Caractérisation fine de l’influence de la viscoelasticité sur  un processus d’atomisation

Instabilité faiblement non-linéaire des jets

Afin de décrire l’instabilité faiblement non-linéaires des jets, les interfaces positives rs1(z, t) et rs2(z, t) rs1(z, t) = 1 + ϵη1(z, t) (2.181) rs2(z, t) = 1 + ϵη1(z, t) + ϵ 2 η2(z, t) (2.182) sont tracées en fonction du temps à partir des résultats de l’analyse faiblement non-linéaire obtenus en section 2.2 et des solutions aux relations de dispersion d’ordre 1 et 2. Pour cela, les paramètres suivants on été choisis : — Le mode de perturbation choisi est le mode pure-deformation, en fixant ηep = 1 et wep = 0. — L’indice de sommation N est pris égal à 3. — L’amplitude de perturbation initiale est choisie égale à ϵ = 0.03. — Le pas de temps est pris égal à 0.56. 2.3.3.1 Rupture de jets La rupture du jet est identifiée dés lors que rs(z, t) ≤ 0. On note tbu1 et tbu2 les temps de de ruptures propres à l’analyse linéaire et à l’analyse faiblement non-linéaire, respectivement. On note tbu1d le temps de rupture propre à l’analyse linéaire prenant en compte exclusivement le mode instable caractérisé par la solution α1d et étant défini par : tbu1d = 1 |Re(α1d)| ln  1 ϵ  (2.183) En Figure 2.9, les temps de rupture tbu1d, tbu1 et tbu2 sont tracés en fonction du nombre d’onde k pour le cas d’application C (De1 = 10 et De2 = 1) avec un nombre d’Ohnesorge Oh0 = 0.1. On constate que les trois temps de rupture sont proches et suivent la tendance suivante : lorsque le nombre d’onde k est au voisinage de 0 et de 1, les temps de ruptures sont les plus importants. Ils sont minimaux lorsque k = kopt. Le temps de ruture tbu1d est plus faible que tbu1. Ce résultat est cohérent puisqu’à la différence de tbu1, tbu1d ne prend pas en compte les modes relatifs aux solutions α1sa et α1sb, dont les parties réelles sont positives et qui tendent alors à amortir l’instabilité dans le temps. L’écart tbu1−tbu1d est minimal pour k = kopt1. La négligence des modes stables implique une sur-estimation du temps de rupture. En comparant les temps de rupture tbu1 et tbu2, on constate que pour k approchant de 0, l’écart tbu2 − tbu1 est très important. Il diminue jusqu’à ˆetre quasiment nul en k = kopt2. Au-delà de kopt2, l’écart prend des valeurs plus importantes et connaˆıt un point d’inflexion en k = kopt1. L’ecart continue d’augmenter et prend des valeurs très importantes à l’approche de k = 1. Ainsi, la négligence des contributions non-linéaires implique une surestimation du temps de rupture. Cette sur-estimation est d’autant plus importante lorsqu’on s’éloigne du mode optimal. Ces observations sont vérifiées sur les autres cas d’applications. On note que l’écart entre les temps tbu1 et tbu2 est de fa¸con générale plus important pour les cas A et D et d’autant plus lorsque le nombre d’Ohnesorge Oh0 augmente. Ce résultat indique que les non-linéarités induites par l’ajout de viscoélasticité tendent à amortir les instabilités. 84 Figure 2.9 – Tracé des temps de rupture tbu1d, tbu1 et tbu2 en fonction du nombre d’onde k pour le cas d’application C avec un nombre d’Ohnesorge Oh0 = 0.1. Cette conclusion est par ailleurs confirmée en Figure 2.10 o`u sont tracés les temps de ruptures tbu2 en fonction du nombre d’Ohnesorge Oh0 avec k = kopt pour tous les cas d’application. On constate que : — Comme visible pour tout les cas d’application, une augmentation du nombre dOhnesorge Oh0 implique une augmentation du temps de rupture tbu2 (k = kopt). Cette variation est quasi-proportionnelle. — Une augmentation du rapport De1/De2 implique une diminution de tbu2 (k = kopt), comme le suggère la comparaison des cas B, C et D. Cette variation est quasiment inversement proportionnelle. — Cette dernière constatation n’est pas vérifiée pour le cas A : lorsque les temps de Deborah sont très faibles, tbu2 (k = kopt) est important. Figure 2.10 – Tracé des temps de rupture tbu2 (k = kopt) en fonction d’Ohnesorge Oh0 pour tous les cas d’application.

Résultats de l’étude théorique

Prédiction de gouttes secondaires

On s’intéresse ici à la géométrie de l’interface au temps de la rupture du jet tbu. En procédant à un changement de variable, l’interface de second ordre peut ˆetre exprimée comme : rs2(u, t) = 1 + ϵB11(t) cos(u) + ϵ 2B22(t) cos(2u) + ϵ 2B22s(t) sin(2u) + ϵ 2B20(t) (2.184) Ainsi, rs2(u, t) est une fonction de nature cosinuso¨ıdale multi-modale. Chaque mode est associé à un facteur B dépendant du temps t et exprimé grˆace aux résultats de l’analyse faiblement non-linéaires. Ces modes sont représentés en Figure 2.11-a) avec des amplitudes de valeur absolue égale à l’unité. Figure 2.11 – Tracés a) des modes constituants la position de l’interface rs2(z, t) et b) des trois configurations géométriques possiblement adoptées par l’interface rs2(z, t). Les valeurs des coefficients G21 dont dépend le facteur B21s(t) associé au mode sin(2u) ont été trouvées infinitésimales pour tous les cas d’applications traités dans cette étude. Ainsi, le facteur B21s(t) sera négligé dans le développement suivant. Par ailleurs, le facteur B11(t) est strictement positif et le facteur B20(t) est strictement négatif pour tous les cas d’applications traités dans cette étude. Seul le signe du facteur B22(t) est amené à varier suivant la valeur de k et des propriétés du liquide. Suivant les valeurs des facteurs B11(t) et B22(t) et du signe de B22(t), l’interface du jet peut adopter trois types de géométries différentes, représentées en Figure 2.11-b). Pour u appartenant à l’intervalle ]0, 2π] : — La configuration I présente un minimum local et un maximum local. La contribution en cos(u) est prédominante. — La configuration II présente deux minimums locaux centrés l’un sur le maximum local propre à la configuration I et l’autre sur le minimum local propre à la configuration I. — La configuration III présente deux maximums locaux centrés l’un sur le maximum local propre à la configuration I et l’autre sur le minimum local propre à la configuration I. Cette configuration implique théoriquement la production de gouttes secondaires. Dans le cadre d’une analyse de stabilité faiblement non-linéaire d’un jet de liquide Newtonien, Renoult et al. (2018) effectuent un développement permettant d’établir le lien entre ces configurations et les différentes contributions présentes dans l’expression de rs2(z, t). En négligeant 86 le facteur B21s(t), les résultats de ce développement sont valides dans le cas viscoélastique et se formulent de la fa¸con suivante : q22(t) = −B11(t) 4ϵB22(t) (2.185) — La configuration I est adoptée si |q22(t)| ≥ 1. — La configuration II est adoptée si |q22(t)| < 1 et si q22(t) est positif. — La configuration III est adoptée si |q22(t)| < 1 et si q22(t) est négatif. L’interface du jet évolue en premier lieu dans la configuration I puis connaˆıt une transition vers la configuration II ou la configuration III aux temps critiques t II s et t III s , respectivement. En Figure 2.12, ces temps sont tracés en fonction du nombre d’onde k pour le cas d’application C (De1 = 10 et De2 = 1) avec un nombre d’Ohnesorge Oh0 = 0.1. On constate que pour k > ktrans, l’interface du jet adopte la configuration II et que pour k < ktrans la configuration III est adoptée. Lorsque k < k⋆ , t II s est quasi-nul. Au dépassement de k ⋆ , t II s augmente fortement, puis diminue, puis réaugmente progressivement jusqu’en k = ktrans. Le nombre d’onde ktrans est le siège d’une discontinuité de ts. Lorsque le nombre d’onde dépasse ktrans, la configuration II est adoptée. Le temps t II s connaˆıt une diminution progressive jusqu’à atteindre un minimum, puis réaugmente jusqu’en k = 1. Figure 2.12 – Tracé des temps de transition t II s et t III s en fonction du nombre d’onde k pour le cas d’application C avec un nombre d’Ohnesorge Oh0 = 0.1. Ces tendances sont observées pour tous les cas d’application traités dans cette étude. Le comportement de k ⋆ a été précédemment étudié en sous-section 2.3.2.3. En Figure 2.13-a), le nombre d’onde de transition ktrans est tracé en fonction du nombre d’Ohnesorge Oh0 pour tous les cas d’application. On constate que lorsque Oh0 est faible, on a 0.46 ≤ ktrans ≤ 0.48. Pour tous les cas d’applications, lorsque Oh0 augmente, ktrans connait une diminution puis une augmentation. Un ajout viscoélasticité n’a pas un effet clairement identifiable sur ktrans pour de faibles viscosités. Il semblerait que pour des viscosités plus importantes, les solutions plus viscoélastiques présentent un nombre d’onde de transition ktrans plus faible. 

Résultats de l’étude théorique

 En Figure 2.13-b), la différence ktrans − kopt est tracée pour tous les cas d’application. Lorsque ktrans > kopt, cette différence est positive et implique une forte probabilité que l’interface du jet libre adopte la configuration II, o`u la formation de gouttes secondaires est prédite. Pour tous les cas d’application, lorsque Oh0 est faible, la différence ktrans − kopt est relativement éloignée de la valeur 0, impliquant une faible probabilité de formation de gouttes secondaires. Cette probabilité augmente avec l’augmentation de Oh0. Pour Oh0 ≥ 0.4, les cas A et D, peu viscoélastiques, semblent plus propices à la formation de gouttes secondaires. Pour Oh0 = 0.8, on a ktrans ≥ kopt pour tous les cas d’applications. Figure 2.13 – Tracés a) du nombre d’onde de transition ktrans et b) de la différence ktrans − kopt en fonction du nombre d’Ohnesorge Oh0 pour tous les cas d’application. En Figure 2.14, le temps de transition ts de la configuration I à la configuration II ou III en k = kopt est tracé en fonction du nombre d’Ohnesorge Oh0 pour tous les cas d’application. Pour de faibles nombres d’Ohnesorge, ce temps est quasiment le mˆeme pour toutes les solutions traitées. Lorsque Oh0 augmente, ce temps devient presque nul pour le cas D. Pour les autres cas, on constate une augmentation de ce temps. L’influence de la viscosité sur le temps ts apparaˆıt moins importante lorsque la viscoélasticité augmente. Figure 2.14 – Tracé du temps de transition ts (k = kopt) en fonction du nombre d’Ohnesorge pour tous les cas d’application. 88 2.3.3.3 Influences des modes subdominants Dans le cadre d’analyses linéaires et faiblement non-linéaires, nombre d’auteurs ne prennent en considération que les modes instables (ici associés aux solutions αd) et négligent les contributions liées aux modes stables (ici associés aux solutions αsa et αsb). Ce choix peut se justifier par les raisons suivantes : — De par la nature exponentielle de la dépendance temporelle des différentes contributions, le mode instable dominent relativement rapidement les modes stables. — La prise en compte des modes stables complexifie l’analyse de stabilité effectuée en 2.2. Cette complexification est accentuée d’une part lorsque l’analyse est réalisée à l’ordre 2, et d’autre part aut travers de l’existence d’un mode stable supplémentaire lorsque le liquide considéré est viscoélastique. — La résolution des relations de dispersion constitue une difficulté qui est accentuée pour les solutions associées aux modes stables. En effet, alors que αd est purement réelle pour tout nombre d’onde k, les autres solutions présentent des parties imaginaires non-nulles selon k. La résolution de telles relations a été grandement facilitée par le développement d’outils numériques. Afin de caractériser les conséquences de cette approximation dans le cadre d’une étude linéaire, Garc´ıa et Gonz´alez (2008) introduisent la fonction Γ1(t) définie par : Γ1(t) = η1,t(z, t) −αdη1(z, t) − 1 (2.186) qui se développe ici comme : Γ1(t) = P u=d,sa,sb α u 1 ηˆ u 1 e −α u 1 t αd P u=d,sa,sb ηˆ u 1 e −α u 1 t − 1 (2.187) Cette fonction est une fonction décroissante du temps. Le temps noté tΓ1 correspond au temps auquel Γ1(t) = 0, 01 et signifie que jusqu’à ce temps, l’erreur relative due à l’approximation est inférieure à 1%. Garc´ıa et Gonz´alez (2008) parviennent à exprimer analytiquement ce temps à partir des taux de croissance et des amplitudes de déformation pour le cas Newtonien. Dans le cas viscoélastique, la présence d’un mode supplémentaire ne le permet pas et pour cette raison ce temps est déterminé numériquement seulement. Par ailleurs, on introduit dans cette étude non-linéaire la fonction analogue Γ2(t) définie par : Γ2(t) = ϵη1,t(z, t) + ϵ 2η2,t(z, t) −ϵα1dη1(z, t) − 2ϵ 2α1dη21(z, t) − ϵ 2α2dη22(z, t) − 1 (2.188) De mˆeme qu’au premier ordre, le temps noté tΓ2 correspond au temps auquel Γ2(t) = 0, 01 et signifie que jusqu’à ce temps, l’erreur relative dˆu à l’approximation est inférieure à 1%. En Figure 2.15, les temps tΓ1 et tΓ2 sont tracés en fonction du nombre d’onde k pour le cas d’application C (De1 = 10 et De2 = 1) avec un nombre d’Ohnesorge Oh0 = 0.1. On constate d’un premier abord une augmentation globale des temps tΓ1 et tΓ2 lorsque le nombre d’onde k diminue, indiquant une influence plus importante des modes subdominants vis-à-vis de l’évolution temporelle de la déformation de la surface du jet. Cette influence est peu importante pour le mode optimal (k = kopt). La comparaison des tΓ1 et tΓ2 amène aux observations suivantes : 2.3 Résultats de l’étude théorique 89 — Pour des nombre d’ondes k < kopt2 : tΓ2 < tΓ1. La prise en compte des non-linéarités impliquant les modes subdominants écourte l’intervalle de temps dans lequel les modes subdominants ont une influence considérable. — Pour des nombre d’ondes k > kopt2 : tΓ2 > tΓ1. La prise en compte des non-linéarités impliquant les modes subdominants allonge l’intervalle de temps dans lequel les modes subdominants ont une influence considérable. Ces dernières observations, ainsi que la présence de fluctuations des fonctions tΓ1(k) et tΓ2(k) laissent penser que ces temps dépendent de la nature des solutions aux relations de dispersion