ALGÈBRES DE LIE

La matrice d’adjacence de G munit V d’une forme bilinéaire alternée, et nous nommerons k{G} l’espace alterné de G. Il est facile de vérifier qu’un sous-ensemble S d’un espace alterné V clos sous l’opération a  b = a + (a,b)b est un ensemble symétrique. On appelle un tel sous-ensemble S un ensemble symétrique abélien . Une propriété remarquable des ensembles symétriques abéliens, qui n’est pas vraie en général pour les ensembles symétriques, est que a  b ≠a ⇒ a  b = b  a LEMME 3.0.24. (KAPLANSKY) Soit S un ensemble abélien symétrique, et soit L(S) l’espace vectoriel sur k de base {ea : a ∈ S }. Définissons la multiplication dans L(S) par eaeb = (a, b)ea o b . Ainsi, L(S) est une algèbre de LIE de dimension |S| sur k. DEMONSTRATION . La commutativité de la multiplication vient du fait que S est un ensemble abélien symétrique : (a,b) = 1, alors a  b = b  a . Nous munissons , L(S) d’une forme bilinéaire alternée (ea,eb) =(a, b) pour tout a, b ∈ S. Il y a quatre cas pour vérifier l’identité de Jacobi pour ea, eb, ec, illustré ci-dessous (une arête a et b signifie que (a,b) = 1; aucune arête n’est définie ailleurs). Chacun des cas ci dessus est simple, vérifions par exemple le cas 2: (a,b) = 1, (a,c) = 1 et (b,c) = 0.

Si S n’est pas séparable, alors il existe a,b ∈ S qui ne peuvent pas être séparés nous pouvons supposer que a et b sont adjacents . Définissons B={a,b} tel qu’il soit un sous-ensemble symétrique de S. Si c ∈ ={a,b}, alors B  c = B. D’autre part, c est adjacent à a et à b. Donc, b  c = b + c et a  c = a + c. Supposons (B  c) ∩ B ≠ ∅ ; soit a + c ∈ B . Alors soit , a + c = a, soit a + c = b. Dans le premier cas, on a c = 0, cela contredit (a,c) ≠ 0. Dans le second cas, on a forcément b+ c = a, et donc B  c = B. L’un ou l’autre cas contredit la simplicité de S. DEMONSTRATION. Soit V un espace vectoriel sur Z/2Z de dimension 2n muni d’une forme bilinéaire alternée non dégénérée. Il est facile de voir que S = V – {0} est un ensemble symétrique abélien qui est connexe (choisissons une base symplectique de V ; tout vecteur non nul est adjacent à un certain vecteur de la base, et tout vecteur de base est adjacent au vecteur dont toutes les cordonnées valent 1) et séparable (lemme ci-dessus) ; et le résultat découle du théorème 3.0.25.

Une matrice symétrique formée de 0 et de 1 ayant des 0 sur la diagonale, comme une matrice d’adjacence, est antisymétrique lorsqu’on le considère modulo 2. Mais si une matrice d’adjacence antisymétrique m×m est non singulière, alors m doit être pair. Donc, seuls les graphes dont le nombre total de sommets est pair peuvent être non dégénéré. En particulier, le graphe séparable de l’exemple 3.0.36. est dégénéré car il possède cinq sommets. Tous les autres exemples sont les plus petits graphes connexes non dégénérés. Si n est pair, alors Kn, le graphe complet sur n sommets, est non dégénéré : si J est un n×n-matrice tel que chaque terme soit égal à 1, alors Jn= nJ DEMONSTRATION. Si G n’est pas complet, alors il ;existe deux sommets a et b dans G tels que (a,b) = 0, et cette équation reste valable dans G* ; d’où G* n’est pas complet. Si G est une arête, alors G* est le graphe complet sur trois sommets. Si G est complet sur plus de deux sommets, il contient trois sommets distincts a, b et c. Par conséquent, G* contient a et b + c, et ceux-là ne sont pas adjacents car (a, b + c) = 1 + 1 = 0 ; donc, G* n’est pas complet. Par suite, on a le résultat avec le théorème 3.0.35. et le lemme 3.0.41.

DEMONSTRATION. L’espace alterné de F est H(X). Le résultat découle du lemme 1.0.9 et du théorème 1.0.7 KAPLANSKY donne quatre classes des algèbres de LIE centrales simples sur Z/2Z, la première d’elle résulte d’un espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire non alternée. La classe II est précisément L(S) lorsque S = V –{0} (corollaire 3.0.42 ). La classe III est de dimension n(n –1)/2 (elle s’avère être L(K*), où Kn est le graphe complet sur n sommets). Enfin, soit V un n-espace alterné non dégénéré, et soit Q une forme quadratique associée à la forme bilinéaire. Alors, S = { v ∈ V : Q(v) = 1} est un ensemble symétrique qui est connexe et séparable, et L(S) donne des algèbres de KAPLANSKY de classe IV. Jusque-là, nous avons travaillé avec des algèbres de LIE munies de formes bilinéaires ; une question naturelle est le cas où il n’y aurait pas de connectivité avec les formes de KILLING : f(ea, eb ) = Tr((ada)(adb)). COROLLAIRE 3.0.48. La forme de KILLING sur L(G*) est identiquement nulle.