Calcul Stochastique

Le mouvement Brownien est une discription du mouvement aléatoire de particules qui ne sont soumises à aucune autre interaction que les chocs. En 1827, le biologiste Robert Brown décrit pour la première fois ce phénomène en observant le mouvement de pollens flottant sur l’eauSa description est la suivante 😕 La trajectoire d’une particule entre deux choses est une ligne droite avec une vitesse constante.? Lorsqu’une particule rencontre une autre ou un paroi, elle est accelérée. Ceci a entraîné des progrès considérables dans la théorie cinétique des gaz. La difficulté réside dans le fait que le mouvement est nul, il n’y a pas de mouvement d’ensemble (contrairement à un vent aucun courant).? à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s’annule. i.e. il n’y a pas de mouvement d’ensemble.? au cours du temps, si l’on suit une particule donnée, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ.On voit donc la difficulté de caractériser un tel mouvement.En 1905 Albert Einstein donna la solution. Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n’est pas la moyenne arithmétique des positions < X > mais la moyenne quadratiqueOn peut utiliser le même modèle lorsque le mouvement se fait par sauts discrets entre position définie. Ce qui se justifie par le fait qu’entre deux po- sitions on a des mouvements en ligne droite, comme par exemple la diffusion dans les solides. Si les xi sont les positions successives d’une particule, alorssur laquelle on a évalué < X2 >, qui est une caractéristique du mouvement et dépend de l’agitation des particules au coefficient de diffusion, frottement, attraction entre particules.

Intégrales stochastiques

Un processus ‘ = (‘t)t¸0 à valeurs dans Rd est étagé s’il existe une suite 0 · t1 < ::: < tn < ::: tendant vers +1 et une suite de v.a bornées à valeurs dans Rd, (Ui)i2N, telle que Ui soit (Ft)i mesurable por tout i 2 N, et que la propriété suivante soit vérifiée :sition des sous-martingales M1(t))2 et(M2(t))2. En posant B = A1 ¡ A2 on voit que MtNt ¡ Bt)t¸0 est une martingale.L’unicité de B résulte du fait que si A1etA2 sont deux processus croissant, prévisibles, intégrables, Cadlag nuls en zéro tels que :(A1(t) ¡ A2(t))t¸0 soit une martingale alors A1 = A2 (unicité de la décomposition de Doop Meyer). Remarque 2.2.2.1Les processus A = (At)t¸0 et B = (Bt)t¸0 de la proposition précédente seront respectivement notés < M >= (< Mt >)t¸0 et < M; N >= (< M; N >t)t¸0. Soit ‘ 2 « , donné parDéfinition 3.3.1. Soit X = (Xt)t¸0 un processus à valeurs réelles (Ft) adapté.On dit que X est une semi-martingale continue s’il admet une décomposition de la forme Xt = Xo + Mt + Vt(t ¸ 0) où M = Mt est une (Ft) martingale locale continue, nulle en zéro, V = Vt est une processus à variation finie sur tout compact de R+, continue, adaptée, Mc;loc l’ensemble des martingales lo- cales continues.On considère ci-dessous un espace de probabilité filtré (­; F ; (Ft)t¸0; P) véri- fiant les conditions habituelles.On va donner un théorème qui va nous aider dans la démonstration de la formule d’Ito.Remarque 2.3.1.1 :On aurait pu obtenir le résulat précédent en appliquant la formule d’Itô à St = Á(Zt), avec Zt = (¹ ¡ ¾2=2)t + ¾Wt (qui est un processus d’Itô) et Á(x) = x0exp(x).On vient donc de démontrer l’existence d’une solution de (1). Nous allons maintenant prouver que cette solution est unique. Pour cela, nous allons utiliser une propriété généralisant la « formule d’intégration par parties » dans le cas des processus d’Itô.Proposition 2.3.1 (Formule d’intégration par parties)Soient Xt etYt deux processus d’Itô,

Equations Différentielle Stochastiques E.D.S.

On se limite au théorème d’existence et d’unicité. Soit (­; F; Ft; P) un espace de probabilité filtré vérifiant les ”conditions habituelles ” et B =à valeurs dans M et Rq respectivement, vérifiant les conditions précédentes, alors il existe un processus (Xt; t ¸ 0) à valeurs Rq; adapté continu, unique vérifiant les conditions suivantes.- Pour tout t ¸ s; EfSoit Ck(E) l’ensemble des fonctions continues de E dans R dont les dé- rivées sont continues pour tout ordre supérieur à k; k 2 R; E est un sous – ensemble d’un espace euclidien Rd:Si f (t; x) : [0; T ] £ E ¡! R est une fonction continue, nous écrivons f 2Soit Ck(E) l’ensemble des fonctions continues de E dans R dont les dé- rivées sont continues pour tout ordre supérieur à k; k 2 R; E est un sous – ensemble d’un espace euclidien Rd:Si f (t; x) : [0; T ] £ E ¡! R est une fonction continue, nous écrivons f 2Remarque 2.7 Nous écrivons fréquemment X à la place de X(t;x) au lieu de Et;x et A au lieu de At: Si b et ¾ sont indépendants de t: Soit A un opérateur qui pour f de sous – classe de l’espace C2(Rd .