SUR LES SEMIMODULES ESSENTIELS,L’ANNULATEUR TENSORIEL ET LES SOUS-SEMIMODULES FORTEMENT SEMISIMPLES

Introduction et Résumé de mes contributions 

Les analogies de certaines propriétés vérifiées par des objets mathématiques de natures différentes, par exemple, les nombres et les polynômes [22] ,ont été remarquées durant l’histoire de l’étude des nombres, puis des équations. Cela a conduit les mathématiciens, en particulier au XIXe siécle, à tenter de dégager une axiomatique qui rende compte des raisons profondes de ces analogies. Il est alors apparu que ces objets, de natures différentes, possédaient les mêmes  » structures  » algébriques, par exemple, groupe, espace vectoriel, anneau, etc.[4] Il devint alors évident qu’il ét ait plus efficace d ‘ét udier ces structures pour elles-mêmes, indépendamment de leurs réalisations concrétes, puis d’appliquer les résultats obtenus dans les divers domaines que l’on considérait antérieurement. 10 L’algébre  » abstraite  » était née. L’étude des nombres entiers remonte à la plus haute antiquité, mais c’est l’étude des nombres algébriques, au XIXe siècle, qui a conduit aux notions d ‘anneau et de corps. L’étude de la divisibilité dans les nombres entiers est basée sur la propriété fondamentale suivante : tout nombre entier s’écrit , de  » maniére unique « , comme produit de nombres premiers. Comme pour toutes les structures algébriques importantes, la structure d’anneau apparaît dans de nombreuses situations dans lesquelles les éléments ne sont plus des nombres entiers. C’est en particulier le cas des polynômes. Il était donc utile d’étudier la notion de divisibilité dans des anneaux généraux et de voir si l’analogue de la décomposition en produit de nombres premiers existe : on l’appelle alors  » décomposition en produit d ‘éléments irréductibles  » . L’idée essentielle, pour cela, a été l’introduction de la notion d ‘idéal : elle permet de formuler des énoncés qui généralisent ceux des propriétés usuelles de la divisibilité des nombres entiers [16]. En particulier, la généralisation aux idéaux de la propriété de  » décomposition en produit d ‘irréductibles  » , associée à la notion d ‘extension de corps, a permis de faire de trés grands progrés en arithmétique. La notion de semianneau (un anneau où les éléments n’ont pas toujours des symétriques pour l’addition et la multiplication) est apparue pour la première fois dans les travaux de Richard DEDEKIND sur l’algèbre des idéaux d ‘un anneau commutatif (on pouvait ajouter ou multiplier les idéaux ; mais on ne pouvait pas les soustraire). Les semianneaux abondent dans le monde mathématique, la première structure mathématique que l’on rencontre , l’ensemble des entiers naturels N muni 11 de l’addition et de la multiplication est un semianneau qui n’est pas un anneau , il en est de même de l’en emble des réels positifs IR+ muni de l’addition et de la multiplication. Les semianneaux furent étudiés indépendam:ent par les algébristes , notamment par .S VA~DIVER qui avait durement travaillé pour que les semianneaux soient reconnus comme une structure algebrique fondamentale, tout en devenant la meilleure des structures incluant les anneaux et les treillis bornés distributif . Il a eu le mérite d’avoir publié le premier article sur les semianneaux en 1934. Son travail n’attirera pas l’attention de la communauté scientifique et la recherche sur la théorie des semianneaux tomba en berne. Elle refait surface à la fin des années cinquante grâce à sa richesse pour les applications en mathématiques notamment en informatique, en théorie de l’automatisme, en théorie de l’optimisation, etc. Considérée comme une générali ation de la theorie des modules sur les anneaux( les semimodules sont pour les modules ceux que les modules sont pour les espaces vectoriels) , la théorie des semimodules sur les semianneaux connaît un engouement de nos jours ; beaucoup de chercheurs l’utilisent en mathématiques dites pures et en mathématiques appliquées ; notamment en analyse fonctionelle, en topologie, en théorie de graphes, en théorie de l’automatisme, en géometrie tropicale, en probabilité et en théorie des anneaux non commutatifs, mais aussi en informatique théorique pour ne citer que ces domaines là. Comparée à la théorie des comodules sur les coanneaux( théorie issue également de la théorie des modules sur les anneaux),la théorie des semimodules s’est développée plus lentement car il y’a beaucoup de difficultés dans la définition 12 des concepts et dans les démonstrations du fait que sur un semianneau , les éléments n ‘ont pas d ‘opposés. Cette « légére » différence fait  » tomber » la plupart des résultats connus sur les modules et les anneaux. Ainsi beaucoup de propriétés connues sur les modules ne marchent plus et donc il est trés difficile de mener à bien certaines résolutions. La commodité dans les calculs qu’apportait l’exist ence de l’opposé dans les modules est vite transformée en difficulté dans les semimodules. Entre autres différences entre modules et semimodules, on peut citer : – Dans la t héorie des modules, les relations d’équivalence sur un module M sont caractérisées par les sous-modules de M. Ceci n ‘est pas le cas dans la théorie des semimodules où il peut exist er des relations d’équivalence sur un semimodule compatibles avec la structure de semimodule et qui ne sont pas défini es par des sous-semimodules. – Dans la théorie des modules, le produit tensoriel entre deux modules est bien connu [3] .Mais sa généralisation dans la théorie des semimodules n ‘est pas unique. Katsov [20] and Takahashi [25] ont défini deux notions différentes du produit tensoriel dans la théorie des semimodules. Abuhlail décrit bien les différences entre ces deux produits tensoriels dans [2]. – Il est établi que dans la cat égorie des modules, si f : M -+ N un homomorphisme de R-modules, alors on a les équivalences suivantes : 1. f inj ectif ~ ker f = 0 ~ f monomorphisme. 2. f urj ectif ~ !mf = M ~ f épimorphisme. 3. f bij ectif~ f bimorphisme(monomorphisme et ép morphis e)~ f isomorphisme (i. e 3f’ : M’ —+ M tel que fof’ = l N, J’of = l M)· Mais on n’a pas ces équivalences dans la catégorie des semimodules et des semianneaux. En effet : – Dans la catégorie des semimodules : Si f : M -+ N un homomorphisme de R-semi-modules. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : (a) f est injectif ; (b) f est k-régulier et la suite {0} -+ M ~ N est exacte ; (c) f est k-régulier et K er(!) = {0} ; (d) f est un semi-monomorphisme k-réguli er ; (e) f est un monomorphisme. 

Applications hop fi ens

Sur les semimodules coRappelons qu’un R-semimodule non nul RM est dit : – co-hopfien tout monomorphisme f : M-+ M est un isomorphisme. – faiblement co-hopfien si monomorphisme f : M -+ M est essentiel i.e f(M) est sous-semimodule esssentiel de M . 43 Nous avons trois différentes notions de sous-semimodules essentiels, alors on peut définir trois différents types de semimodules faiblement co-hopfiens. 2.3.1 Sur les semimodules co-hopfiens de type 1 D éfinition 2.3.1. Un R-semimodule non nul RM est dit faiblement cohopfien-1 (noté wch-1) si tout monomorphisme f : M –? M est faiblem ent essentiel i.e f ( M) ~we M . Proposition 2.3.2. Les conditions suivantes sont équivalentes pour un Rsemimodule à gauche M : 1. M est wch-1 . 2. V{O} =1- N S M , sig E End(M) est injectif, alors la restriction de = N à g(M) est non triviale. Preuve : 1) ::::} 2) Soit {0} =1- N S M et soit g un endomorphisme injectif de M. Par hypothèse g(M) est faiblement essentiel sur M , donc , comme N s M et N =1- {0} , on déduit que la restriction de =N à g(M) est non triviale. 2) ::::} 1) Soit g : M –? M un endomorphisme injectif de M et soit N un soussemimodule de M tel que la restriction de = N à g(M) est triviale. Supposons que N =1- {0} . Alors par hypothèse la restriction de = N à g(M) est non triviale ce qui contredit l’hypothèse. Alors N = {0} d’où g(M) est faiblement essentiel et donc M est wch-1. 0 Proposition 2.3.3. Pour un R -semimodule à gauche M , on considère les assertions suivantes : 44 1. M est wch-1. 2. Pour tout R-semimodule N , s’il existe un R-monomorphisme M 9 N-t M alors N = {0}. Alors (1) ~ (2) et siM est simplifiable on a (1) {:::=:;> (2). NB :- Un module M qui verifie (2) est dit Dedekind fini. -Un semimodule qui est fini verifie (2) . – Dans la suite, un semimodule M qui verifie (2) est appelé un F-semimodule. Preuve: 1. => 2) Supposons que f : M EB N -t M est un monomorphi me où N est un R-semimodule à gauche. Soit M ~ M EB N ~ M une suite où i l’injection canonique. Alors f o i est un monomorphisme, donc (! o i) ( M) est faiblement essentiel dans M par hypothèse. De façon similaire on montre que f(N) = f (O EB N) =O. Puisque fest manie, f(N) = 0 ~ N = O. 2) => 1) Par hypothèse on déduit cette proprièté (P) : Pour tout R-semimodule à gauche N, siM EB N-t M est un monomorphisme faiblement essentiel alors N = {0} . Maintenant soit g : M -t M un monomorphisme dont l’image n’est pas faiblement essentiel. Alors d’aprés la Proposition 2.2.17 il existe un sous-semimodule non nul K avec g(M) EB K ~we M . Définissons f : M EB K-t M : (m, k) r-+ g(m) +k. D’aprés la somme directe g(M) EB K et le fait que M est simplifiable, f est manie. On a g(M) EB K Ç f (M EB K) ç M, donc d’aprés la Propo ition 2.2.9 f (M EB K) ~we M (car g(M) EB K we M) . Alorsf est un monomor45 phismc faiblement essentiel ce qui contredit la propriété (P) . Donc g(M) we M. D Proposition 2.3.4. les conditions suivantes sont équivalentes pour un Rsemimodule à gauche M. 1. M est wch-1 . 2. M est un F -semimodule et l’image de tout endomorphisme de M est soit faiblement essentiel, soit un facteur direct propre. Preuve: 1) => 2) Par hypothése et d’apré la Proposition précédente, on a :pour tout Rsemimodule à gauche N , s’il existe un R-monomorphisme M œ N —7 M alors N = {0}. Maintenant supposons que M EB K S::: M , alors il existe un monomorphismee f : M ËB K —7 M et donc K = {0} , d’où M est un Fsemimodule. Par hypothése l’image de tout endomorphisme de M est en fait un sous-semimodule faiblement essentiel. 2) => 1) Soit g : M —7 M un endomorphisme injectif et supposons que g(M) n’est pas faiblement essentiel dans M . Alors par hypothése g(M) est un facteur direct propre de M . Alors il existe sous-semimod ule non nul K de M tel que g(M) EB K =M. Définition f : M EB K —7 M : (m, k) H g(m) + k . Alors f est un monomorphisme. On aM= g(M) e K ç f(M ËB K) ç M, donc f(M EB K ) = M , d’où 46 f est surjectif. Donc il existe un isomorphisme M E8 K ~ M ce qui contredit le fait que M est un F-semimodule. Ainsi g(M) we M. 0 Proposition 2.3.5. 1. Les conditions suivantes sont equivalentes pour un R-semimodule à gauche M . (a) M est wch-1 . (b) Il existe un sous-semimodule K de M tel que g(K) ~we M pour tout endomorphisme injectif g E End( M). 2. Un facteur direct d’un semimodule wch-1 est wch-1. Preuve : (1) (b) ::::} (a) Triviale d ‘aprés la Proposition 2.2.9 .. (a) ::::} ( b) Triviale. (2) Supposons que M est un semimodule wch-1. Soit M = N E8 K et soit f : N —-+ N un endomorphisme injectif de N . Alors l’application f EB I dK : M = N ED K –+ M = N ED K définie par n +kt-+ (! E8 IdK )(n + k) = f(n) + k est un endomorphisme injectif deMet (! 8 IdK) (M) ~we M. Alors (! E8 IdK)(M) ~we M::::} f(N) E8 K ~we N EB K et d ‘aprés la Proposition 2.2.12 f (N) ~we N ,donc N est wch-1.  

Applications hop fiens 

Sur les semimodules coRappelons qu’un R-semimodule non nul RM est dit : – co-hopfien tout monomorphisme f : M-+ M est un isomorphisme. – faiblement co-hopfien si monomorphisme f : M -+ M est essentiel i.e f(M) est sous-semimodule esssentiel de M . 43 Nous avons trois différentes notions de sous-semimodules essentiels, alors on peut définir trois différents types de semimodules faiblement co-hopfiens. 

Sur les semimodules co-hopfiens de type 

 D éfinition 2.3.1. Un R-semimodule non nul RM est dit faiblement cohopfien-1 (noté wch-1) si tout monomorphisme f : M –? M est faiblem ent essentiel i.e f ( M) ~we M . 

Proposition 2.3.2. 

Les conditions suivantes sont équivalentes pour un Rsemimodule à gauche M : 1. M est wch-1 . 2. V{O} =1- N S M , sig E End(M) est injectif, alors la restriction de = N à g(M) est non triviale. Preuve : 1) ::::} 2) Soit {0} =1- N S M et soit g un endomorphisme injectif de M. Par hypothèse g(M) est faiblement essentiel sur M , donc , comme N s M et N =1- {0} , on déduit que la restriction de =N à g(M) est non triviale. 2) ::::} 1) Soit g : M –? M un endomorphisme injectif de M et soit N un soussemimodule de M tel que la restriction de = N à g(M) est triviale. Supposons que N =1- {0} . Alors par hypothèse la restriction de = N à g(M) est non triviale ce qui contredit l’hypothèse. Alors N = {0} d’où g(M) est faiblement essentiel et donc M est wch-1. 0 Proposition 2.3.3. Pour un R -semimodule à gauche M , on considère les assertions suivantes : 44 1. M est wch-1. 2. Pour tout R-semimodule N , s’il existe un R-monomorphisme M 9 N-t M alors N = {0}. Alors (1) ~ (2) et siM est simplifiable on a (1) {:::=:;> (2). NB :- Un module M qui verifie (2) est dit Dedekind fini. -Un semimodule qui est fini verifie (2) . – Dans la suite, un semimodule M qui verifie (2) est appelé un F-semimodule. Preuve: 1. => 2) Supposons que f : M EB N -t M est un monomorphi me où N est un R-semimodule à gauche. Soit M ~ M EB N ~ M une suite où i l’injection canonique. Alors f o i est un monomorphisme, donc (! o i) ( M) est faiblement essentiel dans M par hypothèse. De façon similaire on montre que f(N) = f (O EB N) =O. Puisque fest manie, f(N) = 0 ~ N = O. 2) => 1) Par hypothèse on déduit cette proprièté (P) : Pour tout R-semimodule à gauche N, siM EB N-t M est un monomorphisme faiblement essentiel alors N = {0} . Maintenant soit g : M -t M un monomorphisme dont l’image n’est pas faiblement essentiel. Alors d’aprés la Proposition 2.2.17 il existe un sous-semimodule non nul K avec g(M) EB K ~we M . Définissons f : M EB K-t M : (m, k) r-+ g(m) +k. D’aprés la somme directe g(M) EB K et le fait que M est simplifiable, f est manie. On a g(M) EB K Ç f (M EB K) ç M, donc d’aprés la Propo ition 2.2.9 f (M EB K) ~we M (car g(M) EB K we M) . Alorsf est un monomor45 phismc faiblement essentiel ce qui contredit la propriété (P) . Donc g(M) we M. D Proposition 2.3.4. les conditions suivantes sont équivalentes pour un Rsemimodule à gauche M. 1. M est wch-1 . 2. M est un F -semimodule et l’image de tout endomorphisme de M est soit faiblement essentiel, soit un facteur direct propre. Preuve: 1) => 2) Par hypothése et d’apré la Proposition précédente, on a :pour tout Rsemimodule à gauche N , s’il existe un R-monomorphisme M œ N —7 M alors N = {0}. Maintenant supposons que M EB K S::: M , alors il existe un monomorphismee f : M ËB K —7 M et donc K = {0} , d’où M est un Fsemimodule. Par hypothése l’image de tout endomorphisme de M est en fait un sous-semimodule faiblement essentiel. 2) => 1) Soit g : M —7 M un endomorphisme injectif et supposons que g(M) n’est pas faiblement essentiel dans M . Alors par hypothése g(M) est un facteur direct propre de M . Alors il existe sous-semimod ule non nul K de M tel que g(M) EB K =M. Définition f : M EB K —7 M : (m, k) H g(m) + k . Alors f est un monomorphisme. On aM= g(M) e K ç f(M ËB K) ç M, donc f(M EB K ) = M , d’où 46 f est surjectif. Donc il existe un isomorphisme M E8 K ~ M ce qui contredit le fait que M est un F-semimodule. Ainsi g(M) we M. 0 Proposition 2.3.5. 1. Les conditions suivantes sont equivalentes pour un R-semimodule à gauche M . (a) M est wch-1 . (b) Il existe un sous-semimodule K de M tel que g(K) ~we M pour tout endomorphisme injectif g E End( M). 2. Un facteur direct d’un semimodule wch-1 est wch-1. Preuve : (1) (b) ::::} (a) Triviale d ‘aprés la Proposition 2.2.9 .. (a) ::::} ( b) Triviale. (2) Supposons que M est un semimodule wch-1. Soit M = N E8 K et soit f : N —-+ N un endomorphisme injectif de N . Alors l’application f EB I dK : M = N ED K –+ M = N ED K définie par n +kt-+ (! E8 IdK )(n + k) = f(n) + k est un endomorphisme injectif deMet (! 8 IdK) (M) ~we M. Alors (! E8 IdK)(M) ~we M::::} f(N) E8 K ~we N EB K et d ‘aprés la Proposition 2.2.12 f (N) ~we N ,donc N est wch-1.