Recalage d’images déformables

Introduction

Grâce au recalage d’images déformables, nous sommes à présent en mesure de déformer une image numériquement et de la comparer à une image de type « expérimentale ». Cette comparaison est faite par la définition d’une fonction coût qui est une fonction décrivant l’écart entre les 2 images. L’identification étant la détermination du jeu de paramètres des lois de comportement permettant de faire correspondre ces deux images, elle est le résultat d’une minimisation de la fonction coût. Dans ce chapitre, nous nous intéressons à deux algorithmes d’optimisation qui sont l’algorithme de Newton-Raphson et l’algorithme de Nelder-Mead. Après avoir décrit le principe de ces algorithmes, nous allons les appliquer à un cas-test afin d’évaluer les difficultés qui pourront être rencontrées lors de l’identification des propriétés mécaniques des tissus biologiques mous. 8.2 Algorithmes d’optimisation envisagés Le but de l’identification étant de trouver un jeu de paramètres minimisant la fonction coût définie précédemment, l’utilisation d’algorithmes d’optimisation est nécessaire. Nous avons choisi de ne présenter que deux algorithmes de différents types. Une méthode d’ordre 1, soit l’algorithme de Newton-Raphson [Jol99] et une méthode d’ordre 0, soit l’algorithme du Simplexe ou algorithme de Nelder-Mead [NM65],[Vay04]. 8.2.1 Algorithme de Newton-Raphson L’algorithme de Newton-Raphson est un algorithme de Newton multidimensionnel [Jol99]. C’est une méthode d’ordre 1 i.e. utilisant les gradients de la fonction coût. Cette méthode est choisie pour sa simplicité d’implémentation dans Matlab R et sa robustesse. Soit fc (X) la fonction coût à minimiser et X le vecteur constitué des paramètres à identifier, on cherche à résoudre.

Algorithme de Nelder-Mead 

La méthode de Nelder-Mead [NM65] permet une optimisation en s’affranchissant du calcul des gradients. Cette méthode est articulée autour de trois étapes qui sont la réflexion, la contraction et l’expansion. En dimension n, un simplexe est un polygone à n + 1 sommets. Le principe est de déplacer le simplexe dans le domaine en remplaçant itérativement le plus mauvais point par un point meilleur. On définit un simplexe à trois sommets (un triangle), on appelle xh le sommet pour lequel la fonction coût est maximale fc (xh) = fh , xs le sommet où la fonction coût prend la deuxième plus grande valeur fc (xs) = fs , xl le sommet où la fonction coût est minimale fc(xl) = fl . Le barycentre entre les points xs et xl est défini par xm. La première étape de l’algorithme est la réflexion, on cherche à s’éloigner de xs en créant xr un nouveau sommet tel que xr = xm + a(xm − xs) [Figure 8.2-(a)]. Soit fr = fc(xr), si fl < fr < fs , on remplace xs par xr . Si fr est meilleur que le miminum actuel i.e. fr < fl , on essaye d’aller plus loin en créant xe par l’expansion tel que xe = xm + b(xr − xm) [Figure 8.2-(b)]. Mais si xr n’est pas meilleur que xs , on cherche à se rapprocher de xl en effectuant une contraction i.e. en créant xc tel que xc = xm + c(xh − xm) [Figure 8.2-(c)]. Pour plus de détails concernant cet algorithme, nous invitons le lecteur à se référer à la [Figure 8.3]. D’une manière générale, les paramètres a, b et c sont 1, 2, 0,5 respectivement. L’algorithme de Nelder-Mead est une méthode efficace et robuste mais elle est à proscrire dans le cas où de nombreux paramètres sont à déterminer (>10), on observerait alors une explosion du temps de convergence [Vay04]. On retrouve cet algorithme implémenté dans la fonction fminsearch de Matlab R .

Application de la méthode d’identification à un cas-test

La méthode d’identification doit être testée avant d’être appliquée sur le cas réel. Nous choisissons pour ce faire une méthode de blind test [Del07] qui nous permettra de valider la méthode et de réaliser des observations utiles pour la suite du travail.

La méthode de blind test

On rappelle que l’identification proposée consiste à comparer une image non-déformée expérimentale (image cible) et une image non-déformée simulée. Afin de vérifier la validité de notre méthode d’identification, on utilise une méthode de blind test. Grâce à un calcul EF avec des paramètres de comportement fixés, on génère l’image déformée correspondante (utilisée alors comme image déformée expérimentale). Lors du processus d’identification, on applique à cette image les transformations inverses issues des différents calculs EF afin que la géométrie retrouve sa configuration non-déformée. On compare alors cette dernière avec l’image de la géométrie initiale (image non-déformée initiale ou image cible).

Le modèle numérique

Le modèle EF utilisé est celui présenté pour la validation de la condition aux limites implémentée [Section 6.6]. Une géométrie identique au race track est utilisé à un rapport d’homothétie près. En effet, la géométrie initiale, qui sera utilisée ici a été réalisée avec des demi-disques de rayon de 200 mm. Pour réaliser les calculs EF avec le même ordre de grandeur pour les pressions appliquées, nous faisons correspondre les périmètres de la géométrie du race track et celle de la jambe par l’application d’une homothétie de rapport 0,195 sur la géométrie du race track. La géométrie du race track est choisie car le contour est défini par deux droites et deux demi-cercles ce qui simplifie grandement la génération des contours et celle de l’image. Pour ces tests, l’interface entre les deux matériaux est bloquée en déplacement. On rappelle que les deux matériaux utilisés pour la simulation EF sont de type néo-hookéen [Équation (6.7)] donc les paramètres matériaux de l’ensemble du modèle sont au nombre de 4. Ils sont présentés dans le [Tableau 8.1]. Nous allons à présent observer la variation de la fonction coût en fonction de la variation de ces paramètres i.e. nous allons réaliser une étude de sensibilité aux paramètres.