DIAMAGNETISME DES GAZ QUANTIQUES
QUASI-PARFAITS
Réponse magnétique à volume fini
On s’intéresse dans ce chapitre à la réponse (dia)magnétique du gaz quasi-parfait confiné de particules identiques et indiscernables (obéissant soit à la statistique de BoseEinstein, soit à la statistique de Fermi-Dirac) décrit dans le paragraphe 3.1 du chapitre 1. Les grandeurs caractéristiques associées au gaz à l’équilibre thermique seront principalement formulées dans l’ensemble grand-canonique de la mécanique statistique où la température T et la fugacité z sont les paramètres fixés de l’extérieur par un réservoir de (mêmes) particules et de chaleur (cf. paragraphe 5.1, chapitre 1). Le choix de ce formalisme (plutôt que celui du canonique) se justifie par le fait que les grandeurs grand-canonique s’expriment directement en fonction des valeurs propres de l’Hamiltonien à une particule. La représentation de la pression grand-canonique à volume fini par une intégrale de Dunford-Schwartz va jouer un rôle central. Motivé par la définition des susceptibilités généralisées grand-canonique comme les dérivées partielles de la pression par rapport à l’intensité du champ magnétique B, une grande partie de notre analyse est consacrée à l’étude des propriétés de régularité de la pression en tant que fonction de B et de z. Dans une première partie, on montre que la pression grand-canonique peut être prolongée analytiquement en B et en z jointement. Cette propriété est ensuite transférée à la fonction de partition et à la densité grand-canonique à volume fini. Dans une seconde partie, on établit une expression pour le prolongement analytique en la variable z des susceptibilités généralisées grand-canonique par la théorie des perturbations magnétiques usuelle appliquée à l’opérateur résolvante à volume fini. Ces expressions seront au centre du chapitre 4. Ce chapitre comporte trois appendices. Dans le premier, on se sert de l’analycité de la pression grand-canonique en tant que fonction de la fugacité z pour transférer ses propriétés d’analycité en la variable B sur l’énergie libre canonique de Helmholtz. Cette opération nous permet de définir les susceptibilités généralisées dans l’ensemble canonique en vertu de la Définition 1.44. Dans le deuxième appendice, on s’intéresse aux susceptibilités généralisées grand-canonique lorsque la densité de particules devient un paramètre fixé. On montre qu’il existe une relation liant l’aimantation (resp. la susceptibilité magnétique) à densité fixée à la dérivée première (resp. seconde) par rapport à la variable B de la transformée de Legendre de la pression. Le troisième appendice est d’ordre technique uniquement. Dans tout ce chapitre, les hypothèses concernant le domaine de confinement Λ du gaz, le potentiel vecteur magnétique a et le potentiel électrique V sont celles du paragraphe 3.1, chapitre 1. On supprime désormais la dépendance explicite en ”V ” dans les notations. On introduit systématiquement le paramètre ǫ = ±1 dans les notations ; on rappelle que ǫ = −1 fait référence au gaz de bosons et ǫ = +1 au gaz de fermions.
Résultats principaux
Dans le formalisme grand-canonique de la mécanique statistique quantique, soit (β,z, |Λ|) le jeu de paramètres extérieurs où β := (kBT) −1 > 0 est ”l’inverse” de la température T (kB désigne la constante de Boltzmann), z := eβµ est la fugacité (µ désigne le potentiel chimique) et |Λ| est le volume du domaine de confinement du gaz. Pour ω0 ∈ R, introduisons les domaines du plan complexe définis par : D−1(E0(ω0)) := C \ [eβE0(ω0) , +∞) et D+1(E0(ω0)) := C \ (−∞, −e βE0(ω0) ] (2.1) Dǫ := \ ω0∈R Dǫ(E0(ω0)) = Dǫ(E0(0)), E0(ω0) := inf σ(H∞(ω0)) (2.2) Le premier résultat principal de ce chapitre établit que la pression grand-canonique à volume fini initialement définie en (1.61), peut être prolongé analytiquement1 en la fugacité z et en l’intensité du champ magnétique B jointement : Théorème 2.1. Soit β > 0. Alors pour chaque ensemble ouvert et borné K tel que K ⊂ Dǫ, ǫ = ±1, il existe un voisinage complexe NΛ de l’axe réél tel que la pression grand-canonique à volume fini PΛ(β, · , · , ǫ) soit jointement analytique en (ω,z) sur NΛ × K. Le second résultat principal donne une expression du prolongement analytique sur Dǫ(E0(ω0)) des susceptibilités généralisées grand-canonique à volume fini (voir Définition 1.34) ; l’existence des susceptibilités généralisées étant assurée par le Théorème 2.1
Propriétés de la pression grand-canonique à volume fini
On commence par étudier séparément l’analycité de la pression grand-canonique à volume fini en la variable z (paragraphe 2.1) puis en la variable ω (paragraphe 2.2). Basé sur le ”théorème d’holomorphie séparée” d’Hartog (voir par ex. [54]), on prouve dans le paragraphe 2.3 le Théorème 2.1. Enfin, on transfert cette propriété d’analycité jointe à la fonction de partition et à la densité grand-canonique à volume fini (paragraphe 2.5). 2 Il s’agit ici de la contribution liée aux moments magnétiques orbitaux des particules du gaz confiné.
Analycité en la fugacité z
A partir de (1.61) avec β > 0 et ω0 ∈ R fixés, on construit ici une expression du prolongement analytique de PΛ(β,ω0, · , ǫ) sur le domaine Dǫ(E0(ω0)) défini en (2.1). Proposition 2.5. Soient β > 0 et ω0 ∈ R. Alors la pression grand-canonique à volume fini PΛ(β,ω0, · , ǫ) est analytique en z sur Dǫ(E0(ω0)). La preuve de ce résultat nécessite les 2 lemmes suivants (leur preuve figure en annexe) : Lemme 2.6. Soient β > 0 et ω0 ∈ R. Soit α(ω0) un réél vérifiant −∞ < α(ω0) ≤ E0(ω0). Alors pour chaque sous-ensemble compact K ⊂ Dǫ(α(ω0)) ⊆ Dǫ(E0(ω0)), ǫ = ±1, il existe un réél ξK > E0(ω0) satisfaisant la condition supz∈K |z|e −βℜξ < 1 pour ℜξ ≥ ξK, et il existe un autre réél ηK > 0 tels que la fonction (z, ξ) 7→ fǫ(β,z; ξ) := ln
Résumé |
