Décollement d’un film soumis à l’injection d’un fluide non-newtonien

Ce chapitre est consacré à l’écriture et la résolution de l’ensemble d’équations modélisant l’évolution d’un film élastique collé à un substrat parfaitement rigide dont l’interface est complètement remplie d’un fluide visqueux. Dans l’objectif d’écrire un modèle simple admettant des solutions pouvant s’exprimer expli- citement, le retardement entre fronts de propagation du fluide et de la fissure est supposé nul. La section 2.1 sera consacrée à la formulation du problème, qui sera adimensionnée à la section 2.2. Il sera ensuite analysé en utilisant la méthode des développements asymptotiques (section 2.3), et enfin les résultats seront discutés (section 2.4).Le modèle proposé dans ce chapitre prend cependant en compte les trois as- pects principaux décrits dans le chapitre précédent, à savoir la réponse élastique du film soumis à l’injection du fluide, l’écoulement développé à l’interface et l’évolution de la région décollée, qui sera désormais nommée « fissure ». Celle-ci sera supposée infinie dans une direction, selon laquelle le problème est donc supposé invariant.La formulation de l’ensemble des équations constituant le modèle peut alorsse faire avec des fonctions dépendant d’une unique variable spatiale. Dans ce contexte la réponse élastique du film sera modélisée comme un fil simplement appuyé sur les extrémités de la région décollée [46]. L’écoulement sera modéliséLe film collé au substrat est modélisé comme un fil flexible, décollé unique- ment sur la région ] − L, L[. La réponse élastique du film est alors déterminée à l’aide de l’équation d’équilibre du fil écrite sur cette région.Si l’on suppose que l’écoulement de fluide développé à l’intérieur de la fissure transmet la pression du fluide sur le film comme une charge perpendiculaire P(T , X)n (avec n le vecteur normal au fil), alors l’équation d’équilibre du fil s’écrit [46],avec, N l’effort normal dans le fil, S la cordonnée curviligne décrivant le fil et t, n les vecteurs tangent et normal au point de cordonnée S. Dans le cas d’un fil dont son déplacement vertical est décrite par la fonction H(T , X), la courbure κ du fil est déterminé par la relation.

d’où on conclut que l’effort normal est constant et positif le long du fil. La res- triction sur la positivité est liée à la stabilité de la position du fil, résultant de l’équation d’équilibre précédent [46], et il est liée alors au choix de la modélisa- tion du film comme un fil. Dans le cas d’un effort normal nul, les modèles d’arc ou de poutre résultent plus pertinents. De plus, l’équation d’équilibre s’écrit,de lubrification, les équations de Navier-Stokes modélisant l’écoulement peuvent être simplifiées et réduites à une version unidimensionnelle nommée équation de Reynolds. L’hypothèse de lubrification consiste à supposer que l’écoulement se développe dans un domaine mince, c’est-à-dire que l’une des dimensions est très petite devant l’autre. Dans la plupart des applications mentionnées au chapitre 1, on observe que la dimension liée à la hauteur de la fissure H(T , X) est très petite par rapport à la longueur de la fissure L(T ). L’hypothèse de lubrification est alors applicable.Le présent paragraphe est consacré à la simplification des équations de la mécanique des fluides qui en résulte. En considérant la nature visqueuse et incompressible du fluide, d’après Guyon [25], les équations de Navier-Stokes s’écrivent

Il est de plus nécessaire de se donner une loi capable de décrire le comportement visqueux du fluide. On considère que le modèle de « loi de puissance » est le plus adapté pour modéliser le comportement des fluides comme le magma [12] ou la plus part des fluides utilisées dans la fracturation hydraulique [36]. Cette loi de comportement postule que le tenseur des contraintes est liée au champ vitesse à travers du taux de glissement, qui est définie comme ˙où le paramètre M est nommé la consistance du fluide et n ≥ 0 est l’indice d’écou- lement. Ces deux paramètres du fluide servent à modéliser le comportement du fluide visqueux. Avec ce modèle et selon la valeur de n on peut décrire des fluides rhéoépaississant (n > 1), fluides newtoniens (n = 1) , rhéofluidifiant (n ∈]0, 1[) ou fluides parfaitement plastiques (n = 0) (voir le chapitre 4 du Guyon [25] pour description plus précise de ces types de fluides). Alors, d’après les équations réduites de Navier-Stokes .