Eléments d’analyse du programme.

Dans ce chapitre, on ne s’intéresse qu’à un seul cas particulier des systèmes bouclés : celui des systèmes de commande. Dans le cadre de ce programme, on se limite donc à une application de la réaction négative : l’étude générale de la stabilité (et celle, par conséquent, des oscillateurs) ne fait donc pas partie du programme. Dans ces conditions, on se limite à l’étude de systèmes stables du second ordre au plus dont on étudiera le degré de stabilité en boucle fermée. Mais évidemment, il se peut que l’expérimentation sur des systèmes réels mette en évidence une instabilité (parce que les systèmes réels se limitent rarement à l’ordre 2). Dans ce cas-là, on peut se contenter de dire aux étudiants que le modèle choisi ne rend pas compte du phénomène observé. Pour que le système soit utilisable, il faut tout d’abord le rendre stable par l’utilisation d’un correcteur avant d’opérer de nouveau une identification pour en décrire le fonctionnement. Les grandeurs commandées (grandeurs asservies) sont toujours de type analogique (position, vitesse, température, pression…) alors que les développements technologiques de l’Automatique conduisent incontestablement à privilégier le volet numérique, qu’il soit obtenu par échantillonnage ou qu’il soit de type numérique pur. Cependant, pour la compréhension physique des phénomènes de l’Automatique, il est préférable d’aborder les notions d’asservissement et de régulation par les systèmes asservis analogiques : le volet analogique est ainsi un intermédiaire didactiquement utile à l’introduction du langage spécifique et des notions générales nécessaires. Dans ce chapitre, l’ordinateur constitue un excellent outil d’investigation, mais il faut se préserver de tout excès de simulation en gardant (le plus souvent possible) un système réel comme base de l’étude : voir un moteur, même petit, pomper est beaucoup plus démonstratif qu’observer une série de nombres traités par un ordinateur, même si cette série de nombres permet de modéliser l’instabilité du système. Le spécialiste d’Automatique s’intéresse plus à la réponse d’un système qu’à la recherche ou à la résolution de son équation différentielle : la méthode d’identification va lui permettre, à partir de l’observation de la réponse d’un système à une entrée donnée, d’obtenir des renseignements pour prévoir sa réponse à d’autres types d’entrées. Dans ce qui suit, on n’étudie pas toutes les méthodes d’identification : on en a choisi une seule parmi toutes celles qui existent : cette méthode d’identification est introduite comme une modélisation comportementale. Cette démarche est formatrice à cause de son caractère général : outre qu’elle est représentative de la méthode rencontrée dans la pratique pour les asservissements analogiques, elle prépare également aux raisonnements portant sur les asservissements échantillonnés. Proposition didactique pour l’ensemble des thèmes VII.1 et VII.2 : C’est par souci de clarté que l’on a découpé le thème VII en les quatre points suivants : – VII.1. Formalisme et identification d’un système analogique linéaire.

La situation-problème.

La nécessité de l’identification d’un système réel doit être introduite à partir d’une situation-problème au moyen d’une expérience de cours présentée par le professeur. On s’intéresse par exemple à la commande de vitesse d’un petit moteur à courant continu et on observe le signal correspondant à la réponse à un échelon de la tension d’alimentation de ce moteur. On fait remarquer aux étudiants que la forme de la réponse temporelle est différente de celle de l’excitation, et que, par conséquent, les compositions spectrales de ces deux signaux sont différentes. Or, dans le déroulement du programme, en première année, on a déjà rencontré des systèmes agissant sur le spectre d’un signal : dès lors, si l’on fait l’hypothèse du fonctionnement linéaire, on peut dire que ce montage de commande de vitesse du moteur se comporte comme un filtre analogique dont on pourra faire l’étude en s’appuyant sur les prérequis que constitue le thème III.3. D’où l’idée de modéliser le comportement du montage en le comparant au comportement d’un filtre analogique. – Seconde étape : se familiariser avec les outils d’étude. Lors de l’étude des propriétés des filtres (Cf. thème III.3), on avait essentiellement insisté sur leur réponse harmonique et leur intérêt dans le domaine du filtrage c’est à dire du tri des fréquences. Maintenant, on va plutôt s’intéresser à leur régime transitoire, et plus particulièrement, dans le cas de la réponse indicielle : c’est l’objet du thème VII. 2. On se constitue en réalité une petite bibliothèque de modèles à partir des filtres déjà étudiés dans le thème III.3. La bibliothèque est limitée aux filtres linéaires du premier et du second ordre qui vont constituer les modèles mathématiques dont on aura besoin pour expliquer le comportement des asservissements rencontrés : on connaît déjà les formes canoniques de la fonction de transfert de certains filtres les plus simples qui sont au programme. Pour l’étude des propriétés de ces modèles, il est utile de consulter le dossier contenant des outils logiciels utilisant un tableur. Il conviendra de faire remarquer aux étudiants qu’à ces fonctions de transfert correspondent des équations différentielles, que l’on peut d’ailleurs établir directement dans le cas simples. Mais, les systèmes réels sont rarement complètement linéaires ou limités au second ordre ; la modélisation de leurs organes n’est pas toujours simple, et même parfois impossible : il résulte de tout cela que la mise en équation différentielle n’est pas toujours possible (faire comprendre aux étudiant la supériorité de la méthode d’identification). – Troisième étape : utiliser la bibliothèque de modèles. On reprend le montage de commande asservie de la vitesse d’un moteur, cette fois en travaux pratiques, pour appliquer la méthode d’identification préconisée afin d’expliquer le fonctionnement d’un asservissement. VII.1. Formalisme et identification d’un système analogique. Propositions didactiques : Pour analyser le fonctionnement d’un système réel dans le but de le modifier ou de l’améliorer, la démarche est la suivante : – Modélisation du système par un essai d’identification (ou par application des lois de la Physique). – Exploitation du modèle pour approcher les résultats souhaités. Cette démarche inspire donc la stratégie décrite dans les trois étapes de la proposition didactique ci-dessus. – lorsqu’un système réel est suffisamment simple (ou bien lorsque ses éléments sont idéalisables) on le modélisera en appliquant des lois de base de la physique (celles qui sont à la portée de nos étudiants), ce qui conduira à l’écriture d’une équation différentielle. – dès que le système devient plus « complexe », on cherchera à l’identifier à un modèle connu, à la suite d’un essai portant prioritairement sur la réponse indicielle du fait de la simplicité de mise en œuvre de celle-ci. Dans les deux cas, on se ramène à un modèle linéaire dont les propriétés connues permettront de prévoir le comportement du système réel. Cette double situation est illustrée par le schéma de la page suivante. Il convient de remarquer que, dans cette démarche, l’application des lois de la Physique pour établir l’équation différentielle d’un système linéaire du premier ou du second ordre fait partie du programme de Physique appliquée alors que la résolution de cette équation différentielle par une méthode analytique n’en fait pas partie : il existe des outils logiciels permettant de visualiser directement les solutions s(t).

Les étudiants observeront la réponse en vitesse d’un moteur (moteur pas à pas ou un moteur à courant continu à excitation indépendante, entraînant une charge inertielle), lorsqu’il est soumis à un échelon de tension. Ils visualiseront à l’oscilloscope l’image de l’intensité d’un courant i(t) et celle d’une vitesse de rotation Ω(t). La réponse indicielle sera étudiée de préférence en utilisant une carte d’acquisition ou un oscilloscope numérique permettant d’enregistrer la réponse du système à un échelon d’entrée. Pour la modélisation par identification du système, les étudiants utiliseront la bibliothèque de modèles. La réponse en vitesse d’un moteur est intéressante à observer dans l’optique du pilotage des machines électriques tournantes. T.P n°VII.1.b : identification d’une chaîne comportant un capteur. L’étude sur une maquette sera complétée par une étude utilisant un logiciel de simulation. VII.2. Outils d’étude d’un système analogique linéaire. Eléments d’analyse du programme : Les modèles doivent être présentés comme des outils mathématiques. Il est rappelé qu’ils doivent être introduits à partir d’exemples concrets et non présentés a priori de manière théorique. Car il ne s’agit pas d’étudier des outils dont les étudiants ne pourraient soupçonner l’intérêt : la nécessité de forger ces outils s’imposera d’elle-même une fois que l’on aura posé correctement le problème. Le professeur définira les transmittances d’un système linéaire : transmittance isochrone : transmittance isomorphe : N.B : Il n’est jamais superflu d’attirer l’attention des étudiants sur le fait que l’on n’a pas le droit d’écrire : T = On se limitera au cas des modèles linéaires du premier et du second ordres dont les équations différentielles seront mises sous la forme canonique adaptée à leur ordre et on donnera les correspondances avec les fonctions de transfert. Passe-bas du premier ordre Passe-bas du second ordre : Propositions didactiques : Pour chaque modèle, on choisira deux ou trois exemples dans différents domaines de la physique et l’on fera observer qu’ils conduisent à des équations différentielles semblables dont il est possible de déduire la transmittance du système étudié : il est en effet remarquable de découvrir qu’un circuit {R,C}, un moteur à courant continu à flux constant ou un dissipateur thermique sont « représentables » par un même modèle. L’étudiant doit avoir une idée des ordres de grandeurs de constantes de temps de diverses fonctions mises en jeu ; il doit être conscient qu’une constante de temps n’est pas toujours de l’ordre de grandeur de la milliseconde, et qu’elle peut être beaucoup plus élevée dans le cas, par exemple, de l’industrie de procédé (Cf. définition dans le glossaire du R.A.P) car cela n’est pas sans conséquences sur le logiciel de commande. Les régimes transitoires seront étudiés à partir de la méthode de Laplace : la substitution d’une équation différentielle par une équation algébrique, plus simple à résoudre, en justifie l’utilisation. On se placera donc en utilisateur en réinvestissant dans cette partie les connaissances acquises par les étudiants au cours de Mathématiques : les changements d’espace de représentation (espace temporel et espace de Laplace) se feront uniquement à l’aide de tables de transformées et aucune correspondance ne sera à connaître ou à établir mathématiquement. Sans développer une étude systématique, le professeur soulignera que la réponse impulsionnelle d’un système est en fait sa réponse temporelle libre et qu’elle représente sa fonction de transfert dans le domaine fréquentiel. Les filtres analogiques déjà étudiés (Cf. Thème III.3) pourront être présentés comme des cas particuliers de systèmes linéaires du premier et second ordres. Mais il sera obligatoire d’étudier aussi des systèmes linéaires faisant intervenir au moins une grandeur non électrique. On peut ainsi présenter un capteur « intelligent » ou une P.L.L (Boucle à verrouillage de phase) comme des exemples de systèmes asservis. Propositions d’activités au laboratoire pour les étudiants (2 séances de 2h) : T.P n°VII.2.a et T.P n°VII.2.b : “T.P-outils”. Les propriétés des modèles mathématiques seront étudiées à l’aide de logiciels de simulation. Les étudiants relèveront l’allure de la réponse indicielle d’un système linéaire : – du premier ordre pour déterminer la constante de temps et le temps d’établissement à 5%, – du second ordre pour déterminer le dépassement et le temps d’établissement à 5% ainsi que pour observer l’influence du coefficient d’amortissement sur cette réponse.