Etude des formes quadratiques

On s’intéresse dans ce chapitre aux formes quadratiques d’un champ X définies par d est une suite sommable. Dans le cas particulier où gk = δ−h(k), Jn(g) est l’estimateur de la fonction de covariance de X au point h. Plus généralement, Jn(g) est une statistique que l’on retrouve dans de nombreux problèmes comme par exemple dans la démonstration de la convergence de l’estimateur de Whittle du paramètre de longue mémoire d’une série temporelle.En dimension d = 1, l’étude de (7.0.1) lorsque X est gaussien à longue mémoire aété réalisée par Fox et Taqqu (1985, 1987). Lorsque X est linéaire à longue mémoire, la même étude a été conduite par Giraitis et Surgailis (1990) qui appliquent leur résultat à la convergence de l’estimateur de Whittle. Ces auteurs ont montré que Jn(g) − E(Jn(g))ne suivait pas nécessairement un théorème central limite. Plus précisement, on peut distinguer deux situations selon que g(0) = 0 ou g(0) 6= 0. Dans le premier cas, onNotre objectif est de généraliser ces résultats aux champs linéaires, non nécessaire- ment gaussiens et à longue mémoire non isotrope. Pour cela nous adoptons une démarche spectrale en réécrivant (7.0.1) sous forme d’une intégrale stochastique double. Nous présentons dans la partie 7.2.1 un théorème de convergence de mesures spec- trales doubles, généralisation du Théorème 6 du chapitre 3. L’étude de l’asymptotique de (7.0.1), écrit sous forme d’une intégrale stochastique double, se base sur ce théorème. Enfin, dans la section 7.3, nous montrons un théorème non central pour Jn(g) lorsqueg(0) 6= 0. Nous obtenons en application la loi limite de l’estimateur de la fonction.

Remarque 28. Ce travail sur les formes quadratiques est en cours. Un de nos objectifs était de sortir du cadre gaussien. Mais un point reste encore insatisfaisant : il s’agit de la définition de l’intégrale double par rapport à des mesures aléatoires à accroissements orthogonaux non gaussiennes. Lorsque les cumulants d’ordre 4 de la mesure sont supposés nuls, la définition de l’intégrale s’adapte directement du cas gaussien et c’est l’hypothèse que nous ferons tout au long du chapitre. Cette hypothèse reste à alléger car elle induit des hypothèses difficilement interprétables dans les Théorèmes 20 et 21.Si on suppose que les champs aléatoires sont gaussiens, les hypothèses effectuées dans le Théorème 21 (le résultat principal du chapitre) deviennent naturelles. Dans cette situation, le Théorème 21 étend au cadre de forte dépendance non-isotrope le résultat de convergence de type non central des formes quadratiques d’un champ aléatoire montré dans Doukhan et al. (1996).

Intégrales doubles non gaussiennes

Soit Z une mesure aléatoire à accroissements orthogonaux. Lorsque Z est gaussienne, l’intégrale multiple par rapport à Z est définie dans Major (1981). La construction de l’intégrale double par rapport à Z telle qu’elle est présentée dans Major (1981) reste valable en dehors du cadre gaussien si les cumulants d’ordre 4 de Z sont supposés nuls. Pour nous en convaincre, nous rappellons dans cette partie la définition de cette intégrale. Nous commençons par rappeller une définition des cumulants (cf par exemple Brillin-f dZdZ est de plus linéaire et contractante d’après le lemme précédent. Nous pouvons donc prolonger sur Hµ l’intégrale définie par (7.1.2) grâce au Théorème de Hahn-Banach.Nous montrons un théorème de convergence de mesures spectrales doubles. Comme dans le chapitre 3, ce théorème est utile pour étudier le comportement asymptotique de toute statistique pouvant s’écrire sous forme d’une intégrale double par rapport à une mesure spectrale.

Nous l’appliquons aux formes quadratiques d’un champ fortement dépendant. En adoptant une démarche spectrale, nous écrivons en effet les formes quadratiques sous forme d’une intégrale stochastique double par rapport à des mesures spectrales dilatées.d un bruit blanc fort admettant des moments d’ordre 4 finis.Soit W la mesure spectrale aléatoire de ε et Wn la mesure aléatoire sur [−nπ, nπ]d,Remarque 29. L’hypothèse portant sur le bruit ε dans le Théorème 20 est difficilement interprétable car elle fait intervenir les cumulants de sa mesure spectrale aléatoire. Cette hypothèse provient de la difficulté de définir l’intégrale double par rapport à des mesures aléatoires à accroissements orthogonaux non gaussiennes (voir la Remarque 28). Dans le cas gaussien, l’hypothèse sur le bruit est trivialement vérifiée mais dans ce cas, le résultat de convergence établi dans le théorème devient évident.