Un modèle EF de flambage de coques sous contraintes résiduelles

Description géométrique et cinématique de la coque utilisée

La cinématique de base utilisée dans le cadre de la présente formulation est simple ; elle repose sur les théories classiques des plaques et coques. La position d’un point quelconque de la géométrie décrite sur la figure 4-1 est repérée, sur la configuration initiale, par un vecteur x exprimé sous la forme suivante :   État initial  Figure 4-1. Description géométrique et cinématique de la coque [69]. où r est un vecteur qui repère la position de la surface moyenne, a3 est le vecteur directeur normal à la coque au point considéré et (θ1, θ 2, θ3) désignent les coordonnées curvilignes convectives. En supposant une variation linéaire du champ de déplacement dans la direction de l’épaisseur, ce dernier peut s’écrire comme suit :     où ζ et ω représentent respectivement le déplacement d’un point de la surface moyenne et la variation du vecteur directeur de la coque entre la configuration de référence et celle déformée. Nous pouvons définir le vecteur x de la configuration déformée par :   À partir de (4.2) et (4.3), nous pouvons déduire les composantes de la déformation γ c de Green-Lagrange dans la base contravariante tel que :   

Un modèle EF de flambage de coques sous contraintes résiduelles 

   On remarque que le terme β33 est nul à cause de l’hypothèse de la linéarité du déplacement dans la direction de l’épaisseur, ce qui peut engendrer le problème de verrouillage9 dans certaines situations. Afin d’éviter ce problème, Büchter et al. [70] montrent que 33 c  doit être au moins linéaire dans l’épaisseur, c’est-à-dire que β33 doit être au moins une constante non nulle dans la direction de l’épaisseur. De ce fait, on introduit dans la formulation une déformation supplémentaire non compatible  au moyen du concept EAS (Enhanced Assumed Strain) proposé par Simo et Rifai [71] ; elle doit être orthogonale au champ de contraintes et indépendante du déplacement. Elle représente une variation linéaire de la déformation 33 c  dans l’épaisseur, une des caractéristiques de l’élément coque proposé par Büchter et al. [70]. La définition de  se traduit alors par (4.5) :  : 0  c t S d                  (4.5) 4.2 Formulation variationnelle du modèle « MAN » Le point de départ de cette formulation est la fonctionnelle de Hu-Washizu à trois champs qui sont le déplacement ξ, la déformation γ et la contrainte S. Ces champs sont considérés a priori indépendants. Cela nous permet d’introduire l’enrichissement du champ de déformation à l’aide de  . Nous utilisons en outre une loi de comportement linéaire, mais des lois non linéaires peuvent être introduites dans le cadre de cette formulation. Deux types de chargements sont considérés pour modéliser les défauts de planéité en laminage des tôles : la traction de laminage et les contraintes résiduelles engendrées par l’hétérogénéité de la déformation plastique de la tôle dans l’emprise. Ainsi, la stationnarité de la fonctionnelle de Hu-Washizu avec la prise en compte des relations (4.5) permet d’obtenir le système suivant : 9 Le verrouillage de cisaillement apparaît dans les structures minces en flexion pure; il se traduit par une surestimation de l’énergie de cisaillement transverse lorsque la discrétisation ne permet pas de satisfaire les conditions cinématiques de Kirchhoff. Le verrouillage de membrane intervient dans ces structures si les effets de flexion et ceux de membrane ne sont pas découplés. Le verrouillage volumétrique, quant à lui, peut survenir lorsque le matériau est presque incompressible [72, 73 et 71]. Chapitre 4. Un modèle EF de flambage de coques sous contraintes résiduelles  ) avec λ (tra) et λ (res) deux paramètres scalaires qui permettent de faire varier respectivement le niveau de chargement en traction (P) et en contraintes résiduelles de référence (S res). On admettra les numérotations suivantes des bords de la plaque auxquels des conditions aux limites sont imposées selon le cas traité. Pour les applications au laminage, le choix des conditions aux limites est détaillé plus loin (cf. chapitres 5 et 6).