BENCHMARK : OPTIMISATION DE LA PREFORME POUR LE FORGEAGE D’UNE ROUE DENTEE

Introduction

Un exemple typique de forgeage est de fabriquer des engrenages (Figure 4.1) qui sont souvent utilisés dans les moteurs, les voitures, les avions, etc. Ils permettent le transfert de mouvements et de forces importantes d’une partie à l’autre. Ce sont donc des pièces à très haute résistance mécanique. Figure 4.1. Exemple d’engrenages Le forgeage des engrenages est un domaine très compétitif car ce sont souvent des pièces de grande production forgées à froid ou à mi-chaud le plus souvent et donc : ª la durée de vie des outils de forgeage est souvent courte car ils sont intensivement sollicités, alors que leur fabrication est très coûteuse. ª l’énergie nécessaire pour le forgeage d’une telle pièce est importante. Par conséquence, prolonger la durée de vie des outils et minimiser l’énergie de mise en forme reste un enjeu important, qui peut être formulé en problème d’optimisation et en utilisant des logiciels de simulation numérique. Dans ce chapitre, nous considérons le cas de forgeage d’une roue dentée droite proposé par la société ASCOFORGE et qui est retenu comme problème caractéristique d’optimisation de forme en forgeage, c’est-à-dire comme benchmark d’optimisation.

Description du cas d’optimisation

Présentation du cas de forgeage d’un triaxe

Ce cas consiste à forger une roue dentée de dix dents à mi-chaud à partir d’un lopin initial de forme axisymétrique simple. La Figure 4.2 présente la forme de la pièce initiale (Figure 4.2a) et d’une pièce forgée finale (Figure 4.2b). Figure 4.2. Lopin initial (a) et roue dentée (b) L’outillage de forgeage est présenté sur la Figure 4.3a et la Figure 4.3b. Le lopin est écrasé par la matrice et l’éjecteur supérieurs. Dans son mouvement de translation verticale, la matrice supérieure entraîne la matrice inférieure. De même, l’éjecteur supérieur entraîne avec lui la tige centrale. Le dernier outil, la douille éjectrice, est fixe et ne sert qu’à caler le lopin. Figure 4.3. Pièces initiale (a) et finale (b) avec les outils de forgeage La hauteur du lopin initial est de 45 mm et après écrasement elle est de 21 mm, ce qui représente une déformation de quasiment 50%. (a) (b) Matrice supérieure Ejecteur supérieur Douille injectrice Matrice inférieure Tige Centrale Pièce forgée (a) (b) Thèse de doctorat Optimisation de forme en forgeage 3D Chapitre IV Do Tien Tho Page 83 CEMEF – Ecole des Mines de Paris La symétrie de la roue dentée permet de modéliser seulement un vingtième de la pièce (comme présenté sur la Figure 4.4) correspondant à une demi dent. Figure 4.4.Un vingtième de la préforme à forger (a) et une demi dent (b) de la roue dentée forgée avec les outils de forgeage. 

Paramétrisation de la préforme

Lors de la paramétrisation de la préforme, une difficulté réside dans la prise en compte de la contrainte du volume constant, quelque soit le jeu de paramètres. M. Laroussi [Laroussi 2003] a donc proposé d’utiliser une paramétrisation plus simple, de type polynomial. Le contour du plan radial est un polygone fermé (Figure 4.5a) composé de : ª sept portions (parties polynomiales) distinctes o quatre portions I, II, IV et VI sont des segments droits. o trois portions III, V et VII sont des polynômes de degré 2. Ces portions doivent satisfaire les conditions de raccordement (le contour doit être lisse) [Laroussi 2003]. ª sept points de contrôle de coordonnées ( ) i i i 1,…,7 r ,z = dans le repère radial (r, z). Les mouvements de ces points sont les paramètres à optimiser. Les points retenus pour l’optimisation sont les points 2, 3 et 4. Leurs déplacements en constituent les paramètres (Figure 4.5b), de la manière suivante: o le paramètre µ1 est le déplacement vertical du point 2 (dans la direction z). Douille éjectrice Tige centrale Pièce forgée finale Matrice inférieure Matrice supérieure Ejecteur supérieur (a) (b)  o le paramètre µ2 est le déplacement horizontal du point 3 (dans la direction r). Notons que dans la direction z, le déplacement du point 3 est lié à celui du point 2 de telle sorte que la portion II reste un segment parfaitement horizontal. o le paramètre µ3 est le déplacement vertical du point 4 (dans la direction z). o le paramètre µ4 est le déplacement horizontal des points 4 et 5 (identiques) dans la direction r (la portion IV doit être toujours un segment vertical). Figure 4.5. Paramétrisation 2D de la préforme axisymétrique de la roue dentée Avec cette paramétrisation, 4 paramètres caractérisent la préforme. Le problème d’optimisation est celui de minimisation d’une fonction coût Φ (effort de forgeage, énergie totale de mise en forme, défaut de repli…) sous la contrainte de volume constant : constant  (1) où ϑ0 est le volume initial. La modification des paramètres de forme ( , , , ) µ1 µ2 µ3 µ4 entraîne inévitablement un changement du volume de la préforme qui doit pourtant rester constant. Il existe plusieurs méthodes pour traiter cette contrainte mais la méthode la plus simple est de l’éliminer en écrivant une condition de liaison sur un des paramètres. Dans notre cas, le paramètre qui permet le plus naturellement d’éliminer cette contrainte est µ4 . Le problème (1) peut donc être reformulé de la manière suivante : µ µ = (2) où l’expression de f est déterminée par la relation équivalente ϑ µ1 µ 2 µ 3 µ 4 =ϑ0 ( , , , ) . Les détails de cette expression sont présentés dans [Laroussi 2003]. Le problème d’optimisation est ainsi un problème à trois paramètres ( , , ) µ1 µ2 µ3 . On peut aussi lui ajouter les conditions de bords appliquées aux paramètres de conception. 

Génération automatique du maillage de la préforme

Le processus de génération des maillages de préforme 3D à partir du contour 2D est présenté dans la Figure 4.6. Figure 4.6. Module de génération automatique du maillage de la préforme Figure 4.7. Contour polynomial 2D (a) – Maillage surfacique simple 3D (b) – Maillage surfacique et volumique (c) (a) (b) (c) Entrée Jeu de paramètres = Contour polygonal en 2D de la préforme Maillage surfacique simple en 3D Sortie Maillage 3D complet pour la simulation avec FORGE3 Maillage volumique en 3D (minimal) Mailleur MTC A partir du jeu de paramètres, un contour polygonal 2D fermé (Figure 4.7a) est obtenu. Ensuite, on génère un maillage surfacique simple en 3D en extrudant ce contour dans la direction axisymétrique suivant un angle θ = 18° (correspondant à un vingtième du lopin) et en créant la connectivité entre les nœuds (Figure 4.7b). Le mailleur MTC permet alors d’obtenir le maillage volumique de la préforme 3D. Il manque encore des informations (comme la topologie de la frontière, les plans de symétrie, etc.) qui font l’objet de la dernière étape (Figure 4.7c). IV.2.4. Fonctions coûts et benchmark d’optimisation Du point de vue industriel, on cherche à optimiser la géométrie de la préforme pour augmenter la durée de vie des outils de forgeage. Une approche de ce problème consiste à minimiser les efforts subis par les outils durant tout le forgeage, tout en évitant la formation de défauts majeurs de type repli de matière. Cela nous conduit à formuler le benchmark suivant : minimiser la fonction coût « énergie totale » de forgeage (équation 3.31) ou/et la fonction coût  » repli » (équation 3.34) vis-à-vis des trois paramètres de forme. Pour réduire le temps de calcul et faciliter la mise en place des méthodes d’optimisation, nous décidons de simplifier le comportement du matériau et de le supposer linéaire. Ainsi, sur un PC Pentium IV (2.4Ghz – 512Mo RAM) la durée d’une simulation complète sans calcul du gradient est de 45 minutes, et est de 60 minutes avec calcul du gradient. Enfin, nous limitons le nombre d’évaluations de la fonction coût à 50. Nous obtenons ainsi un problème caractéristique du forgeage 3D que nous utilisons pour comparer les différents algorithmes d’optimisation entre eux