Réalisation de métriques sur les surfaces compactes

Espaces convexes

Surfaces lisses

Les notations R n, Hn et S n désignent respectivement l’espace euclidien, l’espace hyperbolique et la sphère de dimension n. La notation générique pour ces trois ensembles est X n. Définition 1.6. Un sous-espace de X n est une copie de X i , pour 0 ≤ i ≤ k plongée de telle manière que l’image soit totalement géodésique. L’espace X n−1 sépare X n en deux composantes connexes et chacune est un demi-espace de X n. Il est dit fermé si on le considère avec son bord, ouvert sinon. L’espace X n−1 est appelé un plan de X n. Par exemple un sous-espace de dimension 0 de S est une paire de points antipodaux. Définition 1.7. Un sous-ensemble A (connexe) de X n est un ensemble convexe si pour tout couple de points (p,q) de A, la géodésique reliant p à q est entièrement contenue dans A. Une hypersurface de X n est une hypersurface convexe si elle est (connexe et) contenue dans le bord d’un ensemble convexe de X n. Une hypersurface M de X n est dite localement convexe en un point p de M si il existe un voisinage V de p dans M qui est entièrement contenu dans un des demi-espaces fermés de X n délimités par un hyperplan totalement géodésique qui a pour tangent le plan tangent à M en p. On dit alors que M reste d’un cˆoté de son plan tangent en p. L’hypersurface M est localement strictement convexe en p si de plus p est le seul point commun entre le voisinage V et le plan tangent à M en p. Elle est strictement convexe si elle est convexe et partout localement strictement convexe. Dans la cas de la sphère, la géodésique qui relie deux points est la plus courte —on considère qu’un ensemble convexe de la sphère ne contient pas de points antipodaux. Proposition 1.8 ([Spi79a, Prop. 10]). Si une surface compacte de R 3 est toujours du même cˆoté de son plan tangent, alors elle est convexe. Propriété 1.9 (Hadamard). i) Une surface M de R 3 est localement strictement convexe en p si et seulement si la courbure de Gauss en p KG(p) est strictement positive (les courbures principales sont de même signe et non nulles). ii) Si KG(p) est strictement négative (les courbures principales sont de signe opposé et non nulles), alors M n’est pas localement convexe en p. Autrement dit, si M est localement convexe en p, alors sa courbure de Gauss en p est positive ou nulle. Démonstration. i) Soit q un point d’un voisinage de p sur M. Le signe de hNp, pqi, o`u pq désigne le segment de R 3 joignant p à q, donne l’appartenance de q à l’un ou l’autre des demi-espaces délimités par TpM. Pour que la surface soit strictement convexe en p, il faut donc que ce signe soit constant sans annulation. L’équation (1.5) indique que le signe de hNp, pqi ne dépend que du signe de II pour les vecteurs de norme égale à 1 (il suffit de sortir la norme du vecteur). Et ce signe est constant : en effet si la courbure de Gauss est strictement positive, les courbures principales, qui sont le maximum et le minimum des valeurs de II sur le cercle, sont de même signe. La réciproque est alors immédiate. ii) Inversement, si la courbure est strictement négative, les courbures principales sont de signe opposé, et donc le signe de l’angle entre le segment et la normale varie, c’est-à-dire que la surface n’est pas localement convexe en ce point. Le fait que KG(p) ≥ 0 n’implique pas la convexité de M en p, par exemple on peut trouver des de surfaces non-convexes en un point mais qui contiennent un morceau de droite passant par ce point. 

Polyèdres

Un polyèdre convexe (au sens standard) de X n est une intersection finie non vide de demi-espaces fermés. Définition 1.12. Un polyèdre convexe (au sens standard) de X n est l’enveloppe convexe d’un nombre fini de points points de X n, c’est-à-dire la plus petite partie convexe de la variété de départ contenant les points en question. Ces deux définitions sont équivalentes si on suppose, dans la première, que le polyèdre est compact, c’est-à-dire puisque la dimension est finie, borné. Si le polyèdre est non vide et compact le terme polytope désigne l’intérieur du polyèdre. Un polyèdre est une union (connexe) de polytopes. La dimension d’un polyèdre est la dimension du plus petit sous-espace affine le contenant, soit par exemple X k . L’angle dièdre entre deux faces (de codimension 1) d’un polyèdre est l’angle entre les deux normales extérieures des faces. Un polyèdre ouvert est l’intérieur d’un polyèdre fermé de dimension k au sens de la topologie de X k . Un polyèdre de dimension 2 est un polygone. Une intersection finie de polyèdres convexes est toujours un polyèdre convexe. La combinatoire d’un polyèdre est sa décompostion cellulaire selon ses k-faces. Deux polyèdres convexes fermés sont combinatoirement équivalents s’ils induisent deux cellulations de la sphère isotopes (via l’homéomorphisme naturel entre le polyèdre et la sphère). En fait le terme “polyèdre” désigne habituellement trois choses : l’intérieur de l’intersection des demiespaces, la fermeture de l’intersection des demi-espaces ou le bord de l’intersection des demi-espaces. Nous ferons parfois la confusion, mais en général, le mot polyèdre désignera la fermeture (ou l’intérieur), et le bord sera appelé une surface polyédrale. Nous utiliserons une définition un peu plus générale, puisque certains polyèdres auront un nombre infini de sommets et de faces, mais ressemblerons localement à des polyèdres tels que définis au-dessus. Définition 1.13. Soit p un sommet d’un polyèdre P. On regarde le polygone donné par l’intersection de P avec une petite sphère centrée en p, de telle sorte que p soit le seul sommet de P contenu dans la boule délimitée par la sphère. Le link (ou sphère normale) de P en p est l’image de ce polygone par une homothétie qui envoie la petite sphère sur la sphère unité. Définition 1.14. Un polyèdre convexe de X n est une intersection (éventuellement infinie) non vide de demi-espaces fermés, telle que le link de chaque sommet soit un polyèdre sphérique au sens standard, et telle que chaque face soit un polyèdre de X n−1 au sens standard. Un polyèdre est une union connexe de polyèdres convexes.

Géométrie de la sphère

Métrique canonique de la sphère

On rappelle brièvement comment on trouve les principales propriétés de la métrique induite sur la sphère unité S 2 de R 3 (qui sont les mêmes pour la sphère unité S 3 de R 4 ). Des propriétés analogues seront alors immédiates pour les espaces lorentziens que nous considérerons dans la suite, car ils seront décrits comme des pseudo-sphères d’un espace ambiant. On note de la même manière un point x de la sphère et le vecteur unitaire de l’espace euclidien qui le définit. Remarquons d’abord que comme par définition kxk 2 = 1, alors l’espace tangent à la sphère en x est l’ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur x (il suffit de prendre un chemin c(t) sur la sphère et de dériver l’expression hc(t), c(t)i = 1). Comme S 2 est munie de la métrique induite, ses isométries sont simplement les isométries de l’espace euclidien qui préservent la sphère, soit les isométries qui préservent le produit scalaire : il s’agit du groupe orthogonal O(3), et son action est évidemment transitive. Un étude simple montre que le groupe des isométries préservant l’orientation provient des isométries euclidiennes fixant les droites vectorielles, soit SO(3) [Sco83]. Le groupe des isométries fixant la droite passant par 0 et un point x ∈ S 2 est isomorphe à SO(2), ainsi S 2 est l’espace homogène SO(3)/SO(2) [GHL90, 1.100 ;2.33]. En particulier S 2 est de courbure constante puisque le groupe des isométries agit aussi transitivement sur les repères orthonormés de l’espace tangent. Comme un vecteur tangent v à la sphère en x est orthogonal à x (vu comme vecteur de l’espace ambiant), l’intersection de la sphère avec un plan vectoriel engendré par x et v s’écrit c : s 7→ (sin s)v + (cos s)x (1.14) pour s ∈ [0, 2π[, et cette courbe est paramétrée par la longueur d’arc. C’est une géodésique puisqu’il s’agit d’un ensemble de points fixes pour une isométrie, en l’occurrence la réflexion par rapport au plan engendré par x et v. De plus toutes les géodésiques s’écrivent de cette fa¸con pour la même raison. L’application qui à x associe le vecteur normal unitaire N en x est l’identité, donc si e1, e2 est une base orthonormée du plan tangent au point (0, 0, 1) alors ∇eiN = ei et ainsi la courbure de Gauss de la sphère est égale à 1, et donc la courbure sectionnelle aussi par la formule de Gauss.