Propagation et validité du modèle

Les coefficients αi , βi de chaque mode dans le modèle (3.17) peuvent être corrélés. Pour analyser l’influence de l’amplitude de chaque mode sur le couple, il est peut être plus pertinent d’écrire (3.17) sous la forme suivante : Dans cette partie, on ne s’intéresse qu’aux mesures de la couche 15 pour chaque stator S0, S1, S2, S7, S20. Pour les 5 mesures de 15 0 ( ) k e θ , k=1 :5 qui correspondent aux mesures de la couche 15 des 5 stators, on obtient 5 réalisations des coefficients ai et φi , i=0, 2, 4, 6 qui sont déterminés en utilisant la méthode des moindres carrés présentée en 3.2.1. Validation du modèle Dans un premier temps, on s’intéresse aux couples C15(α) correspondant aux mesures 15 0 e( ) θ de la couche 15 de chaque stator S0, S1, S2, S7, S20 et aux couples C15a(α) obtenus en utilisant l’approximation 15 0 ( ) n e θ de 15 0 e( ) θ donnée par la relation (3.18). Dans le Tableau 10, on donne l’écart (en %) entre les valeurs maximales des couples C15(α) et C15a(α) pour chaque stator. Tableau 10. Ecart entre C15(α) et C15a(α) pour chaque stator Stator S0 S1 S2 S7 S20 Ecart -0.29% -0.18% -0.20% 0.29% 0.35% On donne sur la Figure 98 l’évolution de deux couples pour les stators S1 et S20. Propagation et validité du modèle 125 Figure 98. Couples C15(α) et C15a(α) pour les stators S0 et S1 On peut constater que le couple obtenu en utilisant comme entrée du modèle numérique le modèle des rayons donné par (3.18), après l’identification des coefficients ai et φi par une méthode des moindre carré régression, est proche de celui obtenu dans le cas des rayons mesurés. Influence des modes Dans le deuxième temps, on va analyser la contribution des modes de déformation sur la variation du couple. Pour chaque mode, on suppose que l’amplitude suit une loi gaussienne et la phase suit une loi uniforme. La valeur moyenne et l’écart type de ces variables sont déterminés d’une façon empirique à partir de 5 valeurs disponibles pour la couche 15 de 5 stators. Les valeurs moyennes et les écarts types sont donnés dans le Tableau 11. Remarque : La loi d’une variable aléatoire Gaussienne est parfaitement déterminée en connaissant la valeur moyenne et l’écart type de celle-ci. De même, si une variable aléatoire est uniforme sur [a, b], on peut montrer que .

Influence de la largeur des dents

Dans cette partie, on s’intéresse au flux qui traverse la phase 1 du stator en fonction du courant de l’inducteur dans le rotor. Dans ce cas, le rotor reste immobile et sa position est fixée à α=0 (Figure 82). On effectue les calculs avec différentes valeurs de la largeur des dents. Comme aucune mesure de largeur de dent n’était disponible, on impose les lois de variation de celle-ci. On suppose aussi que les autres dimensions sont égales aux dimensions nominales. Le matériau du rotor est le même que celui de la partie 3.2.2. Par contre, on utilise un matériau non linéaire pour le stator. La courbe (B, H) est présentée sur la Figure 99: Figure 99. Loi B(H) du matériau utilisé pour modéliser le matériau ferromagnétique Jusqu’à présent, la méthode de transformation a été utilisée pour résoudre des problèmes linéaires en magnétostatique avec des incertitudes portées par la géométrie. Dans cette partie, comme le matériau utilisé pour le stator est non linéaire (Figure 99), une extension de la méthode de transformation dans le cas non linéaire est nécessaire et sera présentée par la suite.

Méthode de transformation dans le cas non linéaire

On s’intéresse à un problème de magnétostatique avec des incertitudes portées par la géométrie défini dans 1.4.1 mais avec une relation non linéaire entre l’induction magnétique B et le champ magnétique H. La loi de comportement est donnée par : B H H H = = ⋅ g( , , ) ( , , ) x x ξ ξ µ (3.20) Avec les mêmes notations utilisées dans la partie 1.4.2.3. On obtient une formulation faible en potentiel scalaire dans le cas non linéaire donnée par (1.131): 0En utilisant (1.130) on peut ramener (3.21) en utilisant le domaine de référence E comme domaine d’intégration à la forme suivante : 0 E ( ( 0 M M grad grad M ( , ) ( , , ( , ) ( , ) ( ))) ( )) det( ( , )) X X X X X X X X dX X Ω + ′ γ α λ = ∫ g ξ ξ ξ ξ ξ (3.22) Il apparaît donc une différence dans le cas linéaire (1.135) par rapport au cas non linéaire. Néanmoins, on peut montrer qu’en appliquant une transformation discrète, on retrouve le même système non linéaire à résoudre que si on effectue un déplacement des nœuds (voir la partie 2.1.3). Dans cette partie, la transformation discrète décrite dans la partie 3.1.2.1 est utilisée pour calculer les flux magnétiques traversant la phase 1 du stator. 3.5.2. Résultats obtenus. On se propose dans la suite d’étudier 8 scénarios possibles : Les scénarios 1 et 2 correspondent aux cas où les largeurs des dents sont égales (les dimensions sont alors parfaitement corrélées) et prennent respectivement les valeurs lmax =4.15mm et lmin=3.80mm. Les scénarios 3, 4 et 5 correspondent aux cas où les largeurs des dents sont égales (parfaitement corrélées) et prennent successivement trois réalisations d’une variable aléatoire uniforme définie dans l’intervalle [lmin – lmax]. Les scénarios 6, 7 et 8 correspondent au cas où l’on considère que les 36 largeurs de dents sont des variables aléatoires indépendantes. Elles constituent un vecteur des variables aléatoires uniformes dans l’intervalle [lmin – lmax]. On considère alors 3 réalisations pour ces largeurs des dents. Puis, trois simulations numériques correspondant aux cas d’un stator avec ces largeurs des dents ont été réalisées. On trace sur la Figure 100 l’évolution du flux traversant la phase 1 du stator en fonction des Ampère tours imposés au rotor. Il y a alors 8 courbes correspondant aux 8 scénarios.