CONDITIONS DE FINITUDE DANS LES CAS CLASSIQUES

CONDITIONS DE FINITUDES SUR UN FILTRE L

Un anneau R est dit nœthérien à gauche si toute suite croissante d’idéaux à gauche converge. C’est-à-dire que : si I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ ….est une suite ascendante d’idéaux à gauche de R, alors il existe n ∈ Z + tel que In = In+j pour tout j∈ Z +. Les anneaux nœthérien à gauche sont longuement étudiés . Le théorème suivant rassemble quelques résultats essentiels connus sur les anneaux nœthériens à gauche.

Théorème 2.1. Les propositions suivantes sont équivalentes pour un anneau R 1) R est un anneau nœthérien; 2) Tout idéal à gauche de R est engendré par une partie finie; 3) Toute somme directe de R-modules à gauche injectifs est injetive; 4) Toute somme directe de plusieurs R-modules à gauche injectifs et dénombrable est injective; 5) Chaque R-module à gauche injectif est une somme directe de modules indécomposables; 6) Il existe un nombre entier naturel c tel que tout R-module à gauche injectif est une somme directe de modules, dont chacun peut ˆetre engendré par c éléments (ou moins); 7) Toute réunion directe de R-modules injectifs est injective; 8) Toute limite directe de R-modules à gauche injectifs est injective; 9) Il existe un nombre entier naturel d tel que tout R- module à gauche injectif est une somme directe d’enveloppes injectives de modules dont chacun est engendré par d éléments (ou moins) ; 10) Il existe un nombre entier naturel c telque chaque R-module à gauche injectif est contenu dans une somme directe de modules dont chacun est engendré par c éléments (ou moins); 11) Tout idéal à gauche de R est de ”présentation finie”, c’est-à-dire pour chaque idéal à gauche I de R il existe une suite exacte: 0 → K → F → I → 0. O`u F est libre et F et K sont tous les deux engendrés par des parties finies. Soit ( z, IF) une théorie de torsion avec comme filtre associé L¸ d’idéaux à gauche de R

 Proposition 2.2.

Les conditions suivantes sont quelques propriétés de finitude distinctes que L¸ doit posséder (i) Tout I ∈ L¸ est de ”présentation finie”; (ii) Tout I ∈ L¸ est engendré par une partie finie; (iii) R satisfait à la condition de la chaˆıne ascendante; (iv) L¸ a un sous ensemble cofinal d’idéaux à gauche engendré par une partie finie c-à-d pour tout I∈ L¸, il existe K ⊆ I et K est engendré par une partie finie (v) R est z-nœthérien , c-à-d si I1 ⊆ I2….est une chaˆıne ascendante infinie dénombrable d’idéaux à gauche de R, telle que S∞ k=1Ik ∈ L¸ alors In ∈ L¸ pour tout n ∈ Z + Il est apparent que (i) ⇒ (ii)=⇒(iii),(ii) =⇒ (iv) =⇒(v) et (iii)+ (iv) =⇒ ( ii). Dans la suite, nous étudierons plus loin les conditions (i) à (v), pour le moment nous commen¸cons par considérer la condition (iii). 1.3. Théorème 2.3. Si ( z IF) est une théorie de torsion de Rmodules à gauche avec filtre L¸ , alors les propositions suivantes sont équivalentes : (1) R à la propriété de la chaˆıne ascendante d’idéaux à gauche sur L¸ ; (2) Toute somme directe de R-modules à gauche z-injectifs dans z est z-injective. (3) Toute somme directe de plusieurs R-modules à gauche z-injectifs dénombrables dans z est F-injective. Preuve (1) =⇒ (2) . Soit I ∈ L¸ , soit {Mα}α∈Aun ensemble de modules zinjectifs dans z, et soit f : I → ⊕ α∈A Mα , soit πβ : ⊕ α∈A Mα , → Mβ appelée projection canonique. Supposons que l’ensemble B = {α ∈ A / παof(I) 6= 0} est infini . Choisissons x1 ∈ I – Ker f, et soit A1 ={α ∈ A / παof(x1 ) 6= 0} . Dès lors que B est infini, il existe x ∈ I tel que A2 = {α ∈ A / fπαof(x2 ) 6= 0} n’est pas contenu dans A1 .Nous définissons de manière inductive xn ∈ I et An = {α ∈ A / παof(xn ) 6= 0} tel que An n’est pas contenu dans n−1 ∪i=1Ai pour tout n∈Z + ( L’existence est garantie par l’infinité du cardinal de B ) .  Maintenant soit pk : ⊕ α∈ A Mα → ⊕  Mα /α ∈ Ak ∪n=1 An  la projection canonique pour chaque k∈ Z +, Par construction des ensembles An nous obtenons une chaˆıne strictement ascendante : Kerp1of ⊂ Kerp2of⊂ Kerp3of⊂ … d’idéaux à gauche de R tous contenus dans I . Pour tout K∈ Z +, I / Kerpkof’ pkof(I) ∈ z ( comme z est fermé pour les sommes directes et les sous-modules). Dès l’instant que I∈ L¸ et z est fermé pour les extensions , il découle de là que de la suite exacte 0 → I / Kerpkof→ R / Kerpkof→ R/I → 0 que chaque Kerpkof ∈ L¸. Ce qui contredit la condition de la chaˆıne ascendante sur les idéaux à gauche de L¸. Donc B est fini. Mais ⊕ α∈B Mα est z-injectif d’après les propositions 1.12 et donc f peut ˆetre prolongée par un homomorphisme g: R→ ⊕ α∈B Mα comme désiré. (2) =⇒ (3) est trivial. (3) =⇒ (1) . Dès l’instant que z est fermé pour les extensions, Ez (R/I)∈ z pour tout I∈ L¸. Soit I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ une chaˆıne ascendante d’idéaux à gauche de L¸ , soit I = ∞ ∪k=1Ik . Par hypothèse, E = ⊕k=1Ez (R/Ik ) est z-injectif; ainsi f: I → E : x → (x+Ik ) se prolonge en un endomorphisme g: R→ E. Comme I ∈ R s’applique à un élément avec seulement plusieurs coordonnées finies , alors I= In pour tout n∈ Z +. Plus tard, nous examinerons la propriété (iv).