Estimation et modélisation du budget d’erreur en optique adaptative

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Représentation modale de la phase

Afin de traiter analytiquement (et numériquement) les déformations subies par le front d’onde, il est en général pratique de l’exprimer sur une base B de modes orthogonaux telle que :∞ X (1.20)
φ(r) = aiBi(r) i=1
où Bi(r) est le ième mode de la base B et ai le coeﬃcient de décomposition de φ(r) sur ce mode. Ainsi, cette écriture permet de se ramener à un traitement unidimensionnel sur le vecteur a des coeﬃcients de décomposition sur la base modale B. Autrement dit, la base B étant donnée, le vecteur a permet de caractériser entièrement φ(r). Reste à choisir ou à construire correctement la base modale à utiliser. Bien qu’il en existe une infinité, deux bases particulières sont très utilisées en optique adaptative : la base des Zernike et celle des Karhunen-Loève.

Les polynômes de Zernike

Les polynômes de Zernike se prêtent bien à la description de l’eﬀet de la turbulence atmosphérique sur le front d’onde (Noll, 1976). Leur propriété d’orthogonalité sur le disque unité permet d’exprimer la phase du front d’onde sur une pupille non obstruée comme la somme de déformations simples et orthogonales entre elles, comme exprimé dans l’équation précédente.
De plus, ces polynômes présentent l’avantage d’être décrits par une expression analytique :
Z r, θ m
j( ) = p 2(n + 1) Rnm(r) cos(mθ)
2(n + 1)Rn (r) sin(mθ) 0
pn + 1Rn(r) √
avec : si j pair et m non nul si j impair et m non nul si m nul (1.21)
Rm(r) = (n−m)/2 (−1)k(n − k)! rn−2k X − n − −
k=0 k!((n + m)/2 k)!((n m)/2 k)! (1.22)
où n désigne le degré radial, m le degré azimuthal avec 0 ≤ m ≤ n et n − |m| pair. L’orthonormalité de la base des modes de Zernike permet d’exprimer la variance spatiale de la phase en moyenne statistique sur la turbulence comme la variance de la somme quadratique des coeﬃcients de Zernike, i.e. les coeﬃcients de la décomposition de la phase sur la base des modes de Zernike. Cette variance permet de s’aﬀranchir de la divergence du mode piston :
∞ σφ2 X = hai2i (1.23)i=2
Noll (1976) montre alors que la variance de la phase sur la pupille peut être évaluée à : σφ2 D 5/3
= 1,03 (1.24) r0
Plus généralement, il donne une expression de la variance de la phase résiduelle après correction par l’optique adaptative sur N modes :
∞ cii D 5/3
σε2 = i=N+2 r0 (1.25) X √
où la somme des coeﬃcients cii est donnée par (Noll, 1976) et décroît en N− 3/2. Une décroissance plus rapide peut être obtenue si les coeﬃcients de décomposition sur la base modale sont statistiquement indépendants, ce qui n’est pas le cas pour la base des Zernike. Il est en eﬀet possible de montrer que les modes de Zernike possédant le même degré azimuthal m sont corrélés.

Les modes de Karhunen-Loève

La base formée par les modes dits de Karhunen-Loève vérifie justement la propriété d’indépendance statistique de ces modes. La décomposition de la phase sur cette base de fonctions orthogonales a notamment la propriété de minimiser, au sens des moindres carré, l’erreur résiduelle après correction par N modes.
Malheureusement, et contrairement aux polynômes de Zernike, il n’existe pas d’ex-pression analytique permettant de calculer un mode de Karhunen-Loève (KL). Une manière de les calculer est alors de diagonaliser la matrice de covariance statistique des coeﬃcients de Zernike (Roddier, 1990). Les Figures 1.6 et 1.7 donnent une représenta-tion des premiers modes de Zernike et KL. J’ai arbitrairement organisé les modes KL de la même façon que les modes de Zernike afin de les faire correspondre. Je précise ainsi que l’ordre radial et le degré azimuthal qui apparaissent sur la Figure 1.7 sont donnés simplement à titre de comparaison.

Une solution : l’optique adaptative

Nous avons vu dans ce chapitre que la turbulence atmosphérique avait un impact important sur la résolution des images que l’on obtient par des observations au sol avec un télescope. En eﬀet, cette dernière est du même ordre de grandeur que celle que l’on obtiendrait avec un simple télescope amateur. Dans ce cas, quiconque pourrait légitimement douter de l’utilité des grands télescopes existants, et encore plus des futurs télescopes géants en projet.
Si le lecteur a bien lu l’introduction de cette thèse (ou simplement l’intitulé de cette section), il sait déjà qu’une solution technique existe afin de pallier aux eﬀets de la turbulence atmosphérique sur la qualité des images. Je consacrerai le prochain chapitre à cette dernière, à savoir l’optique adaptative.

Table des matières

Résumé
Abstract
Liste des figures
Liste des tableaux
Liste des abbréviations
Introduction
I Optique adaptative : principes et évolution
1 Observer avec un télescope
1.1 Résolution limitée par la diffraction.
1.1.1 La fonction d’étalement de point
1.1.2 Fonction de transfert optique
1.2 La turbulence atmosphérique
1.2.1 Origine
1.2.2 Propagation d’une onde plane dans l’atmosphère
1.2.3 Le paramètre de Fried
1.2.4 Propriétés temporelles
1.3 Impact de la turbulence sur la FEP
1.4 Représentation modale de la phase
1.4.1 Les polynômes de Zernike
1.4.2 Les modes de Karhunen-Loève
1.5 Une solution : l’optique adaptative
2 L’optique adaptative
2.1 Principe de fonctionnement
2.2 Le miroir déformable.
2.3 L’analyseur de surface d’onde
2.3.1 L’analyseur Shack-Hartmann
2.3.2 L’analyseur pyramide
2.4 Le contrôle temps-réel
2.4.1 Un problème inverse
2.4.2 La matrice d’interaction
2.4.3 La matrice de commande
2.4.4 Loi de commande en boucle fermée
2.4.5 D’autres façons de faire
2.4.6 Fonctions de transfert du système et gain optimal
2.5 Mesure de la performance d’une OA
2.6 Limitations et budget d’erreur de l’OA
2.6.1 L’erreur temporelle
2.6.2 L’erreur de sous-modélisation
2.6.3 L’erreur de repliement alias.
2.6.4 L’erreur de bruit
2.6.5 L’erreur d’anisoplanétisme aniso
2.6.6 Les déviations de la mesure de l’ASO dev.
2.6.7 L’erreur de filtrage filt
2.6.8 L’erreur de scintillation sci.
2.6.9 Les aberrations non communes ncpa
2.7 Des lasers pour illuminer le ciel
2.7.1 Étoile laser de type sodium.
2.7.2 Étoile laser de type Rayleigh
2.7.3 Une couverture du ciel plus importante, mais à quel prix ?
2.8 Des OA plus complexes
2.8.1 Plus de lasers pour limiter l’effet de cône.
2.8.2 L’erreur de sous-modélisation généralisée.
2.8.3 Systèmes d’OA grand champ
2.9 Une autre échelle : les ELT
2.9.1 Qu’est-ce qu’un télescope géant ?
2.9.2 Une rapide présentation de l’ELT
2.9.3 Les OA de première lumière de l’ELT
II Simulation numérique haute performance pour l’OA
3 Le calcul haute performance : un besoin pour les ELT
3.1 Les ELT : un défi numérique
3.1.1 Pour la simulation numérique
3.1.2 Pour le contrôle temps-réel.
3.1.3 Le projet GREENFLASH
3.2 GPGPU : General-Purpose Computing on Graphics Processing Units
3.2.1 Architecture d’un processeur graphique
3.2.2 Programmation sur GPU
3.2.3 Principes généraux de l’optimisation sur GPU
3.3 Mise en pratique : le lancer de rayon
3.3.1 Principe de l’algorithme
3.3.2 Programmation CUDA
3.3.3 Optimisons le noyau de calcul
4 COMPASS
4.1 Le projet COMPASS.
4.2 Mes contributions
4.3 Architecture logicielle
4.3.1 Aperçu général
4.3.2 Le secret de la performance : CArMA et SuTrA
4.3.3 L’interface utilisateur : shesha
4.4 Modèles physiques et implémentation
4.4.1 L’échantillonnage
4.4.2 La pupille du télescope
4.4.3 La turbulence atmosphérique
4.4.4 Le modèle de Shack-Hartmann
4.4.5 L’étoile laser.
4.4.6 Optimisation de l’empreinte mémoire des ASO
4.4.7 L’analyseur pyramide
4.4.8 Le calcul des mesures
4.4.9 Les lois de commande
4.4.10 Le miroir déformable
4.4.11 Application de la commande sur le miroir.
4.4.12 Formation de l’image
4.5 Performances et scalabilité
4.5.1 La conférence High Performance Computing & Simulation
4.5.2 Article HPCS 2018
4.6 Autres fonctionnalités
4.6.1 Base de données
4.6.2 Modules autonomes
4.6.3 CANAPASS et ADOPT
III Estimation et modélisation du budget d’erreur en optique adaptative
5 ROKET
5.1 Intérêt du budget d’erreur pour la reconstruction de FEP
5.1.1 La reconstruction de FEP
5.1.2 Estimation du budget d’erreur
5.2 Article A&A
5.3 Quelques compléments
5.3.1 Intégration dans COMPASS
5.3.2 La base modale
5.3.3 GAMORA : reconstruction de FEP sur GPU
5.4 Résultats à l’échelle de l’ELT
5.4.1 Paramètres de simulation ELT
5.4.2 Budget d’erreur
5.4.3 Performances.
5.4.4 Perspectives
6 GROOT
6.1 L’intérêt d’une approche analytique du budget d’erreur
6.2 Modélisation analytique du budget d’erreur en OA
6.2.1 Erreur d’anisoplanétisme et erreur temporelle : seconde partie de l’article A&A
6.2.2 L’erreur de repliement
6.2.3 Erreur de sous-modélisation
6.2.4 Les modes filtrés
6.2.5 Le bruit de mesure
6.2.6 Les déviations de la mesure
6.3 Résultats
6.3.1 Erreur d’anisoplanétisme et erreur temporelle
6.3.2 Erreur de repliement
6.3.3 Erreur de sous-modélisation.
6.3.4 Estimation de la FEP totale à partir des modèles
6.4 Identification des paramètres nécessaires aux modèles
6.4.1 Paramètres nécessaires aux modèles
6.4.2 Principe de la méthode
6.4.3 Simulation numérique
6.4.4 Résultats sur données CANARY
6.5 Conclusion
Conclusion & Perspectives
Bibliographie
Liste de publications