Quelques aspects combinatoires et arithmétiques des variétés toriques complètes

Variétés toriques – Généralités 

Ce chapitre présente la théorie générale des variétés toriques déployées sur un corps quelconque. Dans tout ce chapitre K désigne un corps quelconque et T ≃ (GL1) n un tore déployé sur K (voir par exemple A. Borel, [Bor91] p. 114). Sauf mention explicite du contraire, les résultats présentés dans ce chapitre sont tirés de l’ouvrage de référence [CLS11]. La plupart des résultats se trouvent également dans le très classique [Ful93] ainsi que dans [Dan78] qui, contrairement aux précédents traite des variétés toriques sur un corps de base quelconque. Quelques remarques sont données, lorsque nécessaire, sur les résultats ou les preuves qui dépendent du corps de base. Dans ce chapitre, on désignera par K un corps quelconque. On notera Ksep une clôture séparable et K une clôture algébrique. Une variété torique déployée sur K est une variété irréductible X contenant un tore T déployé sur K comme ouvert de Zariski et tel que l’action naturelle de T sur lui-même par multiplication s’étend en une action de T sur X tout entière. Toutes les variétés toriques considérées dans ce document sont des variétés toriques déployées. Tout au long du document le terme variété torique sera employé pour variété torique déployée. Remarque – Puisque T est supposé déployé, son groupe des caractères M est isomorphe à Z n d’après [Bor91] (paragraphes 8.4 et 8.5). Cela sera utile dans la section sur les coordonnées homogènes. 

Caractères et groupes à un paramètre 

Définition 1.1.2 Soit T ≃ (GL1) n un tore déployé de dimension n. Un caractère (resp. un groupe à un paramètre) de T est une application χ : T → GL1 (resp. λ : GL1 → T) qui est à la fois un morphisme de variétés affines et un morphisme de groupes. On note M 7 8 1. Variétés toriques – Généralités (resp. N) leur ensemble. De plus pour tout (χ, λ) ∈ M × N la composée χ ◦ λ : GL1 → GL1 est un caractère de GL1, donc de la forme t 7→ t k , et l’application bilinéaire M × N −→ Z (χ, λ) 7−→ k, met les deux groupes en dualité. On la note h.,.i. Proposition 1.1.3 La donnée de l’isomorphisme T ≃ (GL1) n induit des isomorphismes M ≃ Z n et N ≃ Z n définis respectivement par m = (a1, . . . , an) ∈ Z n 7−→ (χ m : (a1, . . . , an) 7→ t a1 1 · · ·t an n )) ∈ M et u = (b1, . . . , bn) ∈ Z n 7−→ λ u : t 7→ (t b1 , . . . , tbn )  ∈ N. De plus à travers ces morphismes, le crochet de dualité s’identifie au produit scalaire usuel : χ m ◦ λ u : t 7→ t hm,ui 

Cônes convexes et éventails 

Cônes convexes Définition 

 Un cône polyédral convexe dans NR ≃ R n est un ensemble de la forme σ = Cone(u1,. . . ,uk) = (X k i=1 λiui | λi > 0 ) , o`u les ui sont des vecteurs de NR. On dit que σ est le cône engendré par u1, . . . , uk. Le cône nul est par convention Cone(∅) = {0}. Un polytope dans NR ≃ R n est un ensemble de la forme P = Conv(u1, . . . , uk) = (X k i=1 λiui | λi > 0, X k i=1 λi = 1) , o`u les ui sont des vecteurs de NR. On dit que P est l’enveloppe convexe de u1, . . . , uk. Proposition-Définition 1.2.2 Soit σ un cône dans R n . Le cône dual de σ est l’ensemble σ ∨ = {v ∈ R n | hu, vi > 0 pour toutu ∈ σ } . Pour deux cônes σ1 et σ2 dans R n on a (σ1 + σ2) ∨ = σ ∨ 1 ∩ σ ∨ 2 De plus si σ est un cône polyédral convexe alors il en est de même de son dual σ ∨ et on a (σ ∨ ) ∨ = σ. 1.2. Cônes convexes et éventails 9 Remarque – L’égalité (σ ∨) ∨ = σ est vraie pour tout cône convexe fermé de R n. Définition 1.2.3 Soit m ∈ MR on définit l’hyperplan Hm = {u ∈ NR | hm, ui = 0} ⊂ NR, et le demi-espace fermé H + m = {u ∈ NR | hm, ui > 0} ⊂ NR. Par abus H0 = NR est considéré comme ”hyperplan trivial”. Proposition-Définition 1.2.4 Soit σ un cône polyédral convexe de dimension d dans NR ≃ R n et soit σ ∨ son dual dans MR. Une face de σ est un cône de la forme τ = σ ∩ Hm. Les facettes de σ sont ses faces de dimension d − 1. Une face de dimension k < d de σ est une facette d’une face de dimension k + 1, σ étant l’unique face de lui-même de dimension d (intersection de σ et de H0). On note σ(k) = { faces de σ de dimension k} . Une face τ de σ est appelée face propre si τ 6= σ, on note alors τ < σ. Le bord du cône σ est la réunion de toutes ses faces propres, on le note ∂σ. Le complémentaire du bord dans σ est appelé intérieur relatif du cône, on le note ◦ σ. Définition 1.2.5 L’orthogonal d’une face α du cône polyédral convexe σ est le sousespace vectoriel de MR α ⊥ = {m ∈ MR | hm, ui = 0 pour tout u ∈ α} . La face duale de α est la face de σ ∨ définie par α ∗ = σ ∨ ∩ α ⊥ = {m ∈ MR | hm, ui > 0 pour tout u ∈ α} . Proposition 1.2.6 Si α est une face du cône polyédral convexe σ et α ∗ sa face duale, on a dim(α) + dim(α ∗ ) = n. De plus l’application α 7→ α ∗ est une bijection entre les faces de σ et les faces de σ ∨ , qui renverse l’inclusion : α ⊂ β ⇐⇒ β ∗ ⊂ α ∗ . Proposition-Définition 1.2.7 Soit σ un cône polyédral convexe dans NR ≃ R n . On dit que σ est fortement convexe s’il vérife les conditions équivalentes suivantes : (a) {0} est une face de σ. 10 1. Variétés toriques – Généralités (b) σ ne contient aucun sous-espace vectoriel de NR autre que {0}. (c) σ ∩ (−σ) = {0}. (d) Le cône dual σ ∨ est de dimension n. Définition 1.2.8 On dit qu’un cône σ ⊂ NR est un cône polyédral rationnel s’il est engendré par un nombre fini d’éléments du réseau u1, . . . , uk ∈ N. De plus on toujours on peut toujours supposer les ui primitifs dans le réseau, c’est à dire à coefficients premiers entre eux. On les appelle alors les générateurs minimaux de σ. En outre on dit que (a) σ est un cône simplicial si ses générateurs minimaux sont linéairement indépendants sur R. (b) σ est un cône lisse si la famille de ses générateurs minimaux peut être complétée en une Z-base du réseau N.