Estimateurs a posteriori pour une méthode par éléments finis mixte stabilisée appliquée au problème de contact frottant

Pour le modèle de contact unilatéral sans frottement, on dispose de nombreuses mé- thodes par éléments finis faisant intervenir des multiplicateurs de Lagrange [29, 33, 70],des éléments finis quadratiques [28, 123] ou un Lagrangien augmenté [64]. En fait, toutes les méthodes citées ci-dessus ont besoin d’une condition inf-sup (voir [14, 53, 54]) et seul un choix judicieusement approprié des espaces éléments finis fournira des approximations convergentes. Les deux conditions clé qui assurent le succès de la convergence sont la coercivité vérifiée par la forme bilinéaire associée à l’opérateur d’élasticité et la condi-Dans ce chapitre, on considère une méthode par éléments finis mixte (dont les formula- tions font intervenir des multiplicateurs de Lagrange en tant qu’inconnues) qui ne requiert pas de condition inf-sup. De telles méthodes qui assurent la stabilité des multiplicateurs en ajoutant des termes supplémentaires dans la formulation faible ont été introduites par Hughes et Brooks en 1987. Hughes, Franca et Balestra [136] les ont développées pour le problème de Stokes et elles ont été analysées dans [21, 22]. Le gros avantage de ces méthodes comparées aux classiques dans [14] est que les espaces d’éléments finis pour les variables primales et duales peuvent être choisis indépendamment. Dans les méthodes de pénalisation, la pénétration entre deux bords se touchant est introduite et la force nor- male de contact est reliée á la pénétration par un paramètre de pénalisation ([6, 195]). De plus, contrairement aux techniques de pénalisation, pour la méthode des multiplicateurs de Lagrange, la stabilité est améliorée sans compromettre la consistance de la méthode. Plus tard, la connection entre la méthode stabilisée de Barbosa et Hughes [21, 22] et celle antérieure de Nitsche [188] a été réalisée dans [215]. Les études de [21, 22] ont été géné- ralisées à un système d’inégalités variationnelles dans [23] (pour les problèmes de type Signorini entre autres). Cette méthode a aussi été étendue aux problèmes d’interface sur les maillages non conformes dans [26, 110] et plus récemment pour le problème de contact bilatéral (voir [116]).

Mon but dans ce chapitre est d’étendre le travail d’Hild et Renard dans [130] au modèle plus général de contact avec frottement de Coulomb. Dans une première section, on propose une extension du concept « Barbosa-Hughes-Nitsche’s » au problème de contact avec frottement et on étudie les propriétés d’existence et d’unicité du problème discret. Ensuite on s’intéresse aux estimateurs d’erreur a posteriori.Soient (uh, λH ) une solution du problème discret (4.1) et η = η(uh, λH ) l’estimateur correspondant. Soit (u, λ) une solution du problème (3.1) telle que λ ∈ (L2(ΓC ))2.Démonstration : On précise que l’on ne suppose pas que la solution du problème continu est unique. Bien sûr, notre résultat reste valide lorsque (u, λ) est l’unique solution donnée par la Proposition 3.1.1. Notons également que la solution du problème discret n’est pas supposée unique.La preuve de ces estimations inférieures est la même que pour le premier estimateur du chapitre précédent exceptée pour les bornes de η.