Un comportement élastoplastique en grandes transformations

La construction d’un modèle simplifié du laminage peut être facilitée par un choix judicieux de la formulation du comportement élastoplastique du métal. L’objectif de ce chapitre est de construire dans un cadre très général une telle formulation en nous appuyant sur les outils de base de la thermodynamique des milieux continus. Nous commençons au premier paragraphe, comme cela est classique, par décrire le mouvement au voisinage d’une particule dans un solide élastoplastique. Ceci nous conduit à faire au deuxième paragraphe le choix des variables d’état pertinentes pour décrire le processus d’évolution élastoplastique. A l’aide de ces variables d’état nous proposons au troisième paragraphe une écriture du comportement élastoplastique sous une forme assez générale pour englober la plupart des modèles habituellement utilisés, puis nous nous restreignons au cas d’un écrouissage isotrope. Dans le quatrième paragraphe nous montrons que l’évolution élastoplastique locale, dans le cas de l’écrouissage isotrope, est entièrement déterminée explicitement à partir de la donnée de F X t Grad X t   , , 0 0      . Dans le dernier paragraphe, nous allons donner une illustration dans le cas de deux exemples très simples d’histoires de transformation homogène Dans le premier exemple que nous nommerons abusivement « traction », le gradient de transformation est choisi diagonal et il n’y a pas de rotation de la matière. (La simulation d’une vraie expérience de traction simple avec le même matériau est donnée au chapitre 5) Dans le second exemple que nous nommerons « cisaillement », nous choisissons une évolution du gradient de la transformation faisant intervenir une rotation de la matière. 

Description du mouvement

On sait depuis la fin des années 1960 que le procédé le plus satisfaisant pour définir l’état thermodynamique d’un volume élémentaire d’un matériau devant subir de grandes transformations élastoplastiques consiste à introduire une configuration « relâchée » (Green A.E. and Naghdi P.M., 1965), (Perzyna P. and Wojno W., 1968), (Mandel J., 1971)). Soient 0 la configuration initiale dans son état naturel (contrainte nulle), à la température T0 et t la configuration actuelle. Considérons un voisinage de la particule X . Il est transporté dans le mouvement des particules en un voisinage de    ,tXx . Les champs de contrainte de Cauchy   ,tx et de température   ,txT sont à peu près uniformes dans le voisinage de x . Un comportement élastoplastique en grandes transformations 98 La configuration relâchée est obtenue par une décharge instantanée du voisinage de la particule et un retour instantané de la température à la température T0 . Cette configuration relâchée est définie à une rotation près. Le gradient de la transformation F  Grad   peut alors être décomposé multiplicativement en un produit d’une première transformation locale « plastique » P , qui transforme le voisinage local initial de X dans la configuration relâchée, par une seconde transformation locale « élastique » E qui transforme la configuration relâchée dans la configuration actuelle F E P  . (3.1) Soulignons que cette décomposition de F  Grad   est locale. Le champ P  X,t , défini dans la configuration de référence, n’est pas compatible en général. (Ce n’est pas le gradient d’une transformation). Dans les métaux, on peut généralement faire l’hypothèse que la déformation plastique est isochore. Ceci implique que det  P 1 . La variation de volume est alors uniquement d’origine élastique et J  det  F  det  E . La décharge étant définie à une rotation prés, en général pour les métaux polycristallins on choisit cette rotation locale pour que E soit un tenseur d’ordre 2 symétrique. Cette décomposition est à la base de l’analyse thermodynamique de l’évolution mécanique qui suit, lorsque le matériau subit de grandes transformations élastoplastiques, laquelle analyse fournit les concepts d’efforts intérieurs et de variables d’état nécessaires à l’écriture de ce comportement.