Prise en compte d’une structure spatiale dans l’estimation des paramètres du sol

Estimation et prédiction sans prise en compte d’une structure spatiale sur les paramètres (observations réelles) 

Les observations du sol sur les deux parcelles de Chambry Les observations du sol, considérées ici pour valider les estimations des paramètres du sol et les prédictions des variables d’intérêt relatives au sol, sont celles faites sur les deux parcelles P1 et P2 de Chambry et qui ont été présentées au Chapitre 2.4.1. Ce sont des mesures des propriétés du sol effectuées sur un grand nombre de points de l’espace des deux parcelles, définis par les nœuds d’une grille espacés de 36 m. Les observations du couvert végétal sur les deux parcelles de Chambry Le Chapitre 2.4.2 recense le nombre d’observations du couvert végétal qui ont été faites sur les deux parcelles de Chambry sur différents types de support spatial. Nous utiliserons certaines d’entre elles pour estimer les paramètres du sol par inversion et d’autres pour valider la prédiction des variables d’intérêt à partir des valeurs de paramètres estimées. Le Tableau 6-1 montre quelles sont les observations que nous avons choisi d’utiliser pour l’estimation et celles choisies pour la prédiction, sur chacune des deux parcelles.

Résolution des cartes d’observations et des valeurs estimées

 Afin de réduire le coût en temps de calculs associé à l’estimation, nous avons choisi de travailler avec une résolution spatiale de 40 m. Pour cela, nous avons considéré pour l’ensemble des mesures disponibles, leurs valeurs agrégées spatialement au sein de mailles carrées de 40 m, comme présenté à la Figure 6-3. 

Les paramètres du sol à estimer et information a priori 

Afin de simplifier davantage le problème d’estimation, nous avons décidé de réduire encore le nombre de paramètres à estimer, en utilisant les résultats obtenus dans les chapitres précédents. En effet, les paramètres permanents argi et Norg ainsi que la condition initiale NO3init étant difficiles à estimer à cause de la faible sensibilité des variables observables à ces paramètres, ils peuvent être fixés à une valeur nominale. Pour Hinit, nous le supposons connu sur toute la parcelle car sa faible variabilité intra-annuelle et intra-parcellaire, observée sur P1 et P2, permet de déterminer sa valeur sans trop d’erreur sur l’ensemble de la parcelle avec une seule mesure. Le nombre de paramètres passe de 7 à 3 paramètres : epc(2), HCC(1) et HCC(2). Les gammes de variations des paramètres qui définissent l’information a priori sont celles considérées jusqu’à présent : [1, 130] pour epc(2), [14, 30] pour HCC(1) et [14, 30] pour HCC(2). 

Estimation avec prise en compte d’une structure spatiale sur les paramètres (observations synthétiques) 

Dans cette approche, nous utilisons la proximité entre les structures spatiales de la résistivité électrique et des propriétés des sols. Les observations des propriétés du sol sont les mêmes que dans le cas où aucune structure spatiale n’est prise en compte dans l’estimation. Mais ici, les observations des couverts végétaux considérées sont des observations synthétiques, obtenues à partir de simulations du modèle STICS, à la résolution spatiale de 40m. L’intérêt de ces observations synthétiques est de pouvoir tester seulement la prise en compte d’une structure spatiale dans la méthode d’estimation, tout en contrôlant l’erreur du modèle STICS (supposée nulle) et l’erreur d’observation (non biaisée et de variance connue). Caractérisation de la structure spatiale de la résistivité électrique La Figure 6-2 représente les valeurs de résistivité électrique pour les trois profondeurs de sol (à savoir 0.5, 1 et 2 m) et pour les deux parcelles de Chambry. Pour chacune des parcelles, les structures spatiales de la résistivité électrique des trois profondeurs de sol sont assez similaires. Il est donc acceptable de moyenner ces valeurs en une seule carte par parcelle dont on considère la structure spatiale 153 dans la procédure d’estimation des paramètres du sol. Pour chacune des deux parcelles on a calculé les valeurs moyennes de résistivité électrique (Figure 6-4) et le semi-variogramme de ces valeurs (Figure 6-5). Un variogramme (ou semivariogramme) est une fonction utilisée en géostatistique qui permet de représenter la structure spatiale d’un champ de valeurs en estimant la variance (ou semi-variance) entre chaque couple de points de l’espace, en fonction de la distance qui sépare ces points (Cressie, 1993; Chilès and Delfiner, 1999). Figure 6-4. Cartes des valeurs moyennes de résistivité électrique établies sur les deux parcelles P1 et P2. Figure 6-5. Semi-variogrammes empirique (o) et ajusté (–) calculés sur les valeurs moyennes de résistivité électrique pour les deux parcelles P1 et P2. 154 Pour la parcelle P1, nous voyons que la variance se stabilise à partir d’une distance située en deçà de 100 m alors qu’elle ne semble pas se stabiliser pour la parcelle P2. Cela signifie que les valeurs de résistivité électrique présentent une structure spatiale beaucoup plus forte sur P2 que sur P1, avec un gradient, que l’on identifie en examinant les cartes comme étant globalement parallèle au bord long de la parcelle. Afin de déterminer la matrice de corrélation spatiale qui pourra ensuite être prise en compte dans la méthodologie d’estimation des paramètres, un semivariogramme exponentiel a été ajusté aux mesures de résistivité électrique (voir les courbes (–) de la Figure 6-5). Les expressions de ces fonctions théoriques ajustées sont alors les suivantes : ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ]   Γ = − − + Γ = − − + 2226 1 exp /1065 57 4811 exp / 32 285 2 1 h h h h P P où Γ est la semi-variance de la résistivité électrique pour la distance h. Parmi les valeurs ajustées, la portée γ indique la distance à partir de laquelle il n’y a – théoriquement – plus de variation de la variance. Pour la parcelle P1, γ est égale à 32 m alors qu’elle est égale à 1 065 m pour P2 (au delà de la plus grande dimension de la parcelle). A partir de ces semi-variogrammes, la matrice de corrélation spatiale C a pu être déterminée pour chacune des deux parcelles : ( ) ( ) ( ) ( )   = − = − exp /1065 exp / 32 2 1 C h h C h h P P Ces expressions montrent bien que pour P1 la corrélation entre les valeurs de résistivité électrique décroit rapidement, en fonction de h, alors qu’elle décroit beaucoup plus lentement pour P2. La résolution spatiale des cartes (d’observations et des valeurs estimées) étant de 40 m, nous remarquons qu’elle est supérieure à la portée estimée sur P1, à savoir γ =32 m. La prise en compte d’une structure spatiale dans l’estimation ne peut donc pas avoir d’effet sur cette parcelle. Nous choisissons alors de ne considérer que la parcelle P2 pour l’application de la méthodologie. 155 Caractérisation de la structure spatiale des paramètres L’amélioration de l’estimation des paramètres du sol grâce à l’utilisation de la structure spatiale de la résistivité électrique ne peut avoir lieu que sous l’hypothèse où la structure spatiale des paramètres du sol est similaire à celle de la résistivité électrique. Si ce n’était pas le cas, l’information apportée par la structure spatiale ne ferait que biaiser l’estimation des paramètres. Nous avons donc vérifié si, dans le cas de la parcelle P2, cette hypothèse est acceptable pour les paramètres epc(2), HCC(1) et HCC(2). La Figure 6-6 montre les cartes de valeurs de ces paramètres et la Figure 6-7 les semi-variogrammes associés. Le semi-variogramme du paramètre epc(2) est strictement croissant et il est de ce fait assez similaire au semivariogramme de la résistivité électrique ; celui de HCC(1) est lui aussi croissant même s’il admet un plateau situé entre de 150 et 200 m ; celui de HCC(2) est croissant jusqu’à une distance de 100 m puis ensuite décroissant. Dans ce cas, la structure spatiale de la résistivité électrique est étroitement liée à celle de epc(2) et dans une moindre mesure à HCC(1).

Conséquences sur les paramètres du sol à estimer et information a priori

 La structure spatiale du paramètre HCC(2) étant plutôt différente de celle de la résistivité électrique, la prise en compte de la structure spatiale fournie par cette dernière pourrait biaiser son estimation. Il semble donc raisonnable de tester la méthode uniquement sur l’estimation des paramètres epc(2) et HCC(1). Comme il existe une forte structure spatiale des valeurs de la résistivité électrique sur la parcelle P2, ordonnées selon un gradient (voir Figure 6-4), nous avons supposé que les valeurs des paramètres étaient elles aussi ordonnées selon ce même gradient. Cette hypothèse n’est pas contredite par la Figure 6-1 qui montre que la corrélation entre la résistivité électrique et le paramètre epc(2) est significative. Le fait que les valeurs soient ordonnées sur P2 selon un gradient nous permet d’améliorer de manière significative la précision de l’information a priori sur les paramètres. Grâce à ce gradient, nous considèrerons qu’il est possible de mesurer les valeurs des paramètres epc(2) et HCC(1) en deux points seulement, les plus éloignés possible et le long d’un tracé le long de la parcelle. Nous pouvons fournir ainsi des bornes plus 157 précises des gammes de variation des paramètres. Dans le cas illustré à la Figure 6-8 où deux points sont figurés pour exemple, la gamme de variation valeurs des paramètres passerait de [1, 130] à [21.3, 70] pour epc(2) et de [14, 30] à [21.7, 23.6] pour HCC(1). Au sein de l’algorithme d’estimation avec prise en compte d’une structure spatiale, le gradient permettra pour cette parcelle P2 de contraindre le tirage des cartes de paramètres candidates et de diminuer ainsi le temps de calcul de l’estimation.