dans sa partie réelle, ε 0 et la dissipation associée au déplacement des charges et les pertes de conduction dans sa partie imaginaire, ε 00. Nous avons ε ∗ = ε 0 − i ε00 , (1.2) où ε 0 est la partie réelle, et ε 00 est la partie imaginaire de la permittivité diélectrique avec i 2 = −1. Le paramètre ε 00 est parfois appelé facteur de perte. Il se rapporte aux pertes d’énergie responsables de l’atténuation et de la dispersion du signal radar. On dénit l’angle de perte, δ, tel que, tan δ = ε 00 ε 0 . Le paramètre εr est le ratio de la permittivité diélectrique du matériau à la permittivité diélectrique du vide ε0 et peut être exprimé comme εr = ε ∗ /ε0 = ε 0 r − iε00 r (1.3) avec ε0 = 8, 854 10−12 F/m. La partie réelle ε 0 r de la permittivité relative est le paramètre le plus couramment utilisé pour décrire la permittivité diélectrique d’un milieu. 

La conductivité électrique 

La conductivité électrique σ d’un matériau s’exprime en Siemens par mètre (S/m), et décrit le ux de charges électriques pendant le passage d’une onde électromagnétique, et peut grandement aecter la perte d’énergie ou de l’atténuation du signal électromagnétique (Blindow et al., 2007). D’après la loi d’Ohm, les courants de conduction sont reliés au champ électrique dans le cas d’un conducteur linéaire, homogène et isotrope par la relation −→Jc = σ −→E , (1.4) avec −→Jc , la densité de courant des charges libres (en A/m2 ) et −→E , le champ électrique appliqué (en V/m). Comme la permittivité diélectrique, la conductivité électrique peut être dénie par une grandeur complexe σ ∗ = σ 0 + i σ00 , (1.5) où σ 0 et σ 00 sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de la conductivité électrique. Lorsque l’on considère uniquement les pertes ohmiques (i.e. uniquement la partie réelle de la conductivité), on peut écrire que la partie réelle de la conductivité électrique σ 0 est liée à la partie imaginaire de la permittivité diélectrique ε 00 et à la fréquence f par ε 00 = σ 0 ω , (1.6) où ω = 2πf est la pulsation du signal. On considérera dans la suite de ce manuscrit que la conductivité électrique est indépendante de la fréquence. Les valeurs de la conductivité électrique des matériaux varient sur plusieurs ordres de grandeurs. Ils existent deux facteurs qui augmentent la conductivité électrique. D’une part la quantité de sels présents dans l’eau du matériau, d’autre part la présence d’argile en raison de la structure moléculaire ionique particulière à ces derniers qui ont des niveaux élevés de cations échangeables 1 . Nous reviendrons sur la conductivité électrique dans la deuxième partie de ce manuscrit.