Calcul du spectre et le comportement asymptotique des solutions des équations d’évolution

QUELQUES TRAVAUX SUR LA FONCTION DE WEYL POUR L’OPERATEUR DE STURM-LIOUVILLE NON ´ AUTO-ADJOINT 

Il existe de nombreux travaux concernant des problèmes avec des paramètres spectraux dans la condition aux limites. Une approche laquelle a été développée dans [39] et basée sur la notion fondamentale d’une fonction spectrale contient divers problèmes avec paramètres et sans paramètres tous les deux dans la condition aux limites. Quelques références aux problèmes avec un paramètre spectral dans la condition aux limites ( spectre discret, etc.) peuvent ˆetre trouvées dans [5]. E. V. CHEREMNIKH.[14] a considéré un exemple simple d’un opérateur de Sturm-Liouville sur la demi-droite avec un potentiel trivial et une condition aux limites non locale variable. Le but du travail est de montrer que le problème aux limites admet maintenant une condition aux limites locale, mais cette condition contient une fonction rationnelle du paramètre spectral. Les pôles du prolongement analytique de la résolvante sont essentiels ici. 

Problème non local de Sturm-Liouville avec un potentiel trivial

L’auteur a considéré le problème ( −v 00 − ζv = u, x > 0 v (0) + (v, η)L2(0, ∞) = 0 (4.1) u (x), η (x) sont des fonctions données de l’espace L 2 (0, ∞). L’opérateur de Sturm-Liouville L engendré par l’expression Lv = −v 00, v (0) = 0 est diagonalisé par la transformation F : L 2 (0, ∞) −→ L 2 p (0, ∞), ρ (τ ) = 1 π √ τ ϕ (τ ) = Fu (τ ) = Z∞ 0 u (x) sin x √ τ √ τ dx, (4.2) u (x) = F −1ϕ (τ ) = 1 π Z∞ 0 ϕ (τ ) sin x √ τ dτ Le produit scalaire dans L 2 (0, ∞) et L 2 ρ (0, ∞) est désigné par (., .)L2(0, ∞) et (., .). L’intégration par partie donne F (−v 00) (τ ) = τFv (τ ) − v (0) (4.3) Si v (0) = 0, alors (4.3) signifie l’égalité F −1SF = L tel que Sϕ (τ ) = τϕ (τ ), τ > 0. On introduit l’opérateur Se : L 2 p (0, ∞) −→ L 2 p (0, ∞) comme suit    D  Se  =  ψ ∈ L 2 ρ (0, ∞) /∃c = c (ψ) : R ∞ 0 |τψ (τ ) + c (ψ)| 2 ρ (τ ) dτ < ∞ Sψe (τ ) = τψ (τ ) + c (ψ), ψ ∈ D  Se  . Si v (0) 6= 0, alors (4.3) signifie l’égalité F −1SeF = Lmax o`u Lmax est l’opérateur maximal correspondant de l’opérateur différentiel L. 40 Les valeurs c (ψ) définissent une fonctionnelle dans l’espace L 2 ρ (0, ∞), d’après (4.2) et (4.3), c (ψ) = −v (0). Soient ϕ = Fu, ψ = Fv, γ = Fη (4.4) On introduit l’opérateur T : L 2 ρ (0, ∞) −→ L 2 ρ (0, ∞) comme suit ( D (T) = {ψ ∈ L 2 (0, ∞) : −c (ψ) + (ψ, γ) = 0} T ψ = Sψ, ψ e ∈ D (T). (4.5) Donc le problème (4.1) prend la forme (T − ζ) ψ = ϕ, ψ ∈ L 2 ρ (0, ∞) (4.6) En prenant la dérivée de la deuxième égalité dans (4.2) nous obtenons formellement u 0 (0) = (ϕ, 1). Donc, on a besoin des opérateurs S, T et des fonctionnelles c (ψ) = −v (0), (ψ, 1) = v 0 (0), ψ = Fv. (4.7) Le problème (4.1) en raison de (4.3), (4.4) prend la forme (τ − ζ) ψ + (ψ, γ) = ϕ (τ ), τ > 0. Soit Sζ = (S − ζ) −1 , Tζ = (T − ζ) −1 et Eζ = 1 τ − ζ , ζ /∈ [0, ∞). Alors ψ + (ψ, γ) Eζ = Sζϕ. En multipliant par γ on obtient (ψ, γ) [1 + (Eζ , γ)] = (Sζϕ, γ). On note par δ (ζ) = 1 + (Eζ , γ) = 1 + Z∞ 0 γ (τ ) τ − ζ ρ (τ ) dτ, (4.8) alors ψ = Tζϕ = Sζϕ − 1 δ (ζ) (Sζϕ, γ) Eζ , ζ /∈ [0, ∞), δ (ζ) 6= 0. (4.9) L’opérateur Tζ est borné, donc Tζ est la résolvante. 41 On a besoin de quelques limites des valeurs si ζ → σ, Im ζ → ±0, lesquelles sont notées par δ± (σ) = lim ζ→σ δ (ζ) et (Tσϕ, ψ)± = lim ζ→σ (Tζϕ, ψ), δ± (σ) 6= 0. (4.10) Ces valeurs existent si, par exemple ϕ, ψ, γ ∈ C 1 [0, ∞). Soient (ϕ, bσ) = δ− (σ) ϕ (σ) − (Sσϕ, γ)− (aσ, ψ) = 1 δ+ (σ) (Eσ, ψ)+ − 1 δ− (σ) (Eσ, ψ)+ (4.11) Lemma 51 Si γ ∈ C 1 [0, ∞) ∩ L 2 p (0, ∞) alors la résolvante Tζ a le saut sur la demi-droite (0, ∞), (Tσϕ, ψ)+ − (Tσϕ, ψ)− = (ϕ, bσ) (aσ, ψ), (4.12) o`u ϕ, ψ ∈ C 1 [0, ∞) ∩ L 2 p (0, ∞) et δ+ (σ) δ− (σ) 6= 0. Evidemment, la fonction Eζ (τ ) est la transformation de Fourier de la fonction eζ (x) = e i √ ζx , Im p ζ > 0, (4.13) i.e., F (eζ ) (τ ) = 1 τ−ζ = Eζ (τ ). En prenant la dérivée de la dernière égalité par rapport à ζ, on obtient que la transformation de Fourier γ = Fη de sommes finies η (x) = Xpk (x) e αkx , Re αk < 0, o`u pk (x) sont des polynômes arbitraires, est une fonction rationnelle γ (τ ), bornée sur [0, ∞) et telle que γ (τ ) = O 

Fonction de Weyl pour le modèle de Friedrichs 

Soit Ω un domaine contenant la demi-droite [0, ∞) ⊂ Ω, par exemple une bande. Soit Φ ⊂ H un sous-espace des éléments ϕ qui admettent le prolongement analytique ϕ (ζ), ζ ∈ Ω. Maintenant le but est de généraliser la décomposition (4.33) pour notre modèle de Friedrichs T c’est-à-dire pour garder les propriétés suivantes: la fonction (Tmaxϕ, ψ)H , les fonctions propres 

Calcul des opérateurs de Sturm-Liouville

Notre but est de réécrire la décomposition (4.67) en termes de l’opérateur initial L ( voir (4.37)). Donc, nous avons besoin de toutes les expressions dans (4.55)-(4.58) ou (4.66). Ces expressions décrivent l’opérateur T (k) ( voir (4.53)) qui correspondent à l’expression différentielle (4.16) avec q (x) = qk (x). Donc, nous devons décrire (4.32)-(4.33) en termes d’opérateur différentiel dans l’espace L 2 (0, ∞).