Théorie des Fractals et Multifractals

 Introduction

Dans la nature les objets varient de taille depuis l’échelle sub-atomique jusqu’à la taille de l’univers. Traditionnellement, la géométrie Euclidienne a servi comme la base de la connaissance intuitive de la géométrie de la nature. Elle a été utilisée pour décrire la structure des objets physiques réguliers, habituellement d’un caractère géométrique simple. Divers mathématiciens ont développé des concepts géométriques qui dépassent la géométrie traditionnelle (Cantor, 1884; Peano, 1890; Von Koch, 1904), mais qui ont failli dans le passé pour gagner l’acceptation des sciences naturelles (Feder, 1988). Plus récemment, Mandelbrot (1975, 1977, 1983) a introduit la notion de fractals pour designer des objets qui ont une forme très irrégulière, très interrompue ou fragmentée (géométriquement compliquée), et la géométrie fractale pour caractériser ces objets aux propriétés inhabituelles en géométrie classique. La géométrie fractale peut être compris comme une étendue de la géométrie Euclidienne. Aujourd’hui, les idées apparues à partir de la géométrie fractale sont appliquées dans divers domaines de la science et de la technique: biologie, physique, chimie, géographie, hydrologie, vulcanisme, structures de matériels, informatique, musique, économie et finances, etc.

Fractals

Le mot fractal est un terme proposé par Mandelbrot (1975) qui vienne du latin “fractus” et qui signifie irrégulier. Il caractérise toutes les formes géométriques qu’on peut imaginer comme faites de parties dont chacune est un modèle réduit du tout. Si on observe un objet banal comme par exemple une tête de chou-fleur, on peut voir qu’elle se brise aisément en bouquets. Chaque bouquet a la forme d’un petit chou-fleur qui se décompose en bouquets plus petits, et ainsi de suite. Une expression mathématique imitant ce processus pourrait le continuer infiniment. En dehors d’une dilatation ou une réduction, Théorie des Fractals et Multifractals 30 chaque petit bouquet est identique à tout autre bouquet, d’où la notion de “autosimilarité” (Mandelbrot, 1967, 1974, 1983, 1989, 2006). On dit qu’un objet est auto-similaire si c’est l’union des copies de lui-même à différentes échelles où le processus est isotrope ou uniforme en toutes directions (Hasting et Sugihara, 1994). Alors, un objet fractal est un objet mathématique qui est issu d’un processus itératif et qui présente un caractère d’autosimilarité. 

Les types de fractals

Quand on appelle fractal à un certain ensemble d’objets, nous considérons les caractéristiques suivantes (Falconer, 1990): • L’ensemble a une structure fine, c’est-à-dire des détails présents aux échelles arbitrairement petites. • L’ensemble est trop irrégulier pour être décrit dans le schéma géométrique traditionnel, localement et globalement. • Souvent, l’ensemble a une certaine forme auto-similaire (c’est-à-dire que le tout est semblable à une des ses parties), peut-être approximatif ou statistique. D’habitude, la dimension fractale de l’ensemble (défini d’une manière quelconque) est plus grande que sa dimension topologique. • Dans la plus part de cas d’intérêt, l’ensemble est défini d’une manière très simple, peut-être de manière récursive. On peut distinguer entre fractals déterministes et aléatoires (Falconer, 1990; Hasting et Sugihara, 1993; De Lima, 1998; Tél, 1988). Les fractals déterministes sont la classe de fractals qui sont construit par règles déterministes. Ils sont classifies comme fractals unique échelle ou multi-échelles. Les fractals aléatoires sont produits par de règles non déterministes.

Fractals déterministes unique échelle

La construction d’un tel ensemble commence en divisant un objet simple en N pièces identiques. Chaque nouvelle pièce est une copie de l’objet originel réduit pour un même facteur r <1. Le pas suivant consiste à répéter exactement de la même manière la procédure et 31 créer N nouvelles pièces identiques à chacune des précédentes. Alors, le fractal est obtenu en répétant indéfiniment la procédure. Le fractal peu être divisé dans N parts identiques, étant chacune une version à échelle plus petite de l’ensemble complet (Figure 2-1 (a)).

Fractals déterministes multi-échelle

La construction des fractals de ce type commence par un objet initial divisé en N pièces qui ne sont pas toutes identiques. Chaque pièce est une copie de l’objet originel mais réduit par différents facteurs rj <1 avec j =1,.., N (tous les j r ne peuvent pas être identiques). La procédure est répétée infiniment de manière similaire. Chaque part du fractal est une version à échelle plus petite de l’objet originel complet (Figure 2-1 (b)). 

Fractals aléatoires

Dans ce cas, l’objet originel est divisé en N pièces identiques où chaque part est une copie réduite par certains facteurs pris aléatoirement. Dans chaque étape de la construction les fractals exhibent un caractère aléatoire. Par conséquent, les fractals aléatoires ne sont pas auto-similaires comme leurs contreparties. L’aspect non-uniforme de ces fractals est souvent plus près des phénomènes naturels (par exemple, lignes de côtes, surfaces topographiques, nuages). Pour décrire la construction de fractals qui impliquent des étapes aléatoires on peut utiliser la théorie de probabilité (figure 2-1 (c))

Fractals extraits à partir de la nature

Un exemple d’ensemble fractal extrait de la nature est le cas d’occurrences de jours de pluie dans un certain endroit observé pendent une certaine période. L’occurrence de pluie est définie par un seuil de précipitation qui établit la distinction entre jour sec et pluvieux. Une séquence non interrompue de jours avec pluie s’appelle période pluvieuse. Les périodes pluvieuses peuvent être utilisées pour définir des objets fractals. Dans la figure 2-2, on représente l’occurrence de pluie journalière pendant 19 années d’observations dans la station expérimentale INTA à Laboulaye, centre de l’Argentine, comme un ensemble géométrique disjoint composé de segments élémentaires supportés par l’axe du temps. Cet ensemble 32 évoque le résultat obtenu après un certain nombre d’itérations dans le processus aléatoire générateur d’une poussière de Cantor. Cette analyse est inspirée à celle effectuée par Hubert et Carbonnel (1989) sur l’occurrence de pluie sur 45 années d’observation journalière à Dedougou, Burkina Faso.