Climatisation et l’élaboration de stratégies d’optimisation énergétique et d’effacement

Analyse et élaboration de modèles inverses « boite noire »

La littérature contient de nombreuses études sur la modélisation de bâtiment à l’aide de modèles « boite noire ». Ces études permettent de distinguer deux approches : les modèles paramétriques linéaires et les modèles non-linéaires. Le bâtiment équipé de son système de climatisation, régulé en température est, a priori, un système non linéaire (saturation des systèmes), mais de nombreux auteurs ont choisi de le représenter par des relations linéaires. Dans l’étude qui suit, les valeurs négatives (non physique) sont remplacées par des zéros. Les entrées des modèles « boite noire » sont présentées dans le tableau 5. La puissance et la température intérieure seront calculées par des modèles séparés. Le logiciel Matlab avec les toolbox « System Identification » et « Neural Network » sont utilisés dans cette section.

Modèles paramétriques linéaires « boite noire »

Analyse bibliographique

Le modèle de bâtiment le plus simple est la régression linéaire en fonction de la température extérieure. Cette modélisation statique fonctionne essentiellement en chauffage et sur les bâtiments anciens (peu de fenêtres, mal isolés et sans réduit de température). Depuis la première réglementation thermique (RT 88 pour le non résidentiel) et suite aux nombreuses incitations aux économies d’énergies (grenelle I&II, LOI n° 2010-788), ce cas de figure tend à disparaitre. Rabl (Rabl & Rialhe, 1992) montre, sur un cas d’étude (centre commercial climatisé), qu’ajouter une variable d’occupation (en plus de la température extérieure) augmente significativement la précision du modèle. C’est un des premiers auteurs à utiliser la régression linéaire multiple pour prévoir la consommation d’un bâtiment. Les modèles de type régression linéaire MISO (Multi Inputs Single Output) et MIMO (Multi Inputs Multi Output) se déclinent en plusieurs formulations qui sont présentées dans le tableau 7. Seuls les modèles MISO sont étudiés dans ce chapitre. – y : sortie du modèle (série temporelle) – u : entrées du modèle (séries temporelles) – e : bruit blanc qui prend en compte les perturbations non mesurées dans le système étudié – A, B, C, D et F : matrices à identifier lors de l’apprentissage Ces modèles peuvent s’écrire sous une forme développée.  Un retard d’un pas de temps a été appliqué aux entrées et au bruit (les entrées débutent à partir de « t-1 »). Les coefficients a, b et c sont identifiés lors de l’apprentissage. Un exemple concret est présenté dans l’annexe 2.1. Jiménez (Jiménez, et al., 2008) et (Mustafaraj, et al., 2011) montrent que les modèles de type ARX sont suffisamment performants pour modéliser le comportement thermique du bâtiment. D’autres auteurs comme (Kawashima, et al., 1995) préconisent l’utilisation d’un modèle de type ARIMA. On verra par la suite que le choix du modèle a peu d’impact sur la qualité de la prévision, tandis que l’ordre a un fort impact. Avec la mise en place de réduits de nuit, les bâtiments sont rarement en régime permanent sur une période de 24 heures. Ainsi, les modèles statiques ne sont plus adaptés à la prévision de charge. Rab (Rabl, 1988) compare plusieurs modèles dynamiques pour l’analyse des bâtiments. Un modèle autorégressif de type ARIMA et un modèle d’équations d’état sont comparés sur leurs capacités à prévoir la puissance de chauffage. Les entrées utilisées sont la température extérieure, l’ensoleillement et les consignes de température. Le modèle d’équations d’état (state space model) est la mise en forme matricielle des équations différentielles linéaires. Il s’écrit sous la forme de deux équations couplées.  On distingue 3 types de variables : – Les variables d’état (X) : ce sont les variables qu’il faut connaitre à tout instant pour comprendre le système – Les entrées (u) : ce sont les informations que l’on connait du système (mesures, consignes, etc…) et qui influencent le système – Les sorties (y) : ce sont les informations que l’on cherche à calculer (prévoir). Comme pour les modèles de régression, les matrices A, B, C, D et K sont identifiées lors de l’apprentissage. Pour un modèle d’ordre 4 avec 4 entrées, il y a 68 (43 +4) constantes à identifier en plus des conditions initiales (valeurs des états à t=0). Ce type de modèle est aussi étudié par Jiménez (Jiménez & Madsen, 2008) et Richalet (Richalet, 1991). Wang (Wang & Chen, 2001) propose d’utiliser une autre forme de modèle paramétrique linéaire, il utilise la transformation de Laplace pour créer des modèles de fonction de transfert. En effet, il démontre qu’il est possible de modéliser une paroi multicouche de manière très précise à l’aide d’une fonction de transfert d’ordre 5 (Wang & Chen, 2002). Cette formulation est aussi utilisée par Jiménez (Jiménez & Madsen, 2008). Dans ce type de modèle, la sortie (y) est une combinaison linéaire des entrées, chaque entrée étant au préalable « filtrée » dans le domaine fréquentiel (transformation de Laplace) par une fonction de transfert. Voici un exemple de modèle de fonction de transfert MISO : Y H U Ke 5

 Elaboration et test des modèles « boite noire » linéaires

Ce paragraphe présente la comparaison de trois modèles paramétriques linéaires sur leur capacité à prévoir les besoins de chauffage, de refroidissement et la température intérieure. L’étude se limite à la comparaison des modèles ARMAX, équations d’état et de fonction de transfert. Parmi les modèles de régression, seul le modèle ARMAX est testé. En effet, Mustafaraj (Mustafaraj, et al., 2010) démontre qu’il est plus performant que les modèles ARX et OE. Cette conclusion semble logique puisque le modèle ARMAX englobe les modèles ARX et OE. Par exemple, si C= [1 1 1] (pour un modèle d’ordre 3) on retrouve un modèle ARX (voir le tableau 6). Un raisonnement équivalent permet de retrouver le modèle OE. Le modèle BJ n’est pas sélectionné, car il présente des problèmes de robustesse, en effet l’algorithme d’identification ne converge pas lors de l’apprentissage pour le cas d’étude. Cela provient peut-être des matrices au dénominateur, situation que l’on retrouve uniquement pour le modèle BJ. L’ordre des modèles a un impact conséquent sur leur performance. Partant du principe que parmi plusieurs modèles qui ont les mêmes performances il faut choisir le plus simple, on propose la méthode suivante. A partir du modèle le plus simple (premier ordre) l’ordre est incrémenté à chaque itération et les performances du modèle sont calculées. Cette opération continue jusqu’au moment où il n’y a plus d’amélioration des performances du modèle. Les tableaux de résultats sont présentés dans l’annexe 2.1. Seul le meilleur candidat de chaque type de modèle est présenté dans le tableau 7. On rappelle que la puissance et la température sont calculées par des modèles indépendants. Pour le modèle ARMAX, il est possible d’associer un ordre différent à chaque entrée, ceci n’a pas été fait pour réduire le domaine de recherche La figure 7 présente les prévisions en chauffage et refroidissement des meilleurs candidats de chaque type de modèle. Elle met en évidence la supériorité du modèle d’équation d’état d’ordre 1 sur les autres modèles. 4 semaines d’apprentissage en chauffage et 5 semaines en refroidissement sont nécessaires pour identifier les 30 paramètres du modèle. Les prévisions en chauffage sont satisfaisantes, les erreurs en énergie sont relativement faibles (3% pour le modèle d’équations d’état). Par contre, en mode refroidissement, les erreurs relatives en énergie sont de l’ordre de 10%, ce qui correspond à l’ordre de grandeur des réductions d’énergie attendu par une gestion intelligente du bâtiment. De plus, les performances sont inférieures à celles en chauffage, de l’ordre de 15%. Les phénomènes physiques responsables du besoin de froid sont l’ensoleillement les gains internes, la température extérieure joue un rôle de faible amplitude. En revanche, c’est essentiellement la température extérieure qui créé les besoins de chauffage. Ces phénomènes sont plus ou moins complexes à modéliser ce qui peut expliquer les différences de performance.