COMMENT OBTENIR L’INFORMATION 3D À PARTIR D’UNE SEULE CAMÉRA

Formation de l’image

Depuis les premiers travaux de Pentland P.A [Pentland 1987] et Subbarao M. et Gurumorthy N.[Subbarao 1988], la modélisation de la formation des images floues est formulée selon l’équation (6.1). Ib(x, y, s0) = Is(x, y) ⊗ 2D h(x, y, s0) (6.1) Dans cette équation, la formation de l’image floue Ib(x, y, s0) est exprimée comme la convolution bidimensionnelle d’une image théorique Is(x, y) considérée nette en toute distance s0, par la réponse impulsionnelle du système optique h(x, y, s0), qui dépend de la distance s0 entre le plan de la lentille et le plan objet. Depuis 1988 et jusqu’aux travaux de Favaro P. et Saotto S. [Paolo 2007] et plus récemment [Zhuo 2011], la réponse impulsionnelle est modélisée par une Gaussienne bidimensionnelle donnée par l’équation (6.2). h(x, y, s0) = gσ0 (x, y) = 1 2πσ2 0 exp − x 2 + y2 2σ 2 0 ! (6.2) Le principe de la formation des images nettes et floues est présenté respectivement, dans sa forme géométrique, sur la figure 6.2 avec les réponses impulsionnelles correspondantes. Pour former une image nette, deux cas peuvent être retenus. Celui d’un plan objet parfaitement focalisé, figure 6.2.a, et celui des rayons paraxiaux, figure 6.2.b. e.g. hypothèse conduisant au modèle sténopé. Dans ce dernier cas la quantité de lumière arrivant sur le capteur est faible, conduisant à un rapport signal à bruit faible, le bruit de l’électronique dominant la conversion photon y électron. Une ouverture trop petite induira aussi des phénomènes de diffraction non négligeables compte tenu de la nature ondulatoire de la lumière. Pour former donc une image nette, il faut utiliser une ouverture plus grande pour de bonnes conditions d’acquisition. Cette condition détermine une approximation de netteté liée à la taille du pixel. En effet pour les plans objet non focalisés une tâche image se forme. Si cette tâche s’inscrit dans un pixel, l’image paraîtra nette, définissant une profondeur de champ, sinon le diamètre de la tâche dépassera la taille du pixel et l’image paraitra floue. La figure 6.3 montre la taille de la zone de profondeur du champ en fonction de la taille du pixel et le l’ouverture. Plus l’ouverture est petite et plus la taille du pixel est grande, plus la zone de profondeur de champ est grande. Cette zone constitue pour nous une imprécision, puisque le flou n’y est pas perceptible. Sur la figure 6.2, ξ représente le décalage de focalisation par rapport à la distance si focalisée, distance entre le plan lentille et le plan image. Le flou est aussi observé, si pour un même réglage de mise au point on déplace le plan objet de la quantité d. La répartition de l’intensité lumineuse dans la tâche image n’est pas uniforme, même si certains auteurs utilisent cette approximation [Schneider 1994]. Une approximation plus proche de la réalité est donnée par le modèle Gaussien de la réponse 6.2. Formation de l’image 153 (a) (b) (c) (d) (e) Figure 6.2 – Formation d’image : (a) image nette formée par les rayons Paraxiaux, (b) image nette focalisée, (c) réponse impulsionnelle correspondant au système donné en (b), (d) image formée par un ajustement de l’ouverture (L) et (e) réponse impulsionnelle du système donné en (d). impulsionnelle. La forme théorique a été approximée par Stokseth [Stokseth 1969] à partir du modèle de Hopkins, elle est donnée par l’équation (6.3) 3 . La figure 6.4 illustre la forme de la réponse impulsionnelle correspondant au modèle Stokseth. 3. Day N. et al.ont utilisé le modèle Stokseth pour modéliser le flou dans [Dey 2002]. Figure 6.3 – Relation la taille du pixel et la profondeur du champs par rapport au flou optique. h(x, y) = T F −1 {(1 − 1.38( µ µc ) + 0.0304( µ µc ) 2 + 0.344( µ µc ) 3 )J inc(4kw(1 − µ µc ) µ µc )} (6.3) Où λ est la longueur d’onde dominante, µ = √ u 2 + v 2 la fréquence spatiale, µc = 2L λs0 , k = 2π λ , L l’ouverture, s0 distance Objet/Caméra et J inc(x) = 2 J1(x) x avec, J1 la fonction de Bessel de première espèce et d’ordre 1.

Relation entre le flou et l’éloignement

Le flou peut être observé physiquement en changeant la mise au point du plan net de l’image au plan proche, e.g. ξ < 0 ou au plan loin, e.g. ξ ≥ 0. Le flou est marqué sur les deux acquisitions d’image. La figure 6.5 en montre l’exemple. La relation entre le flou, représenté par le rayon de la tâche R et la distance entre le plan objet et la caméra, s0, issue de la loi de conjugaison des lentilles minces, e.g. 6.3. Relation entre le flou et l’éloignement 155 (a) (b) Figure 6.5 – Relation flou-éloignement, (a) cas de flou proche au plan image, e.g. ξ < 0, (b) cas de flou loin au plan image, e.g. ξ ≥ 0 équation (6.4), est donnée par l’équation (6.5). 1 f = 1 s0 + 1 si (6.4) 2R = Lsi  1 f − 1 s0 − 1 si  (6.5) Plus exactement la relation dépend du signe de ξ. Le système d’équations suivant en précise la forme :    s0 = fsi si − f − 2R f L Pour ξ < 0 s0 = fsi si − f + 2R f L Pour ξ ≥ 0 (6.6) La figure 6.6 présente la loi pour différentes valeurs de l’ouverture L. Une estimation du diamètre équivalent à une distribution uniforme de la luminance pour une distribution Gaussienne permet, par la relation de proportionnalité établie avec l’écart type de la Gaussienne, de mettre en évidence deux paramètres globaux m, c de l’équation (6.7). s −1 0 = mσ + c (6.7) Le coefficient de proportionnalité est combiné avec les paramètres du système optique, f focale, di distance plan image/plan lentille et L diamètre de l’ouverture. Ces paramètres m et c sont déterminés dans une phase d’étalonnage. Cette phase consiste à présenter dans le champ de vision de la caméra un plan noir et blanc pour marquer la discontinuité lumineuse, placés à différentes distances, permettant une mesure du flou  Figure 6.6 – Relation flou-éloignement par rapport à la caméra. sur les contours par un ajustement de Gaussienne. Une courbe est construite passant par les points de coordonnées (flou, distance), puis les paramètres sont estimés par régression linéaire. 6.4 Méthodes de perception de la profondeur (DFD) Le flou optique n’est perceptible que sur les discontinuités de luminance. Les figures 6.7.a et 6.7.b montrent respectivement un exemple sur des contours et sur des textures. La figure 6.7.a présente un plan incliné s’éloignant de la caméra portant une page d’écriture, l’évolution continue du flou y est perceptible. La figure 6.7.b est composée de trois plans, à différentes profondeurs et avec différentes textures. (a) (b) Figure 6.7 – Perception du flou optique sur les images, (a) contours flous sur le texte, (b) texture floue. Nous proposons de préciser deux méthodes récentes utilisant les deux types d’information, puis nous présenterons la méthode que nous avons adaptée. 6.4. Méthodes de perception de la profondeur (DFD) 157 6.4.1 Méthode exploitant le flou sur les contours [Zhuo 2011] La méthode exploitant le flou sur les contours est composée de deux grandes étapes. La première est la recherche d’un indice de flou, la seconde est une densification de la carte éparse des profondeurs obtenue à l’issue de la première étape. Cette méthode a été proposée par Zhuo, S. et Sim, T. [Zhuo 2011]. 6.4.1.1 Recherche de l’indice de flou L’indice de flou à rechercher est relié à la profondeur par l’équation (6.8). Il est pour les auteurs proportionnel à l’écart-type de la gaussienne modélisant la réponse impulsionnelle du système optique et évaluable uniquement sur les contours. Les contours c(x) sont modélisés à partir d’une fonction de Heaviside u(x) localisée en x0 d’amplitude a et d’offset b dans un voisinage réduit permettant une définition du profil local de luminance. La définition monodimensionnelle est à étendre dans le voisinage selon la direction y. c(x) = a.u(x − x0) + b (6.8) La convolution 2D de l’image nette théorique par la réponse impulsionnelle du système optique peut être résumée à une transformation du profil du contour par l’équation (6.9) suivante : ib(x) = c(x) ⊗ h(x, …, s0, σ) (6.9) Les auteurs proposent de convoluer l’image floue dont les contours flous sont modélisés par l’équation (6.9), ci-dessus, par un noyau gaussien d’écart type s0. La transformation sur les contours peut être exprimée par l’expression (6.10). ibf (x) = ib(x) ⊗ g(x, σ) (6.10) Cette convolution va permettre de filtrer le bruit et de mieux localiser les contours. Le calcul du gradient des images floue ib et floue filtrée ibf va conduire à l’indice de flou recherché. Le module du gradient de l’image ib est donné par l’équation (6.11) et le module du gradient de l’image ibf est donné par l’équation (6.12).