Développement du modèle de cavitation

Modèle de l’enveloppe des bulles de cavitation

Dans cette partie, on teste un modèle de cavitation à poche basé sur l’équation classique de Rayleigh-Plesset, l’équation de l’évolution d’une bulle de cavitation. Ce modèle onsidère la poche de cavitation comme une enveloppe des bulles de cavitation hémisphériques. Autrement dit, la poche est construite et maintenue par des germes de cavitation grossissant de façon incessante. L’épaisseur de la poche est donc le rayon des bulles de cavitation (voir Figure 3.2). Ce modèle a été utilisé pour déterminer la forme de poche initiale pour le modèle de cavitation à poche développé au Laboratoire de Machines Hydrauliques de l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne (Hirschi et al., 1997, 1998; Ait-Bouziad et al., 2003; Ait-Bouziad, 2005).

Équation de Rayleigh-Plesset 

L’équation de Rayleigh-Plesset (baptisée d’après John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh 1842 – 1919) permet de décrire l’évolution d’une bulle sphérique dans un champ de pression variable (Lecoffre, 1994). On suppose que la bulle reste sphérique, que le fluide est un milieu infini et incompressible et qu’il n’y a variation que dans la direction radiale.

Implémentation du modèle dans le code potentiel 2D

Ce modèle de cavitation a été implémenté dans le code potentiel 2D (présenté en Section 2.4). D’abord le code potentiel 2D est utilisé pour calculer le champ de coefficient de pression que subit la bulle. L’équation de Rayleigh-Plesset simplifiée (l’Equation 3.5) est ensuite résolue en utilisant la méthode de Rung-Kutta d’ordre 4 pour déterminer l’évolution de rayon des bulles de cavitation, R˜ et ˜˙R, avec les valeurs initiales R˜(0) = R˜ 0 et ˜˙R(0) = 0. L’intégration de l’équation de Rayleigh-Plesset démarre quand la pression est inférieure à la pression de vapeur, CP 6 −σV . Cela équivaut au critère de détachement de BrillouinVillat. Bien entendu, l’épaisseur adimensionnelle de la poche est le rayon adimensionnel des bulles de cavitation, t˜c = R˜. Enfin, l’effet de la poche de cavitation est pris en compte dans le code potentiel 2D en utilisant la technique des vitesses de transpiration (présentée dans la Section 2.6). Dans ce cas spécifique, les vitesses de transpiration v˜ ∗ sont définies comme suit : v˜ ∗ = ˜u ˜˙R (3.6) où u˜ est la vitesse tangentielle adimensionnelle. 

Test du modèle : résultats et discussion

 Ce modèle a été testé pour simuler la poche de cavitation sur un profil 2D, le NACA66(mod)–312 a=0.8, le même profil que celui utilisé dans la Section 4.1. Dans ce test, le profil est placé à 6° d’incidence par rapport à l’écoulement amont, en milieu infini non-visqueux (pas de simulation de la couche limite). La solution de l’équation de Rayleigh-Plesset dépend du rayon initial R0 ou en d’autres termes, de la taille des germes de cavitation. Une étude numérique de l’effet du rayon initial R0 a été effectuée et est présentée en Figure 3.3 et au Tableau 3.1. Le volume de la poche dans le Tableau 3.1 est calculé par l’intégration du rayon de la bulle du point de détachement jusqu’au point de fermeture, V˜ = R R˜ d˜s. Selon la Figure 3.3 et le Tableau 3.1, les résultats du rayon initial adimensionnel de 10−4 et de 10−5 sont évidemment presque les mêmes. La différence en volume des deux cas d’étude est très petite (0.2%). Cela démontre que la solution de l’équation de RayleighPlesset ne dépend plus du rayon initial quand le rayon initial est suffisamment petit, de l’ordre de grandeur adimensionnel de 10−4 dans ce cas. Cet ordre de grandeur convient bien avec la taille des germes de cavitation mentionnée dans l’ouvrage de Franc et al. (1995). La taille des germes typiques est de quelques microns ou dizaines de microns de diamètre pour un profil de 10 cm de corde. Le rayon adimensionnel est donc de 10−5 . La valeur du nombre de cavitation σV est choisie de telle sorte que la longueur de la poche lc soit à peu près de 30% de la longueur de corde. Dans ce test, le nombre de cavitation est de 1.35 (σV = 1.35). La Figure 3.4 présente les résultats du modèle de l’enveloppe des bulles en terme de coefficient de pression. Les résultats montrent un plateau de coefficient de pression sur la poche mais la valeur moyenne des coefficients de pression sur le plateau est très loin de la valeur attendue. Le plateau de coefficient de pression se trouve à peu près à -2.2 au lieu de -1.35. Les résultats du modèle de cavitation à poche développé dans ce document (voir la Section 3.4) sont également présentés à la Figure 3.4 à titre comparatif. Les longueurs des plateaux de pression prédits par les deux modèles sont comparables mais pas les longueurs de la zone de fermeture. La comparaison de la forme de poche des deux modèles est aussi effectuée et présentée à la Figure 3.5. La poche prédite par le modèle de l’enveloppe des bulles est beaucoup plus épaisse que celle prédite par le modèle proposé dans ce document et sa fermeture est plus brutale. Un autre point, contrairement aux résultats du modèle proposé dans ce document, est que les résultats du modèle de l’enveloppe des bulles n’ont pas de pic de pression inférieur à la pression de vapeur dans la région amont de la poche près du bord d’attaque. 

Investigations préliminaires

 Nous venons de voir que le modèle de l’enveloppe des bulles pour représenter les poches de cavitation ne donne pas de bons résultats. On ne peut donc pas l’utiliser pour définir la géométrie de la poche. Il faut donc trouver un autre moyen pour définir la géométrie de la poche.

Forme de poche imposée 

Afin d’étudier la possibilité de modéliser la cavitation à poche partielle dans le code potentiel en utilisant la technique des vitesses de transpiration, une étude numérique de l’effet de la géométrie de poche a été effectuée. La longueur de poche dépend bien sûr du nombre de cavitation. Il est donc intéressant d’imposer une forme de poche, bien sûr pas trop ridicule, et d’étudier l’effet de la longueur de poche et de l’épaisseur maximale de la poche sur la distribution du coefficient de pression. La forme de poche imposée est définie

Seuil de pression de vapeur

Plutôt que d’aborder directement le problème du modèle en termes d’ouverture et de fermeture de poche, on choisit de se limiter à une seule observation physique simple, à savoir que le changement de phase est dû au seuil de pression correspondant à la pression de vapeur saturante.