Fonctions de contraste avec référence

Signal de référence Notations

Dans ce chapitre, nous considérons l’extraction MISO d’une source à partir des observations. Nous reprenons par conséquent des notations identiques à celles du chapitre 3 et nous nous pla¸cons dans le cas sans bruit : (y(n))n∈Z est ainsi la sortie du filtre séparateur w[z] et, en introduisant le filtre ligne global g[z] := w[z]M[z], on a dans le cas non bruité y(n) = w[z]x(n) = g[z]s(n). Les fonctions de transfert w[z] et g[z] correspondent à une même ligne des filtres respectifs W[z] (filtre séparateur) et G[z] (filtre global). Référence L’approche ici développée s’apparente aux approches semi-aveugles dans la mesure o`u nous supposons que nous disposons d’une première approximation notée wr[z] du filtre séparateur cherché. Nous noterons z(n) le signal : z(n) = X k∈Z wr(n − k)x(n) = wr[z]x(n) (5.1) z(n) et wr[z] seront appelés respectivement signal et filtre séparateur de référence. Leur connaissance va servir à élaborer de nouvelles fonctions de contraste. Pour simplifier l’étude, nous considérons le filtre MISO global g[z] entre les sources et la sortie du séparateur.

Approches liées dans les cas instantané et SISO 

L’idée de critère de contraste avec référence a déjà été exploitée dans le cas de mélanges instantanés [4, 3]. Dans ce cas cependant, l’approche adoptée était une approche conjointe et non séquentielle. Après la publication de notre premier article sur ce sujet [17], il a été proposé dans [65] une méthode proche de celle que nous allons présenter, mais dont la validité n’a été établie que pour des mélanges instantanés, et des sources i.i.d. ayant des cumulants de même signe. Enfin, dans le cas de l’égalisation SISO, une méthode basée sur l’utilisation de cumulants croisés et la recherche de valeurs propres a été étudiée .

Retour sur la définition d’un contraste

Dissymétrie possible

Dans le chapitre 3, la définition 5 d’une fonction de contraste supposait une invariance par translation temporelle, c’est-à-dire que la valeur du contraste était la même pour la sortie (y(n))n∈Z et ses translatées (y(n − l))n∈Z o`u l est fixé quelconque dans Z. Cette invariance, valable de fait pour tous les contrastes considérés jusqu’à présent ne nous est toutefois d’aucune utilité pour la séparation de sources : un critère de séparation qui privilégierait l’obtention d’une version retardée particulière de l’une des sources pourrait en effet tout à fait nous convenir. C’est, en l’occurrence, ce qui advient ici lorsque le contraste considéré dépend non plus des seules statistiques de la sortie, mais des statistiques conjointes de la sortie et du signal de référence. Pour cette raison, nous utiliserons dans ce chapitre la définition suivante : Définition 7 (contraste MISO, cas i.i.d. sans invariance temporelle) Une fonction de contraste MISO (ou contraste MISO) est une fonction réelle de la sortie (y(n))n∈Z du filtre ligne global g[z] qui vérifie : (i) Il existe (i0, l0) ∈ {1, . . . , N} × Z tel que pour toute sortie globale (y(n))n∈Z on ait : C((y(n))n∈Z) ≤ C((si0 (n − l0))n∈Z). (5.3) (ii) L’égalité dans l’équation (5.3) ci-dessus n’est possible que si le filtre MISO global est du type g[z] = (0, . . . , 0, αz−d , 0, . . . , 0), o`u α est un scalaire non nul, d ∈ Z et la position de l’élément non nul αz−d correspond à un indice i0 qui assure la condition (i). La définition ci-dessus prend en compte les variations éventuelles de la valeur d’un contraste pour des retards différents de la source reconstruite. En revanche, dans le cas de sources non linéaires (et non i.i.d.) aucune adaptation de la définition n’est nécessaire. En effet, la définition 6 prend en compte le fait qu’une source non i.i.d. ne peut être reconstruite qu’à un filtrage scalaire près, ce qui inclut l’ensemble des décalages temporels possibles.

Normalisation en puissance

Nous rappelons le cadre de base mis en place au chapitre 3 pour l’étude des approches séquentielles, et que l’on retrouve ici. Nous conservons l’hypothèse H.10 qui s’écrit pour mémoire : H.10 Pour tout j ∈ {1, . . . , N}, la fonction d’autocorrélation de la j ème source, notée (γj (k))j∈Z := (E{sj (n)s ∗ j (n − k)})k∈Z, est définie positive. De plus, chaque source est de puissance unité (γj (0) := E{|sj (n)| 2} = 1). Dès lors, pour tout indice j ∈ {1, …, N} et tout filtre SISO h[z], nous définissons la norme : khkj := ³ X (k,l)∈Z2 h(k)h ∗ (l)γj (l − k) ´ 1 2 . (5.4) et, pour tout filtre global g[z] := (g1[z], . . . , gN [z]), nous définissons sa norme ` 2 pondérée : kgk := ³X N j=1 kgjk 2 j ´ 1 2 . (5.5) 100 Fonctions de contraste avec référence Enfin, rappelons que nous notons : ∀i ∈ {1, . . . , N} Gi := © g[z] = (g1[z], . . . , gN [z]) | kgjkj = δi−j , ∀j ª (5.6) l’ensemble des filtres globaux de norme unité dont toutes les composantes sont nulles, sauf la i ème . De même qu’au chapitre 3, nous normaliserons la sortie globale afin qu’elle soit de puissance unité : E{|y(n)| 2} = 1. Compte tenu de la puissance unité des sources, ceci est équivalent à travailler sur l’ensemble des filtres globaux de norme unité qui a été noté : F1 := {g[z] | kgk = 1}. (5.7) Tous les critères seront considérés sous contrainte que le filtre global soit de norme un ; par conséquent, le scalaire α introduit dans les définitions 6 et 7 vérifie |α| = 1. Enfin, nous supposerons : H.15 Le filtre global de référence t[z] est stable (i.e. sa réponse impulsionnelle est absolument sommable) et de norme unité : ktk = 1.

 Discussion des conditions de validité du contraste 

Nous discutons ici la condition de validité du critère de contraste avec référence donnée par la proposition 21. Condition sur le système de référence seul En premier lieu, nous pouvons noter que la condition sur les ensembles I+ et I− est une condition conjointe sur le système de référence et les caractéristiques des sources. Les valeurs des coefficients Mj (k) définis à l’équation (5.12) dépendent en effet simultanément des coefficients tj (k) du système de référence et des autocumulants κsj (0, 0, 0) des sources. Il peut paraˆıtre maladroit d’exprimer la condition de validité du contraste comme dépendant de caractéristiques inconnues des sources ; ce point de vue permet cependant d’exprimer des conditions générales. Le choix du système de référence est libre et il peut être plus naturel d’exprimer une condition sur lui seul. Nous supposons donc les caractéristiques des sources fixées quelconques, dans la mesure toutefois o`u l’une des sources au moins a un cumulant d’ordre quatre non nul : ∃j ∈ {1, . . . , N}, κsj (0, 0, 0) 6= 0. (5.24) En toute généralité et par convention, nous supposons que la source numéro 1 a un cumulant plus grand en valeur absolue que tous les autres cumulants des sources. Ceci revient à écrire : ∀j ∈ {1, . . . , N} |κsj (0, 0, 0)| ≤ |κs1 (0, 0, 0)| (5.25) 5.2 Contrastes MISO dans le cas convolutif 103 Il est alors immédiat de vérifier que si le système de référence satisfait : ∃l ∈ Z | ∀(j, k) ∈ {1, . . . , N} × Z (j 6= 1 ou k 6= l) ⇒ |tj (k)| < |t1(l)| (5.26) nous avons pour tout (j, k) 6= (1, l) |Mj (k)| = |tj (k)||κsj (0, 0, 0)| < |t1(l)||κs1 (0, 0, 0)| = |M1(l)| (5.27) et I+ ∪ I− se réduit exactement au singleton {(1, l)}. I+ et I− ont donc chacun au plus un élément et Cz est un contraste. Une interprétation possible Une lecture possible de la condition donnée par l’équation (5.26) est la suivante : parmi les coefficients du système de référence global, l’un d’entre eux, t1(l) est en même temps le plus grand en valeur absolue et correspond à la première source, c’est-à-dire celle dont le cumulant est le plus grand. D’après la preuve de la proposition 21, le critère de contraste avec référence qui vérifie cette condition mène alors à la séparation de cette source avec un retard temporel l donné par le coefficient le plus grand. De fa¸con plus générale, nous pouvons interpréter la condition de la proposition 21 comme la nécessité de présence majoritaire de l’une des versions retardée des sources dans le signal de référence. Cette présence majoritaire peut être liée soit à une valeur plus importante du cumulant de la source en question, soit à un système de référence privilégiant la source en question. Ainsi, cette approche donne bien une condition moins restrictive pour la validité des contrastes que si cette dernière est exprimée sur le seul filtre de référence, comme nous venons de le faire. Choix du système de référence Nous avons jusqu’à présent supposé le système de référence donné. Connaissant maintenant les conditions que ce dernier doit respecter, nous pouvons examiner la fa¸con de le choisir. Supposons que les sources aient toutes les mêmes caractéristiques et qu’il existe un couple d’indices (i0, k0) ∈ {1, . . . , N} × Z tel que pour tout (i, k) 6= (i0, k0) on ait |ti(k)| < |ti0 (k0)|. Par le même raisonnement qu’au paragraphe ci-dessus, il est immédiat de remarquer alors que I+ ∪ I− est un singleton et que donc Cz{.} est un contraste. Il suffit donc que l’un des coefficients du filtre de mélange majore strictement les autres pour que le contraste soit valable. Plus généralement, nous pouvons énoncer la proposition suivante, dont la preuve est évidente : Proposition 22 Une condition suffisante pour que la fonction Cz{.} soit un contraste (sous contrainte de norme unité) est : ∃(j0, k0) ∈ {1, . . . , N} × Z | ∀(j, k) 6= (j0, k0) |Mj (k)| < |Mj0 (k0)| (5.28) La condition de validité d’un contraste avec référence apparaˆıt donc comme très peu contraignante. Plus généralement, nous pouvons affirmer : Proposition 23 Supposons qu’il existe une source de cumulant d’ordre quatre non nul (équation (5.24)). Si le système de référence est de réponse impulsionnelle finie et ses coefficients sont tirés aléatoirement selon une loi conjointe continue, alors la condition de la proposition 21 sur les ensembles I+ et I− est presque sˆurement vérifiée.