Equations Diophantiennes: Formes Quadratiques et Nombres de Classes

La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant 

Dans ce chapitre, nous montrons que l’équation diophantienne du type résultant admet un nombre fini de solutions entières, autrement dit que l’équation Res(P,Q) = a, où P et Q sont des polynômes et a un entier, n’a qu’un nombre fini de solutions entières. Notre démonstration utilise un résultat de Schinzel [66] améliorant le théorème de Runge [64]. Ce résultat est contenu dans Alkabouss et al [4]. Le chapitre est organisé de la manière suivante : la première section est consacrée au résultant de deux polynômes. Puis dans la seconde section nous présentons le théorème de Runge et son amélioration par Schinzel et enfin, dans la dernière section nous étudions l’équation diophantienne du type résultant. 

Le résultant de deux polynômes

 Le résultant est un outils essentiel dans de nombreux domaines de mathématiques qui traitent des polynômes. En effet, il est utilisé dans l’analyse diophantienne, la géométrie algébrique, le calcul formel, la théorie algébrique des nombres, entre autres. Soient A un anneau commutatif unitaire et K son corps des fractions. Soient P(x) = amx m + am−1x m−1 +…+ a0 16 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant et Q(x) = bnx n +bn−1x n−1 +…+b0 deux polynômes à coefficients dans A de degré m et n respectivement. La matrice de Sylvester de P et Q est la matrice carré de taille (m +n)×(m +n) définie comme suit :   Définition 2.1.1. Le résultant des deux polynômes P et Q est le déterminant de leur matrice de Sylvester, noté souvent par Resx (P,Q)s’il est nécessaire de préciser l’inconnue. Une autre définition, que l’on adoptera dans la suite de la thèse, est donnée en fonction des racines des polynômes P etQ. En effet, soientα1,α2,··· ,αm−1,αm et β1,β2,··· ,βn−1,βn les racines de P et Q, respectivement, dans une clôture algébrique de K, alors : Définition 2.1.2. Le résultant de P et Q est donné par Res(P,Q) = a n mb m n Ym i=1 Yn j=1 (αi −βj). Pour la suite, nous donnons quelques propriétés du résultant sans preuves, ces dernières peuvent être trouvées par exemple dans Lang [47]. Proposition 2.1.1. Soient P(x) et Q(x) ∈ A[x] deux polynômes de degrés m et n respectivement. Alors, il existe des polynômes φ(x) et ψ(x) ∈ A[x] vérifiant deg (φ(x)) < n et deg (ψ(x)) < m tels que φ(x)P(x)+ψ(x)Q(x) = Res(P,Q) 17 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant Une conséquence importante de la proposition précédente est le critère de Sylvester qui dit que deux polynômes quelconques admettent un facteur non trivial en commun si et seulement si leur résultant est nul. Proposition 2.1.2. Soient P(x) et Q(x) ∈ A[x] deux polynômes de degrés m et n et dont les racines sont données par α1,α2,··· ,αm−1,αm et β1,β2,··· ,βn−1,βn, respectivement dans une clôture algébrique de K, alors nous avons les propriétés suivantes : 1) Res(P,Q) = (−1)mn Res(Q,P). 2) Res(P,Q) = a n m Qm i=1Q(αi) = (−1)mnb m n Qn j=1 P(βj). 3) Res(P,Q1Q2) = Res(P,Q1)Res(P,Q2).

La méthode de Runge 

Dans cette section nous présentons le théorème de Runge (méthode) et le théorème de Schinzel qui améliore en quelque sorte (qualitativement) ce résultat. On donne d’abord quelques définitions de certaines termes utilisés. Définition 2.2.1. Soit le polynôme P(x) = anx n +··· +a0 de deg(n). On appelle hauteur de P, le nombre donné par h(P) = maxi=1,···,n |ai |. Soit K un corps commutatif. Il est connu que l’ensemble de séries formelles muni de la somme des séries et le produit de Cauchy des série forme un anneau K[[X]]. Son corps de fractions est noté par K((X)). On donne cette définition non rigoureuse des séries de Puiseux, tirée d’Arnaudies [6]. Définition 2.2.2. Une série de Puiseux est une série formelle de la forme X∞ i=−∞ ai x i N où N est entier strictement positif et ai ∈ K((X X)). L’entier N est dépendant de la série de Puiseux considérée. Remarque 2.2.1. Les séries de Puiseux sont, en fait, des séries formelles à exposants fractionnaires. 18 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant 2.2.1 Théorème de Runge C. Runge a prouvé dans [64], en 1887, le premier résultat général portant sur les solutions entières d’une équation diophantienne à deux inconnues. Son résultat fournit une méthode pour résoudre des nombreuses équations diophantiennes, dont l’exemple le plus populaire qui l’utilise est la preuve par P. Mih˘ailescu en 2000 de la célèbre conjecture de Catalan. La version générale du théorème de Runge s’énonce comme suit. Théorème 2.2.1. Soit F(x, y) = Xm i=0 Xn j=0 ai j x i y j un polynôme à coefficients entiers rationnels, irréductible dans Q[x, y], avec degxF = m > 0 et degyF = n > 0. Supposons que l’équation diophantienne F(x, y) = 0 admet une infinité des solutions entières x, y. Alors, ils existent des entiers m,n tels que : 1) am j = ain = 0∀(i, j) > (0, 0) 2) ai j = 0 pour toute paire (i, j) vérifiant ni +m j > mn 3) La somme P ni+m j=mn ai j x i y j est à une constante multiplicative prés une puissance d’un polynôme irréductible dans Z[x, y] 4) La fonction algébrique y = y(x) définie par l’équation F(x, y) = 0 admet un seul système de conjugués des développements de Puiseux à l’infini. Remarque 2.2.2. Dans [1], Ayad énonce le théorème de Runge comme étant le point 4) du théorème précédent, qui implique les trois autres points par ailleurs. Il en fournit une amélioration également. Une conséquence du théorème de Runge est le corollaire suivant qui porte, d’ailleurs, le nom du théorème de Runge dans certains ouvrages, par exemple c’est le Théorème 21 à la page 276 dans Mordell [56]. Corollaire 2.2.2. Avec les mêmes hypothèses que le théorème, si l’équation F(x, y) = 0 admet une infinité des solutions entières alors la partie homogène dominante de F(x, y) est à une constante multiplicative prés une puissance d’un polynôme irréductible. Si au moins un des points du théorème précédent n’est pas vérifié, alors l’équation admet un nombre fini des solutions entières. De plus, la méthode de Runge est effective, 19 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant dans le sens où des bornes supérieures sur la taille des solutions peuvent être obtenues. En effet, Hilliker et Strauss [37] ont obtenu de telles bornes en fonction de degré et la hauteur du polynôme F(x, y). Walsh [77] a obtenu une amélioration de ce résultat. 2.2.2 Amélioration du théorème de Runge En 1929, C. L. Siegel a démontré le résultat définitif qui permet de savoir si une équation algébrique donnée par F(x, y) = 0 admet une infinité de solutions entières. En effet, il démontra le théorème suivant : Théorème 2.2.3 (Siegel). Si F(x, y) = 0 admet une infinité de solutions entières, alors ils existent des fonctions rationnels u(t) et v(t) dont au moins une n’est pas constante tels que F(u(t), v(t)) = 0 identiquement en t et soit a) u(t) = g (t) α(t)m , v(t) = h(t) α(t)m ou b) u(t) = G(t) β(t)m , v(t) = H(t) β(t)m où g, h, G, H, α et β sont des polynômes à coefficients entiers ; α est linéaire et β est quadratique irréductible et indéfini. En 1969, A. Schinzel a obtenu une amélioration du théorème 4.1.6 en combinant le corollaire 2.2.2 et théorème de Siegel. Plus précisément, il a prouvé le théorème suivant : Théorème 2.2.4. Si f (x, y) est un polynôme à coefficients entiers irréductible dans Q[x, y] et si l’équation f (x, y) = 0 admet une infinité des solutions entières alors la partie homogène dominante de f (x, y) est à un facteur constant près une puissance linéaire ou une puissance d’une forme quadratique indéfinie irréductible. Remarque 2.2.3. Contrairement au théorème de Runge, le résultat de Schinzel n’est pas effectif car le théorème de Siegel qu’il utilise est non effective. 20 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant 

L’équation diophantienne de forme résultant

 Dans cette section, nous démontrons en appliquant les résultats de sections précédentes que l’équation diophantienne de forme résultant admet un nombre fini des solutions entières. Soit P(x) = am(x −α1)···(x −αm), où am ∈ Z et αi les racines de P. Soit Q(x) = bnx n +bn−1x n−1 +··· +b0 ∈ Z[x], alors d’après la définition du résultant donné plus haut, nous avons Res(P,Q) = a n m Ym i=1 (bnα n i +bn−1α n−1 i +··· +b0). (2.3.1) Nous considérons l’équation du type résultant donnée par Res(P,Q) = a, (2.3.2) où a est une entier rationnel donné non nul. Notons que l’équation du type résultant peut être considérée comme une équation diophantienne polynomiale en termes des coefficients de Q. 

État de l’art 

Plusieurs auteurs ont étudié l’équation diophantienne de forme résultant. Nous pouvons citer par exemple Wirsing [82], Fujiwara [27], Schmidt [68], Schlickewei [67], Peth˝o [61, 62], Gy˝ory [33], Evertse and K. Gy˝ory [25]-[24], Gaál [28] qui ont montré que le nombre des polynômes Q vérifiant l’équation (2.3.2) est fini sous la condition m > n. 21 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant En effet, Wirsing [82] (1971) a montré que si n est un entier positif tel que 2n µ 1+ 1 3 +··· + 1 2n −1 ¶ < m, alors il n’y a qu’un nombre fini des polynômes Q ∈ Z[x] de degré n satisfaisant l’équation (2.3.2). Une année plus tard, Fujiwara [27] a montré que si le polynôme P est irréductible sur Q et 2n < m alors l’équation (2.3.2) admet seulement un nombre fini de solutions Q ∈ Z[x] de degré n. En 1973, Schmidt [68] a montré que l’irréductibilité de P peut être remplacée par la condition que P n’a aucun facteur non constant de degré inférieur ou égal à n dans Z[x]. Soient R un sous-anneau de Q qui est une extension d’anneau de type fini de Z, a un élément non nul de R, et R ∗ le groupe des unités de R. Si m et n sont des entiers positifs tels que 2n < m et P ∈ R[x] un polynôme de degré m sans racines multiple et qui n’admet pas un facteur non constant dans R[x] de degré inferieur ou égal à n, alors a un facteur proportionnel de R ∗ prés, Schlickewei [67] a prouvé qu’il existe seulement un nombre fini des polynômes Q ∈ R[x] de degré n vérifiant Res(P,Q) ∈ a ·R ∗ . Gy˝ory [33] a montré que si Q(x) est tel que son facteur dominant est égal à 1, alors la condition m ≥ 2n peut remplacer la condition m > 2n. Voire le théorème 2 dans [33]. En 2002, Gaál [28], en utilisant la méthode de Baker (bornes inférieures de formes linéaires en logarithme des nombre algébriques), a développé un algorithme pour résoudre l’équation (2.3.2), quand P ∈ Z[x] est un polynôme irréductible de degré m ≥ 3 et Q = x 2 + x1x + x2 ∈ Z[x]. En fait, il a transformé l’équation (2.3.2)en une équation de 22 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant Thue non homogène a 2 0NF/Q(x2 + x1α+α 2 ) = a in x1,x2 ∈ Z, où α est une racine de P et F = Q(α). En 2008, Gaál et Posht [29] ont étendu le travail de Gaál à tout polynôme unitaire Q de degré n ≥ 2. Nous avons démontré dans [4], en utilisant le théorème de Schinzel 2.2.4 qui est une amélioration du théorème de Runge, que si P est un polynôme de degré m ayant au moins trois racines différentes alors l’équation diophantienne Resx (P(x),x 2 + sx + t) = a admet un nombre fini de solutions entières. Notre résultat est non effective à cause de l’usage dans la preuve du théorème de Schinzel 2.2.4. En d’autre termes, nous ne pouvons pas obtenir des bornes supérieures sur la taille des solutions. 

 Résultats intermédiares

 Soit P(x) = am(x −α1)···(x −αm) ∈ Z[x], où am ∈ Z \ {0} et αi les racines de P. Nous considérons l’équation diophantienne de type résultant R(s,t) = Resx (P(x),x 2 + sx + t) = a, (2.3.3) où a est un entier non nul donné. Lemme 2.3.1. Soient A(s,t), B(s,t) ∈ Z[s,t] tel que P(x) = (x 2 + sx + t)q(s,t,x)+ A(s,t)x +B(s,t), alors R(s,t) = B 2 (s,t)+ t A2 (s,t)− s A(s,t)B(s,t). 23 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant Démonstration. Considérons γ, β = −s − γ les racines de x 2 + sx + t dans une clôture algébrique de Q(s,t). Alors, nous avons R(s,t) = Resx ¡ x 2 + sx + t,P(x) ¢ = P(γ)P(β) = (Aγ+B)(Aβ+B) = t A2 +B 2 − s AB. Ce lemme nous permet de déduire que R(s,t) ∈ Z[s,t]. Donc il existe un unique polynôme ri(s) ∈ Z[s] tel que R(s,t) = Pn i=0 ri(s)t i . De plus, de l’équation (2.3.1) nous avons R(s,t) = a 2 m Ym k=1 ¡ α 2 k + sαk + t ¢ Alors n = m et les deux polynômes R(s,t) et P(x) satisfont l’identité suivante R(s,−x 2 − sx) = P(x)P(−s − x) (2.3.4) Ainsi P(x)P(−s − x) = Xm i=0 (−1)i ri(s) ¡ x 2 + sx + t − t ¢i = Xm k=0 à Xm i=k à i k ! (−1)k t i−k ri(s) ! ¡ x 2 + sx + t ¢k A partir de cela nous déduisons l’existence des polynômes uk(s,t) ∈ Z[s,t] tels que P(x)P(−s − x) = u0(s,t)+u1(s,t)(x 2 + sx + t)+··· +um(s,t)(x 2 + sx + t) m, avec u0(s,t) = R(s,t) and um(s,t) = (−1)ma 2 m. Plus généralement, nous avons la proposition suivante. Proposition 2.3.2. Soient s, t, x 3 variables algébriquement indépendantes sur Q. Si Q(x) est un polynôme à coefficients dans Z[s,t] vérifiant Q(−s − x) = Q(x), alors : 24 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant 1. Il existe un unique vk(s,t) ∈ Z[s,t] tel que Q(x) = v0(s,t)+ v1(s,t)(x 2 + sx + t)+··· + vh(s,t)(x 2 + sx + t) h . 2. Resx ¡ Q(x),x 2 + sx + t ¢ = (v0(s,t)) 2 Démonstration. L’unicité est évidente car, il s’agit d’une représentation (x 2 + sx + t)- adique de Q(x). C’est une représentation particulière parce que les coefficients v0, v1,…, vh dépendent seulement de s et t mais pas de x. Soient q(s,t,x), w(s,t) et v0(s,t) l’unique polynômes à coefficient dans Z tels que Q(x) = q(s,t,x)(x 2 + sx + t)+w(s,t)x + v0(s,t). Alors l’égalité Q(−s − x) = Q(x) et l’unicité des polynômes q, w, v0 impliquent que w = 0. Ainsi Q(x) = v0(s,−x 2 − sx). Posons v0(s,t) = Ph i=0 ri(s)t i , alors Q(x) = X h k=0 à X h i=k à i k ! (−1)k t i−k ri(s) ! (x 2 + sx + t) k Nous pouvons en déduire qu’il existe un polynôme vk(s,t) ∈ Z[s,t] tel que Q(x) = v0(s,t)+ v1(s,t)(x 2 + sx + t)+··· + vh(s,t)(x 2 + sx + t) h , où pour chaque k, vk(s,t) = X h i=k à i k ! (−1)k t i−k ri(s). Soient γ, β les zéros de x 2 + sx + t dans une clôture algébrique Q(s,t), alors Q(γ) = Q(β) = v0(s,t) ainsi Resx (Q(x),x 2 + sx + t) = (v0(s,t))2 . De la proposition précédente, nous pouvons en déduire le résultat suivant. 25 Chapitre 2. La méthode de Runge et équation diophantienne de forme résultant Proposition 2.3.3. L’équation (2.3.3) admet une solution (s ∗ ,t ∗ ) ∈ Z 2 si et seulement si P(x)P(−s ∗ − x)− a ≡ 0 (mod x 2 + s ∗ x + t ∗ ). Alors nous étudierons les valeurs de s ∗ ∈ Z pour lesquelles P(x)P(−s ∗ − x) − a est réductible et possède un facteur quadratique. Pour le polynôme R(s,t) − a, nous remarquons par la Proposition 2.3.2, que l’on peut écrire P(X)+P(−s − X) sous la forme P(x)+P(−s − x) = v0(s,t)+ v1(s,t)(x 2 + sx + t)+··· + vh(s,t)(x 2 + sx + t) h . Proposition 2.3.4. Soit r (s,t) = Resx (P(x)+P(−s − x)− v0(s,t),P(x)P(−s − x)− a), alors r (s,t) ≡ 0 (mod (R(s,t)− a) 2 ). Démonstration. Considérons V (x,s,t) = v1(s,t)+··· + vh(s,t)(x 2 + sx + t) h−1 , et R1(s,t) = Resx ((x 2 + sx + t),P(x)P(−s − x)− a). Donc nous avons P(x)+P(−s − x)− v0(s,t) = (x 2 + sx + t)V (x,s,t) et r (s,t) = Resx (V (x,s,t),P(x)P(−s − x)− a)R1(s,t). (2.3.5) Soient γ, β = −s −γ les racines de x 2 +sx +t dans la clôture algébrique de Q(s,t). Alors nous avons R(s,t) = Resx ¡ x 2 + sx + t,P(x) ¢ = P(γ)P(−s −γ) et R1(s,t) = ¡ P(γ)P(−s −γ)− a ¢2 = (R(s,t)− a) 2 Ainsi r (s,t) = Resx (V (x,s,t),P(x)P(−s − x)− a)(R(s,t)− a) 2 Nous concluons que r (s,t) ≡ 0 (mod (R(s,t)− a) 2 )