CODE DE CALCUL POUR LA DETERMINATION
DES CONCENTRATIONS DES EXCITONS ET DES ELECTRONS

 Modélisation théorique et numérique

Théorie des excitons

Dans la théorie classique appliquée aux semi-conducteurs, seuls la génération, la recombinaison et le transport des porteurs libres (les électrons et les trous) sont pris en compte. Du point de vue énergétique un cristal isolant peut être représenté schématiquement par deux bandes. La bande inférieure, dite bande de valence, est formée de niveaux énergétiques tous occupés par des électrons ; la bande supérieure appelée bande de conduction est formée de niveaux inoccupés. Une zone conventionnellement appelée interdite s’étend entre les deux bandes. Par absorption de lumière un électron qui se trouvait dans l’état fondamental peut être porté à un niveau énergétique excité, c’est-à-dire passé de la bande de valence à la bande de conduction. L’étude du problème à un électron montre que le niveau énergétique excité le plus bas est obtenu lorsque l’électron est élevé au niveau le plus bas de la bande de conduction et que corrélativement un trou apparaît sur le niveau le plus élevé de la bande de valence. Cette présentation conduit à admettre que le plus petit quantum d’énergie qui peut être absorbé correspond exactement à la largeur de la bande interdite. Cependant il a été observé, dans beaucoup de cas, que l’absorption de lumière donne lieu à une série de niveaux énergétiques inférieurs à la bande de conduction qui exigent une énergie d’excitation inférieure à l’écart entre les deux bandes. L’apparition de ces niveaux d’excitation intermédiaire est liée à l’action du champ périodique du réseau sur l’électron mais au fait que ce dernier interagit avec le trou qu’il a laissé derrière lui après excitation il devient nécessaire de considérer le problème à deux particules: l’électron et le trou en interaction et se propageant dans le potentiel périodique. Un schéma très simple analogue à celui de l’atome d’hydrogène consiste à admettre que les particules sont chargées négativement et positivement et sont douées de masses effectives données. Un tel complexe formé d’électron et de trous est appelé exciton et son énergie est inférieure à celle de l’électron et du trou pris séparément. Donc on peut dire que dans les matériaux semi-conducteurs, une quasi-particule appelée exciton se manifeste par la présence d’un pic d’absorption situé à une énergie plus faible que l’énergie de la bande interdite du matériau. La différence entre les deux énergies est l’énergie de liaison El de l’exciton, et le pic excitonique n’est observable que lorsque l’énergie de liaison est forte devant l’énergie thermique#$ ≫ &'(. Toutefois il a été souligné que la densité de l’exciton libre dans le semi-conducteur à la température ambiante a un impact sur la densité des porteurs minoritaires. II. Modélisation mathématique 1. Position du problème Dans ce travail on met l’accent sur la technique de modélisation des cellules solaires en présence des excitons dans un semi-conducteur de jonction n+ p. Cette modélisation nous a permis de faire une résolution analytique et numérique du problème physique. Cette jonction est composée de deux régions (figure 1-1): une région de type n+ et une région de type p. La région de type p est divisée de deux zones: une zone de charge d’espace où règne le champ électrique #)* et une zone quasi-neutre ou il est négligeable. Figure 1-1: Photopile de type n+ p Toute absorption optique est due à la génération des paires libres d’électrons-trous et des excitons car les autres mécanismes d’absorption sont négligés. Pour les matériaux organiques l’absorption des excitons est dominante (+, ≅  pour toutes longueurs d’ondes absorbées. Pour modéliser le transport dynamique des excitons, on considère un problème physique de forme mono-moléculaire simple de recombinaison directe (ou annihilation).  Le problème se réduit à la détermination de la concentration des électrons 04 , et celle des excitons 0, , dans la gamme : ≤ , ≤ < (figure 1-2), car dans le modèle de base de Green [1].et de Zhang [4] seuls les porteurs minoritaires dans la zone quasi-neutre de type-p sont considérés. Dans cette zone le champ électrique est négligeable et par suite le courant des porteurs est essentiellement un courant de diffusion. Leurs distributions sont régies par les équations de diffusion du système couplé des électrons et des excitons. =4 > 704 >,7 = .45 + 0405 − 0,0 © − +4@45 22 −  =, >²0, >,² = ., − 0405 − 0,0 © − +,@, 22 −  @45 = @454,B −C, et @, = @, 4,B−C, représentent respectivement les taux de génération des porteurs et des excitons ; .45 = ∆04 /4 = ∆5 /5 et ., = ∆0, /, : les taux de recombinaison des porteurs et des excitons ; Lorsqu’on suppose que le paramètre obligatoire b est constant dans la RQN à champ libre et que la concentration des trous est constante (DE = FG, ces équations sont linéaires et peuvent être résolues analytiquement en utilisant les techniques standards. La condition aux limites à la frontière H = 0 pour les électrons et les excitons permet d’évaluer le courant total de ces particules. JK = LMJ4 , = , K + J, , = , KN 22 −  Page 7 Figure 1-2: Schéma de la jonction n+ p [10] L’équation (II-6) suppose implicitement que cette densité est dominée par les électrons dans la zone quasi-neutre (: ≤ , ≤ < et que tous les excitons dans la zone de charge d’espace ≤ , ≤ : se convertissent en paire électron-trou et dont les électrons contribuent au courant. Pour vérifier cette dernière hypothèse il est nécessaire de prolonger le modèle de Green-Zhang et d’inclure la zone de charge d’espace. Les équations 22 −  et 22 −  redeviennent: =4 >²04 >,² + O4 > >, 04P, = .45 + 04QR − 0,0 © − +4@45 22 − S =, >²0, >,² = ., − 04QR − 0, © − +,@, 22 −  Le taux de recombinaison ne prend plus la forme simple identique à celle donnée par (II-1) mais est remplacé par l’expression de Shockley-Read.[10] .45 =  /4 0405 − 0T ² 04 + 05 + 70T 22 − U Par conséquent les équations différentielles deviennent non linéaires, le problème doit être résolu numériquement.

Hypothèses simplificatrices et conditions aux limites

On suppose pour la simplicité une durée de vie égale pour les électrons et les trous. Aussi pour éviter des complications inutiles on limite notre attention uniquement sur les électrons et les excitons.  On pose aussi le champ: P, = PV W , : dans  ≤ , ≤ W P, =  dans (w≤ , ≤ <) On modélise l’augmentation du champ de la dissociation des excitons en introduisant un paramètre de liaison b non uniforme dans la ZCE. , = MP,N Notre modèle, bien que contenant des simplifications, permet d’étudier les effets qui ont été négligés dans le modèle de base. Ensuite on traite nos conditions aux limites avec plus d’attention: La Concentration des électrons à la jonction est donnée par la densité des donneurs à l’émetteur:  , =   (0) = « X JY  = Z, 0,  − 0, − [ 0,  − 0, = +=, >0, >, 22 − On donne le courant des particules à la recombinaison en surface et la conversion.  , = < J4 < = Z4 04 < − 04 − [ 0, < − 0, = −=4 >04 >, 22 −  JY < = Z, 0, < − 0, + [ 0, < − 0, = −=, >0, >, 22 − 7 Page 9 Où Z4 et Z, représentent respectivement les vitesses de recombinaison des électrons et des excitons en surface. Les vitesses de recombinaison très élevées (Z4 → ∞ correspondent à un contact ohmique et celles nulles (Z4 =  à une surface parfaitement lisse. Une autre condition aux limites indépendante peut être trouvée en éliminant le terme b_ des équations (II-11) (II-12) Z4 04 < − 04 + Z, 0, < − 0, + =4 >04 >, < + =, >0, >, < = 22 − 9) 3. Equations de fonctionnement adimensionnelles Puisque les équations de notre modèle contiennent beaucoup de paramètres, pour analyser leurs influences il va falloir effectuer un nombre considérable de simulations qui au demeurant ne nous fournit que des renseignements difficilement exploitables. C’est pourquoi il est impératif de les réduire en faisant apparaître des groupements permettant de comparer les principaux effets. Introduisons les grandeurs de référence suivantes L: la longueur de notre semi-conducteur ; F` et F` a : les concentrations de réference des électrons et des trous. En posant dans les équations (II-7) et (II-8) x =,∗L ; w=!∗L 0T=0T ∗QV ; 04=04 ∗QV ; ; ; ; =0, ∗QV , ; ; 05=05 ∗QV On obtient, après calcul, les équations adimensionnelles suivantes: fg4. > 704 ∗ >,∗7 + R > >,∗ M04 ∗ W∗ − ,∗ N = 04 ∗ − 0T ∗7 05 ∗  + 04 ∗70T ∗ 05 ∗ − h4iQ j0 ∗0, ∗ −  iQ 04 ∗ . 05 ∗ k − 34 . +4 . @∗ 22 −  fg,. > 70, ∗ >,∗7 = 0, ∗ − 0,g ∗  + h, iQ j0 ∗0, ∗ −  iQ 04 ∗05 ∗ k − +,@ ∗ . 34  iQ 22 −  Page 10 Avec fg4= =4/4 < 7 et fg,= =,/, < 7 : les nombres de Fourier relatifs respectivement aux électrons et aux excitons. Ils comparent leurs durées de vie par rapport aux temps de leurs diffusions dans le matériau A = μpτpEs w ; Bp = τpbNs ; Bv = τvbNs v Rx = Ns v Ns ; Cv = G{τp Ns ∗ ; Cp = G{τp Ns ; Cp Cv = Rx En posant K = Ns v b_ NsSp ; K~ = b_ Sv ; H€v = Dv S€vL ; H‚p = Dp SpL ; H‚v = Dv SvL Les conditions aux limites (II-10)-(II-11) et (II-12) après calcul et arrangement donnent 04 ∗ ()= Q= ∗ M 0, ∗ () − 04 ∗ N + ƒ~ M0, ∗ () − 0, ∗ N = +„, >0, ∗ () >,∗ (22 −  ) M 04 ∗ () − 04 ∗ N − ƒM0, ∗ () − 0, ∗ N = −„4 >04 ∗ () >,∗ (22 − S) M 0, ∗ () − 04 ∗ N + ƒ′M0, ∗ () − 0, ∗ N = −„, >0, ∗ () >,∗ (22 − ) III. Modélisation numérique Pour résoudre les équations non linéaires avec leurs conditions aux limites associées, nous faisons appel à une méthode de résolution numérique parce qu’elle peut être répétée infiniment dans l’espace et dans le temps en obtenant toujours les mêmes résultats contrairement à l’expérience humaine. Ce choix est aussi guidé par le fait que la simulation peut nous donner des résultats quasi- instantanés grâce à la puissance des calculateurs qui sont devenus de plus en plus accessibles. Pour alléger les écritures, nous avons, dans tout ce qui suit, omis les astérisques (*) dans toutes les grandeurs adimensionnelles du paragraphe précédent.