CONVERGENCE ET DIVERGENCE DES SERIES TRIGONOMETRIQUES GENERALES

NOTIONS DE MESURE ET DE TOPOLOGIE 

Un théorème sur la mesure de Lebesgue

 Notation. Dans tout ce qui suit, m désigne la mesure de Lebesgue sur¡ . Définition 1.1 Considérons un sous-ensemble mesurable E de ¡ et 0 x un élément de E . Nous dirons que 0 x est un point de densité de E si ] [ 0 0 0 ( , ) lim 1 r 2 m E x r x r → r ∩ − + = . Comme conséquence de cette définition, si 0 x est un point de densité de E , alors pour unε ∈ ] 0,1[ , il existe r 0 ε > tel que m( E I] x0 − r, x0 + r[ ) > 2r(1− ε ) pour 0 r rε < ≤ Concernant le point de densité, nous avons le théorème de Lebesgue que nous admettrons: Théorème 1.2 Tous les points d’un ensemble mesurable sont points de densité de cet ensemble, sauf peut-être les points formant un ensemble de mesure nulle. 

Notions de topologie

 Soient un espace topologique ( Χ ,τ ) et A un sous-ensemble de X ( A ⊆ X ) . Définition 1.3 – A est rare si l’adhérence A est d’intérieur vide. – A est un sous-ensemble de première catégorie ou maigre si A est une réunion dénombrable de sous-ensembles rares. – Si A n’est pas de première catégorie, on dit qu’il est de seconde catégorie. – Le complémentaire d’un sous-ensemble de première catégorie est appelé un ensemble résiduel. 

Ensembles parfaits symétriques

 Définition 1.4 – Une partie C d’un espace topologique ( Χ ,τ ) est parfait si tout point de C est un point d’accumulation de C . -Un ensemble E est de type M-ensemble (ensemble de multiplicité) s’il existe une série -Si E n’est pas un M-ensemble, nous l’appellerons un U-ensemble (ensemble d’unicité). Définition 1.5 Dans le présent exposé, nous allons considérer un ensemble parfait symétrique btenu comme suit : de l’intervalle initial [ ] 0 ρ = 0,2π , on enlève l’intervalle central de longueur (1) δ et les deux intervalles restants ont une même longueur égale à (1) ρ ; nous enlevons de chacun d’eux un intervalle central de même longueur (2) δ et les 4 segments restants de longueur (2) ρ , …; à la k-ième étape, nous enlevons de chacun des 1 2 k − intervalles de longueur ( k 1) ρ − un intervalle central de longueur ( k 1) δ − et il reste 2k segments de longueur ( k ) ρ , etc. Si ( ) 2 0 k k ρ → , alors l’ensemble symétrique obtenu est de mesure 0.

Théorème de Minkowski en géométrie de nombres 

Notions préliminaires 

Dans cette section, GL( n,¡ ) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels et ayant des déterminants non nuls, Nn = {1,2,K,n} et si ( ) 1 2 , ,…, n n x = x x x ∈ ¡ , alors ( ) i x est la i-ème composante de x . 

Approximation simultanée de réels par des rationnels

 Remarque 1.11 Cette section est un résumé des résultats de [Cas57]. Avant tout, établissons le lemme suivant : Lemme 1.12 Soit x un irrationnel positif. Si ( ) n n p ∈ ¥ et ( ) n n q ∈ ¥ sont deux suites d’entiers naturels telles que lim n x n p x → ∞ q = alors lim n x q → ∞ = + ∞ Démonstration. Si x est un nombre irrationnel, alors pour tout entier naturel non nul n, 1 d x, 0 n   >     ¢ , c’est-à-dire qu’il existe un intervalle de longueur 0 n l > , centré en x ne contenant aucun rationnel de la forme p n . Soit N un entier naturel. L’intervalle centré en x, de longueur min n n N l ≤ , ne contient alors aucun rationnel de dénominateur inférieur ou égal à N. Mais comme la suite n n p q tend vers x, tous ses termes sont dans cet intervalle à partir d’un certain rang. Autrement dit, à partir d’un certain rang, tous les dénominateurs n q sont plus grands que N. On a montré que : Pour tout entier N, il existe 0 n tel que 0 n ≥ n implique n q ≥ N c’est-à-dire lim . n n q → ∞ = + ∞ Théorème 1.13 (Minkowski) Soit A∈ GL( n,¡ ) . Supposons donnés des réels positifs 1 2 , ,…, n λ λ λ vérifiant 1 det n j j λ A = ∏ ≥ . Alors il existe 0 n x ∈ ¢ − (c’est-à-dire que x est un vecteur dont les éléments sont des entiers relatifs non tous nuls) tel que ( ) i i Ax ≤ λ pour i = 1,2,…,n Démonstration. La démonstration repose sur le lemme suivant : Lemme 1.14 Etant donnée dans l’espace euclidien à n dimension, n ¡ , un corps convexe X admettant l’origine des coordonnées comme centre de symétrie et tel que son volume V soit strictement supérieur à 2 n et fini. Il existe dans C au moins un point à coordonnées toutes entières, distinct de l’origine.