DÉFINITION D’UNE PRAXÉOLOGIE DE RÉFÉRENCE SUR LE DOMAINE DES NOMBRES ENTIERS

Pour pouvoir caractériser les praxéologies apprises, inférées dans notre cas à partir des productions d’élèves lors d’évaluations bilan ou diagnostique, Bosch & Gascon (2005) ont montré qu’il « était nécessaire de prendre en compte les praxéologies à enseigner et enseignées ». La définition d’une OM de référence sur le domaine mathématique étudié, avec un point de vue épistémologique revêt une double fonction : – définir un référent permettant d’analyser le contenu des évaluations pour en étudier la validité ; – caractériser des techniques et des technologies permettant par la suite l’analyse des productions des élèves. Nous reviendrons sur ces deux points dans le chapitre 3 lorsque nous décrirons les praxéologies ; l’objectif de ce deuxième chapitre est de pouvoir structurer l’OM de référence de notre domaine d’étude en OM régionales et locales pour pouvoir étudier, par la suite, les types de tâches relevant du domaine des nombres entiers c’est-à-dire, la numération, le calcul et la résolution de problèmes arithmétiques avec des nombres entiers, en prenant en compte les différentes étapes de la transposition. destiné à des élèves de fin d’école, entrant en 6ème (grade 6), ce qui justifie le fait que nous prenions en compte les programmes de l’école et du collège. Ce premier paragraphe permet uniquement de délimiter le domaine d’étude au regard des programmes ; nous le compléterons à la fin du chapitre 3 en explicitant, après l’étude des praxéologies, l’évolution des techniques et des technologies de l’école maternelle au début du collège.

Puisque la description de l’OM de référence prend en compte les savoirs savants, nous abordons dans une deuxième partie la définition mathématique des nombres entiers, des quatre opérations (addition, soustraction, multiplication et division euclidienne) et de leurs propriétés : les définitions des nombres entiers et des opérations sont formalisées rigoureusement de manière tardive, dans la deuxième moitié du XIXème siècle, à partir des axiomes de Peano (1889). Ces définitions théoriques permettent de caractériser des savoirs du premier ordre, utiles à la sphère de production de savoirs, mais non adaptés pour l’enseignement : si elles nous permettent de définir, pour les praxéologies de calcul, des premiers éléments technologiques que nous exploiterons par la suite pour justifier des techniques, les définitions du nombre entier ne permettent pas de dégager des éléments technologiques exploitables pour notre travail, ces savoirs n’étant pas adaptés à ceux de l’enseignement primaire. Ce qui nous amène à considérer des savoirs du deuxième ordre, mathématiquement corrects, et utiles à l’enseignement mais non adaptés aux mathématiciens. (Chambris 2008, p. 19 ; Tempier 2013, p.20).

Nous abordons ces savoirs du deuxième ordre dans une troisième partie à travers une étude théorique de différents systèmes de numération (écrite chiffrée, parlée et en unités de numération) : nous pouvons alors pointer des premiers éléments technologiques relatifs à l’écriture des nombres dans ces différents systèmes de numération, ainsi que différentes façons de représenter les nombres. Pour apporter un premier point de vue épistémologique sur le nombre et les opérations, nous étudions dans cette partie, le « Traité d’arithmétique à l’usage de la marine et de l’artillerie » écrit par Bezout et complété par les notes de Reynaud (1821). Nous choisissons ce traité pour deux raisons : d’une part, il semble avoir eu une grande importance dans l’enseignement de l’arithmétique en primaire à cette époque, les manuels d’enseignement reprenant le plan d’étude du traité de Bezout et d’autre part, l’étude que nous menons, incluant les opérations, prolonge celles menées par Chambris (2008) et Mounier (2010) sur la numération à partir de ce même traité. Des premières techniques de calcul sont alors mises en lien avec les technologies qui les sous-tendent. L’étude des deux traités ne permet pas d’aborder tous les éléments relevant du domaine d’étude, relativement aux programmes de l’école (présentés dans la première partie) : en particulier, nous observerons que, ni les nombres, ni les opérations ne sont mis en lien avec les problèmes qu’ils permettent de résoudre et que les opérations ne sont considérées que sous la forme d’un calcul posé, sans qu’aucune référence au calcul mental réfléchi ne soit faite. Pour répondre à ces manques, nous nous référons, dans une quatrième partie, à différents travaux didactiques et épistémologiques portant sur le calcul réfléchi, la dénotation des expressions arithmétiques et la résolution de problèmes ; nous illustrons leurs résultats à l’aide d’extraits de manuels anciens d’arithmétique, dont la structure s’appuie sur celle des traités étudiés dans la troisième partie.