Filtrage et détection de données multidimensionnelles comportant une structure rang faible

Méthodes vectorielles

Modèle

Dans cette partie, on étudie une approche vectorielle pour traiter ces données multidimensionnelles. Les données vont donc être mises sous forme de vecteur. Le problème revient alors à filtrer/détecter un signal s perturbé par un bruit d au sein d’une observation x. Le bruit d est supposé être gaussien, centré, de matrice de covariance R, considérée connue dans un premier temps, et indépendant de s. On suppose, de plus, que l’on dispose de K données secondaires xk qui ne contiennent que du bruit dk. Ces   K données sont indépendantes, identiquement distribuées et suivent la même loi que d. Le modèle peut alors se résumer à l’aide des deux équations suivantes : ( x = αs + d, xk = dk, k ∈ [1, K], (4.1) où α désigne l’amplitude complexe du signal, inconnue et x, xk, s, d, dk ∈ C I1…IP . A partir de ce modèle, on va d’abord proposer un filtre et un détecteur qui utilisent la matrice de covariance totale R ainsi que leur version adaptative. On proposera ensuite un filtre et un détecteur qui prennent en compte la structure rang faible des données ainsi que leur version adaptative. 

Algorithmes sans hypothèse rang faible Filtre

Avec le modèle donné par les équations (5.23) et (5.23), on est dans le cas où l’on cherche à filtrer un signal s connu, perturbé par un bruit additif gaussien, centré, de matrice de covariance R connu. Ce cas est bien connu. On cherche alors le filtre wopt qui maximise le RSB en sortie de filtre : RSBsortie = |< wopt, x >| 2 wH optRwopt (4.2) C’est le filtre adapté qui vérifie cette condition : wopt = R−1 s (4.3) y = |< wopt, x >|, (4.4) où y désigne la sortie du filtre. Ce filtre est aussi appelé filtre optimal, wopt, puisqu’il maximise le RSB de sortie. Il servira de référence lorsque l’on voudra comparer les performances des autres filtres. Détecteur Le modèle donné par les équations (5.23) et (5.23) peut aussi être vu comme un problème de détection. Il s’agit alors de choisir entre deux hypothèses : – H0 : l’observation x ne contient pas le signal s. – H1 : l’observation x contient le signal s. Ce qu’on peut réécrire comme suit : ( H0 : x = d, xk = dk, k ∈ [1, K] H1 : x = αs + d, xk = dk, k ∈ [1, K] (4.5) L’objectif de la détection est de déterminer laquelle de ces deux hypothèses est la plus vraisemblable, de manière à – maximiser la probabilité de détection (Pd) qui désigne la probabilité de détecter le signal (hypothèse H1) lorsqu’il est présent. – minimiser la probabilité de fausse alarme (Pfa) qui désigne la probabilité de détecter le signal (hypothèse H1) lorsqu’il n’est pas présent.

Méthodes vectorielles

Cependant, il est impossible de minimiser les deux critères simultanément. Un bon compromis est donné par le critère de Neymann-Pearson qui cherche à maximiser la Pd pour une Pfa fixée. Dans le cas où α est inconnu, le test optimal est donné par le Test du Rapport de Vraisemblance Généralisé (TRVG) suivant : Λ = |s HR−1x| 2 sHR−1s H1 ≷ H0 η (4.6) η est le seuil auquel on compare le TRVG afin de choisir entre les deux hypothèses. Pour le TRVG la relation entre le seuil η et la Pfa est connue [43] η = −ln(Pfa) (4.7) Versions adaptatives En pratique, il n’est pas réaliste de considérer R connue. On utilise alors les données secondaires xk pour l’estimer. Étant donnée la nature du bruit, la SCM, en tant qu’estimateur du maximum de vraisemblance sera utilisée. Ainsi, l’estimée de la matrice de covariance, notée Rˆ est donnée par la formule suivante : Rˆ = X K k=1 xkx H k . (4.8) Les versions adaptatives du filtre et du détecteur présentées sont obtenues en remplaçant R par son estimée Rˆ . Pour le filtre, on obtient alors la formule suivante : wˆ = Rˆ −1 s (4.9) yˆ = | < wˆ , x > |. (4.10) Pour le détecteur, la version adaptative, appelée Adaptive Matched Filter (AMF) a été introduite et étudiée par Robey [76] : Λ =ˆ |s HRˆ −1x| 2 sHRˆ −1s H1 ≷ H0 η (4.11) Dans ce cas la relation entre η et Pfa est connue (voir [76] pour le détail de cette relation). Critères de performance Afin d’évaluer les performances de ces algorithmes adaptatifs, il est nécessaire d’utiliser un critère. Pour les filtres, le Signal to Noise Ratio loss (SNR loss), noté ρloss sera utilisé. Ce critère mesure la perte d’un filtre wˆ en terme de SNR de sortie par rapport à celui du filtre adapté : ρloss = |wˆ Hs| 2 (wˆ HRwˆ )(sHRs) (4.12) En pratique, un filtre adaptatif atteint de « bonnes » performances lorsque ρloss = −3dB. Pour les filtres rang faible, on parlera plutôt de Signal to Interference plus Noise Ratio loss (SINR loss). Pour les détecteurs, on s’intéressera à la relation entre Pd et Pfa pour comparer leurs performances. 

Synthèse

Ces versions adaptatives comportent un défaut majeur. Le nombre de données secondaires nécessaire pour obtenir des performances correctes est relativement important : de l’ordre de deux fois la taille des vecteurs (2 QP p=1 Ip dans notre cas). Selon les applications envisagées, ce nombre de données peut vite devenir totalement irréaliste : données non disponibles, bruit ne pouvant plus être considéré comme homogène … C’est pourquoi, sous réserve d’hypothèses supplémentaires sur le bruit, d’autres type de méthodes on été proposés. Dans la suite, on s’intéressera plus particulièrement aux méthodes rang faible.