Etude d’un gyromètre à ondes de matière de très grande aire

 Manipulation Cohérente des Atomes 

Transitions à 2 Photons La conception de notre interféromètre atomique se fonde sur l’utilisation de processus de diffraction d’atomes utilisant des réseaux optiques : la manipulation cohérente des atomes est réalisée par des transitions stimulées à 2 photons, appelées transitions « Raman ». Les nuages atomiques sont soumis à deux lasers contra-propageants, de pulsations ω1 et ω2, et de vecteurs d’ondes respectifs ~k1 et ~k2. Les deux lasers sont accordés à un niveau proche de la raie D2 du Césium, à 852nm. Le premier laser à ω1 couple par absorption le sous-niveau hyperfin |ai = |6 2S1/2, F = 3, mF = 0i avec un niveau virtuel |ii, désaccordé de ∆ de l’état excité |6 3P3/2, F′ = 3i [54]. Ce désaccord permet d’éviter de peupler le niveau excité, limitant ainsi le processus d’émission spontanée, lequel introduit une perte de cohérence du paquet d’onde. Le processus d’émission spontanée décroît en 1/∆2 , alors que l’efficacité du couplage vers le niveau virtuel décroît seulement en 1/∆, ce qui permet de trouver un optimum entre efficacité de transfert et cohérence. Le second laser à ω2 couple le niveau virtuel |ii avec le sous-niveau |bi = |6 2S1/2, F = 4, mF = 0i par un processus d’émission stimulée. Lorsque les deux ondes E~ 1(ω1) et E~ 2(ω2) ont des vecteurs d’ondes de directions opposées, l’état externe de l’atome est également modifié : l’absorption d’un photon dans le mode ω1 change l’état d’impulsion de l’atome en ~p → ~p + ~~k1, et l’émission stimulée d’un photon 11 Chapitre 2 : Interférométrie Atomique Figure 2.1 – Transition Raman stimulée – L’onde atomique incidente est représentée par l’état |a, ~pi. Les deux lasers de pulsations respectives ω1 et ω2 sont représentés par leurs vecteurs d’ondes ~k1 et ~k2 (flèches verticales). L’onde atomique sortante est une superposition cohérente des deux états |a, ~pi et |b, ~p + ~~kef f i dans le mode ω2 modifie l’impulsion de l’atome en ~p + ~~k1 → ~p + ~( ~k1 − ~k2) = ~p + ~~kef f . Le transfert net d’impulsion est alors de ~kef f = ~| ~k1 − ~k2| ∽ 2~|k1|, ce qui se traduit par un changement de la vitesse transverse des atomes de ∽ 7 mm · s −1 pour l’atome de Césium. C’est ce transfert d’impulsion qui permet alors de délocaliser la fonction d’onde atomique sur deux chemins distincts. Cette transition à deux photons provoque non seulement un changement d’état interne, de |ai vers |bi, mais également un changement de l’état externe des atomes, de ~p vers ~p + ~~kef f : il y a alors bijection entre état interne et état externe, l’état d’impulsion de l’atome pouvant donc être lu grâce à son état interne de manière univoque [45] [55]. Cette bijection permet d’utiliser un système simple de détection en sortie de l’interféromètre : en illuminant le nuage avec deux impulsions lumineuses successives, de fréquences différentes, on peut « lire » par fluorescence le nombre d’atomes présents dans l’état |ai, puis dans l’état |bi. En écrivant l’équation de conservation de l’énergie et de l’impulsion, on peut montrer que le processus d’interaction à 2 photons et 3 niveaux décrit ci-dessus, peut être vu comme une transition à un photon et deux niveaux effectifs : ~(ω1 − ω2) = ~(ωb − ωa) + ~ωR + ~ωD + ~δ où ωD = ~p ·( ~k1 −~k2)/M est le désaccord Doppler et ωR = ~(k1 + k2) 2/2M est le décalage en fréquence lié à l’impulsion de recul, et δ le désaccord par rapport au niveau |bi. Le système à deux niveaux équivalent est alors {|ai, |bi}, soumis à un photon « effectif » de pulsation ω1 − ω2 et de vecteur d’onde « effectif » ~k1 − ~k2 = ~kef f 

Réduction du Système à 3 niveaux

Nous allons écrire l’Hamiltonien du système des deux niveaux fondamentaux, |ai et |bi, couplés aux niveaux excités |ii par l’intermédiaire de l’interaction dipolaire électrique, en – impulsion les 3 niveaux |ai,|bi,|ii qui sont couplés par les 2 champs lasers de pulsations ω1 et ω2. Ceux-ci sont dessinés pour les 2 polarisations ~σ± : ~∆kij est le désaccord du laser k par rapport à la transition i → j négligeant l’émission spontanée : Hb = pb 2 2m + ~ωa|aiha| + ~ωb|bihb| + ~ωi |iihi| − ~Db · E~ (2.1) Où ~Db = |ai ~daihi| + |bi ~dbihi| + |ii ~diaha| + |ii ~dibhb| (2.2) La figure 2.2 montre les 3 niveaux excités |i1,2,3i couplés par le champ électrique E~ qui s’écrit : E~ (~r, t) = 1 2  ε1~ǫ1e i~k1·~re −i(ω1t+φ1) + ε2~ǫ2e i~k2·~re −i(ω2t+φ2)  + cc. Et la fonction d’onde générique du système peut alors s’écrire dans la base des états {|ai, |bi, |i1i, |i2i, |i3i} : |ψ(t)i = ca|a, ~p i + cb|b, ~p + ~~kef f i + ci1 |i, ~p + ~~k1 i + ci2 |i, ~p + ~~k2 i + ci3 |i, ~p + ~( ~k1 +~kef f )i On réalise tout d’abord un changement de base, et les nouveaux coefficients γα s’expriment en fonction des cα par [51] : cα(t) = γα(t) · e −i  ωα+ p 2 α 2m~  t On projette alors l’équation de Schrödinger sur la base des états, et on simplifie le système d’équations en réalisant l’approximation des « ondes tournantes » : on néglige simplement les termes qui oscillent très rapidement à 2ω ∽ ω1 + ω2. Les équations obtenues pour les termes γi1,i2,i3 peuvent être résolues en considérant les coefficients γa et γb constants. En effet, dans la limite où les désaccords ∆kij sont grands devant les pulsations de Rabi (Ωkji = ~dij · E~ k/~), l’évolution des états excités |ii est beaucoup plus rapide que celle des états fondamentaux  a et b, et les populations des états |ii sont négligeables devant celles des états a et b. C’est ce que l’on appelle l’élimination adiabatique [56] [57]. On obtient alors un système à deux équations et deux inconnues pour les niveaux fondamentaux, qui correspond au Hamiltonien du système équivalent à deux niveaux : H = ~ Ω DL a Ωef f e iδte iΦeff Ω ∗ ef f e −iδte −iΦeff Ω DL b ! où les paramètres effectifs du système à deux niveaux et « un photon », sont définis par : ωef f = ω1 − ω2 ~kef f = ~k1 − ~k2 Φef f = Φ1 − Φ2 − ~kef f · ~r δ = ∆1ai − ∆2bi = (ω1 − ω2) − (ωb − ωa) − ωD − ωR Ωef f = Ω ∗ 1aiΩ2bi 2∆ Ω DL a = |Ω1ai| 2 4∆ + |Ω2ai| 2 4(∆ − (ωb − ωa)) Ω DL b = |Ω1bi| 2 4(∆ + (ωb − ωa)) + |Ω2bi| 2 4(∆ − δ) Où on a posé ∆1ai = ∆, donc ∆2bi = ∆ −δ et ∆2ai ≈ ∆ −(ωb −ωa), et ∆1bi ≈ ∆ + (ωb −ωa). L’Hamiltonien obtenu montre bien que l’on a réduit le système à 3 niveaux, à un système à 2 niveaux effectifs, {|ai, |bi}, interagissant avec une onde effective de pulsation ωef f , de phase Φef f , et désaccordée de δ par rapport à la résonance. Les coefficients diagonaux, Ω DL a et Ω DL b représentent le déplacement des niveaux dû au couplage non résonant avec les lasers ω1 et ω2 (ce qu’on appelle le déplacement lumineux). La condition de résonance Raman est alors décalée de δ DL = ΩDL b − Ω DL a .

Compensation du déplacement lumineux

Il est possible d’annuler les termes non diagonaux de déplacement lumineux en choisissant le bon rapport d’intensité entre les deux lasers, ω1 et ω2 [58]. On suppose que Ω1ai ≈ Ω1bi = Ω1 et Ω2ai ≈ Ω2bi = Ω2, dans ce cas le terme δ DL s’écrit, en négligeant la structure hyperfine de l’état excité : δ DL =ΩDL b − Ω DL a =|Ω1| 2  1 4(∆ + (ωb − ωa)) − 1 4∆ + |Ω2| 2  1 4(∆ − δ) − 1 4(∆ − (ωb − ωa)) On peut donc trouver un rapport des intensités I1 = |Ω1| 2 et I2 = |Ω1| 2 , tel que le terme de déplacement lumineux δ DL soit nul : en négligeant le désaccord δ devant ∆, cela correspond à un rapport d’intensités I1/I2 = [(ωb − ωa) + ∆]/[(ωb − ωa) − ∆] 

Matrice d’Évolution

On cherche à déterminer une matrice du type S(t0, τ, Φef f ) qui associe à la fonction d’onde |ψi = {ca(t0), cb(t0)} dans la base {|ai, |bi}, évaluée à un instant t0, la même fonction d’onde, 14 2.1 Manipulation Cohérente des Atomes à un instant τ = t−t0 ultérieur. Pour cela, on réduit le Hamiltonien et on détermine la base de vecteurs propres {|ψ+i, |ψ−i} : dans cette base, d’après l’équation de Schrödinger, l’évolution des vecteurs propres s’écrit |ψ±(t)i = |ψ±(0)ie −iE±t/~ . On fait par ailleurs l’hypothèse que l’on a annulé le terme de déplacement lumineux.