Rappels sur les systèmes hyperboliques

Dans ce chapitre, nous étudions le problème géochimique défini précédemment dans un cas simple où la fonction isotherme est celle de Langmuir. Ce cas correspond à des températures T assez grandes (les termes exponentiels disparaissent (cf. llAA». On donnera au fur et à mesure quelques éléments de la théorie des systèmes hyperboliques ainsi que la résolution du problème de Riemann. Pour des exposés plus généraux sur les systèmes de lois de conservation, on renvoie à l’ouvrage de Smoller [41], ou à l’article de Lax ([25], [26]). de la solution du problème dans un cas simple avant de l’étudier dans le cas général (qui présente des équations compliquées à étudier).  Le système précédent rentre dans la classe des systèmes de lois de conservation. Ce sont des systèmes issus de la physique. TI s’écrivent sous la forme conservative générale pour une dimension d’espace:  concentrations généralisées qui sont des fonctions des concentrations effectives des constituants. 2. Donc il existe un invariant de Rieman pour chaque champ. Ces invariants de Rieman sont des concentrations généralisées qui se déplacent à la vitesse Âk (valeur propre associé au itme champ).

Soit U g un état donné (c.à.d qu’il existe (x,t) tq : U (x, t) = U g). On cherche un état à droite U (x, t) solution de (P) et qui soit autosemblable c.à.d que U(x, t) s’écrit sous la forme U(x,t) = h(~) et h est solution de (4.1)-(4.2).  c.à.d que les k-invariants de Riemann restent constants le long d’une k-détente. Le 2 Le 2ème champ est V.N.L. Pour avoir un 2-choc les deux états doivent vérifier la relation de Rankine-Hugoniot et la définition d’un 2-choc admissible au sens de Lax :  Riemann admet une solution entropique au sens de Lax. Cette solution est formée d’états constants séparés par une détente, un choc ou une discontinuité de contact. Une k-détente ou un k-choc si Àk est V.N.L. Une k-discontinuité de contact si Àk est L.D. Une onde complexe dans les autres cas. Le problème de Cauchy (4.1)-(4.2) n’admet pas en général de solution globale régulière même si la donnée initiale U  sens des distributions), pour lesquelles certaines discontinuités sont admises, comme suit:  Le problème de Cauchy peut avoir plusieurs solutions faibles et certaines d’entre elles n’ont pas de sens physique. On est amené alors à chercher un critère de sélection : les solutions entropiques au sens de Lax. L’entropie définie ci-dessus à un sens mathématique et ne coïncide pas avec l’entropie au sens thermodynamique. Cependant, on peut exprimer l’une en fonction de l’autre. C’est le cas pour le système de la dynamique des gaz ([11]) et pour le problème que nous traitons où l’entropie au sens mathématique est l’opposée de l’entropie physique ([16a], [18]).

En général, on montre que les systèmes de lois de conservation n’ont pas une solution unique. un critère de sélection permettant d’avoir l’unique solution qui a un sens physique, est l’inégalité d’entropie suivante. Comme pour les problèmes de la chromatographie, le système que nous étudions possède plusieurs couples entropie-flux d’entropie. Citons-en quelques uns:  El décroît sur les 2-chocs. Donc suivant les variations de E on peut déduire la courbe d’onde qui lie les deux états.  . Comme on peut voir ceci sur la figure 4.5, ce résultat n’est pas vrai en dimension p ~ 2: l’état intermédiaire u* du 1 et ur (données du problème). Cela veut dire que localement dans une roche, on peut avoir une surconcentration de l’un des constituants et appauvrissement de l’autre.