Convection naturelle à l’intérieur d’une enceinte délimitée par deux portions de paraboles cylindriques de génératrice horizontale et une surface plane

GENERALITES SUR LA CONVECTION NATURELLE 

L’étude du phénomène de la convection est primordiale pour la compréhension des interactions fluide-énergie. Vu son importance dans beaucoup de processus industriels et naturels la convection naturelle thermique dans des milieux confinés a fait l’objet de nombreuses études tant sur le plan expérimental que théorique et numérique. La convection est un mode de transfert de chaleur qui se produit uniquement entre un milieu fluide et une paroi ; elle est un transport d’énergie dû à des mouvements macroscopiques et à un processus de diffusion thermique. On distingue habituellement trois formes de convection : La convection forcée, la convection naturelle et la convection mixte étant un mode de transfert de chaleur pour lequel les deux formes de convection existent. La terminologie convection libre est parfois utilisée dans la littérature pour qualifier la convection naturelle. La différence entre la convection naturelle et la convection forcée est à la fois d’ordre thermodynamique et d’ordre mathématique. Au plan thermodynamique, le transfert d’énergie d’une région à l’autre du fluide est dû, en convection naturelle, à un écoulement créé par un phénomène dit de « poussée d’Archimède » qui prend naissance du fait de la présence simultanée de l’accélération gravitationnelle et d’inhomogénéités spatiales des températures dans le fluide.

En convection forcée, l’écoulement est provoqué par une force due à une puissance mécanique externe. Du point de vue mathématique, en convection naturelle, le champ des vitesses dans le fluide est intimement lié au champ de température qui y existe car le mouvement est induit par le gradient de température thermique alors que dans le cas de la convection forcée, le problème hydrodynamique est généralement dépendant du problème thermique surtout si les propriétés physiques ne dépendent pas de la température. On distingue habituellement deux formes de convection naturelle : la convection naturelle externe et la convection naturelle interne. En convection naturelle externe, le fluide n’est pas confiné dans un espace ferme alors que la convection naturelle interne désigne la convection naturelle dans une enceinte fermée. La notion de convection naturelle confinée est parfois employée pour qualifier la convection naturelle dans les enceintes fermées. Le phénomène de la convection naturelle dans les enceintes est aussi varié qu’il existe de géométries d’enceintes, de conditions aux limites thermiques d’orientations des enceintes, etc.… 4 L’orientation des enceintes subdivise les études de la convection naturelle en deux catégories : la catégorie des enceintes chauffées par en dessous et celle des enceintes chauffées latéralement. 

 REVUE BIBLIOGRAPHIQUE 

Une revue de la littérature indique que la plupart des contributions scientifiques relatives à ce phénomène ont porté sur le cas de la cavité rectangulaire, cylindrique, sphérique, elliptique, ou bien encore en forme d’anneaux cylindriques, sphériques. Les premiers travaux portant sur la convection naturelle numérique ont été entrepris, dans les années 60 par G. de Vahl Davis et al [1]. Ils ont utilisé la méthode des différences finies pour résoudre le problème de la convection naturelle dans une cavité carrée différentiellement chauffée. Ces auteurs ont montré pour les valeurs du nombre de Rayleigh inférieure à 104 , la distribution de température à mi-hauteur de la cavité est presque linéaire et le gradient thermique vertical tend vers zéro. A la fin des années quatre-vingt, et grâce au développement des ordinateurs, G De Vahl a proposé une solution standard dite Benchmark pour le cas de la cavité carrée différentiellement chauffée en régime laminaire. Plus tard, les résultats de simulation ont été obtenus par P. Le Queré [2]. De Vahl Davis [3] a étudié numériquement le phénomène de la convection naturelle dans une cavité carrée remplie d’air et différentiellement chauffée pour des valeurs du nombre de Rayleigh comprises dans l’intervalle 103  R  106 . Il a utilisé la formulation fonction de courant-vorticité. Les équations modifiées par l’interaction d’un terme transitoire sont discrétisées par la méthode des différences finies. Au début des années quatre-vingt, l’attention des chercheurs a été attiré par l’étude de la convection naturelle dans une cavité différentiellement chauffée et inclinée par rapport à un plan horizontal. L’inclinaison a un effet très important sur la structure des écoulements des fluides et du taux de transfert de chaleur. Parmi les auteurs qui ont étudié cette configuration, on peut citer les travaux de H. Q. Yang et al [4], Lee T et al [5], D.C. Lo [6]. Les résultats obtenus montrent que lorsque l’angle de l’inclinaison augmente le nombre de Nusselt décroit pour une valeur donnée du nombre de Rayleigh (voir figure 1.1). 5 Figure (1.1) : Distribution du nombre de Nusselt moyen suivant y pour : Ra = 105 et Ra = 106 H. [6]. Hiroyuki Ozoe et Hayatochi Sayama. [7] ont étudié expérimentalement les taux de transfert de chaleur par convection naturelle laminaire pour l’huile de silicone et dans l’air dans une cavité rectangulaire. Le rapport de forme prend les valeurs 1, 2, 3, 4.2, 8.4 et 15.5, le nombre de Rayleigh varie de 3 3.10 à 5 10 et l’inclinaison varie de 0 à 180 degrés. Il a été démontré que lorsque l’angle d’inclinaison passe de 0° à 180° le taux de transfert de chaleur passe par un minimum.

L’angle d’inclinaison correspondant à ce minimum dépendait fortement du rapport de la section mais peu du nombre de Rayleigh. Une transition dans le mouvement de convection a lieu pour l’angle correspondant au minimum du taux de transfert thermique. A. Bairi [8] a étudié expérimentalement la convection naturelle dans une cavité cubique inclinée. Les parois chaude et froide de la cavité sont maintenues à des températures constantes (isothermes) ; les autres parois de la cavité sont adiabatiques. Les mesures expérimentales et la simulation numérique sont effectuées pour les différentes configurations géométriques et thermiques suivantes. – Les valeurs du nombre de Rayleigh sont comprises entre 10 et 1010 . – L’angle d’inclinaison varie entre 00 et 3600 . Il a mené un calcul numérique bidimensionnel basé sur la méthode des volumes finis et ont examiné l’influence du nombre de Rayleigh et de l’angle d’inclinaison sur la structure de l’écoulement et le taux de transfert de chaleur par convection. Les résultats obtenus indiquent un bon accord entre les résultats numériques et les mesures expérimentales. D’autre part, des corrélations du nombre de Nusselt en fonction du nombre de Rayleigh pour différents angles d’inclinaison ont été proposées. 6 D.C. Lo et al [6] ont utilisé un nouvel algorithme basé sur la méthode quadrature différentielle (DQ) proposée par Bellman. Cette méthode est appliquée par Shu et Xue [12] pour la détermination de la vitesse relative des tourbillons et les variations de températures d’un écoulement de convection naturelle de l’air confiné dans une cavité cubique inclinée et différentiellement chauffée. Ils ont examiné l’effet de l’inclinaison sur le taux de transfert thermique caractérisé par le nombre de Nusselt pour les valeurs du nombre de Rayleigh entre 103 et 106 . L’angle d’inclinaison varie entre 00 et 600 avec un pas de 150 . Les résultats trouvés pour le cas non incliné sont comparés avec les résultats de Tric et al [9].

Ils ont montré que l’inclinaison a un effet significatif sur la structure thermique et dynamique de l’écoulement et le taux de transfert de chaleur. Vinoj. Kurian et al [10] ont utilisé le code CFD (fluent) pour étudier l’effet de l’inclinaison sur le tirage thermique induit par les écoulements internes et le transfert thermique par la convection naturelle. Ils ont étudié à l’aide d’une méthode de volume finis, la convection naturelle dans une cavité cylindrique différentiellement chauffée et inclinée ont présenté relatifs aux paramètres de contrôle suivants :  La valeur du nombre de Rayleigh entre 103 et 3.1×104  La valeur du nombre de Prandtl est égale à 0.71  L’angle d’inclinaison entre 00 et 1800 Ces auteurs ont étudié les structures thermiques et dynamique des écoulements et déterminé le taux de transfert de chaleur ; ils donnent aussi la valeur critique du nombre de Rayleigh. Brahim Ben Beya et al [11] ont examiné par voie numérique l’écoulement laminaire de la convection naturelle dans une cavité cubique incline, différentiellement chauffée. Les équations de mouvement et de l’énergie en trois dimensions sont résolues par la méthode de sous- relaxation (SOR), basée sur une discrétisation spatiale avec un schéma de volume finis. Ils ont analysé le taux de transfert de chaleur obtenu pour une large gamme des paramètres suivants :  La valeur du nombre de Rayleigh varie entre 103 et 1.3×105  Le nombre de Prandtl limite entre 0.71 et 0.75  L’angle d’inclinaison entre 00 et 900 Les résultats obtenus par ces auteurs, montrent d’une part, que la structure de l’écoulement du fluide est parfaitement symétrique pour des valeurs du nombre de Rayleigh inférieures ou égales à 104 . D’autre part, lorsque la valeur du nombre de Rayleigh dépasse cette valeur critique, la symétrie est brisée. Progressivement. Ils ont observé aussi un comportement périodique de l’écoulement pour la valeur du nombre de Rayleigh 8.5×104 , ainsi que les caractéristiques de l’écoulement dépendent de l’angle d’inclinaison. Pour Pr  0.7 ils ont conclu qu’il y a un effet significatif sur le taux de transfert de chaleur. 7 C. Shu et al [12] ont développé une méthode globale de la quadrature différentielle généralisée (QDG) qui a été appliquée à la simulation de la convection naturelle dans une cavité carrée.

Cette méthode, principalement sur la détermination des coefficients de pondération utiles dans les dérivations, utilise un maillage un peu grossier, et un temps de calcul raisonnable et ne demande pas beaucoup d’espace de stockage. Il est noté que lorsque les points du maillage sont les racines du polynôme de Tchebychev d’ordre n, la méthode QDG donne le même résultat que la méthode des collocations de Tchebychev. Il a fait un benchmark pour tester la méthode. Le nombre de Rayleigh varie de 103 a 106 et les maillages utilises sont grossiers (13×13, 15×15 et 21×17). La méthode s’avère précise et a donné des résultats très proches de ceux de Vahl Davis [3] avec des maillages plus fins (41×41 et 81×81) et une méthode de différence finis du premier et du second ordre. R.J.Janssen et al [13] ont étudié l’effet du nombre de Rayleigh et du nombre de Prandtl sur la convection naturelle. R.A.Kuyper et al [14] ont étudié l’effet de l’angle de l’inclinaison de la cavité. D.R. Chenoweth et Paolucci [15] ont analysé l’influence du rapport de forme. Tous ces résultats obtenus sous diverses conditions paramétriques ont permis d’acquérir un nombre important de corrélations permettant ainsi, d’évaluer les taux de transfert de chaleur. Fusegi et al [16] ont étudié les caractéristiques du champ de vitesse et du taux de transfert thermique pour des écoulements stationnaires dans une configuration tridimensionnelle. Ils ont analysé les structures d’écoulement obtenues pour une large gamme du nombre de Rayleigh dans l’intervalle 3 10 à 10 10 . Ils ont constaté que, lorsque le nombre de Rayleigh augmente l’écoulement devient confiné près des parois adiabatiques. D’autre part ils ont proposé une corrélation entre le nombre de Nusselt et le nombre de Rayleigh comme suit: 0,282 3 10 Nu = 0,163 Ra si 10 10   Ra . ElSherbiny [17] dans ses différents travaux, insiste sur l’importance de l’angle d’inclinaison de la couche d’air et les conséquences de ce paramètre sur le phénomène de convection naturelle. Pour le transfert de chaleur, les corrélations qu’il a établies dépendent de l’angle d’inclinaison de la cavité ainsi que du nombre de Rayleigh. Elles sont valables pour une valeur du rapport de forme égal à 20 et un angle d’inclinaison variant de 120° à 180°. ElSherbiny, a développé d’autres corrélations pour des angles d’inclinaison variant de 60°à 90°, les corrélations trouvées pour 120° <ߠ>180° sont les suivantes :   1 11 0,136 11 0 Nu = 1 0, 212.Ra pour = 180       8   1 4,76 0,332 4,76 0 Nu = 1 0,0566.Ra pour = 120               0 180 0 0 = Nu 180 + 120 180 60 Nu Nu Nu         0 0 pour 120 180 .    Dans ses travaux, Zhao [18] a effectué des simulations numériques sur des cavités d’air verticales dont l’allongement varie entre 5 et 80 en utilisant la méthode des éléments finis. Il a ensuite comparé les résultats numériques obtenus avec des résultats expérimentaux et a proposé une corrélation qui présente une déviation maximale de plus ou moins 6 % entre les résultats expérimentaux et numériques. Ghernoug et al. [19] ont proposé dans ce travail, l’étude numérique de la convection naturelle laminaire et permanente dans un espace annulaire rempli par un fluide newtonien et incompressible situé entre deux cylindres excentriques horizontaux et incliné d’un angle par rapport à l’horizontale.

En utilisant le système de coordonnées bi-cylindriques, ils examinent l’effet du nombre de Grashof, des conditions thermiques pariétales et d’inclinaison du système ; pour 6 Gr 5.10 , le régime est dominé par la conduction. Parmi les études de convection naturelle en rapport direct avec le présent travail, on peut citer les travaux menés par Talabi et Nwabuko [20] ont étudié numériquement la convection naturelle dans une enceinte parabolique. Ils ont montré dans leur étude que le taux de transfert de chaleur vers les parois froides augmente en fonction du nombre de Prandtl et Grashof. Les effets géométriques soumis à différentes conditions de chauffage sont étudiés par Mahfoud Djezzar [21]. Mustafa [22] a mis l’accent sur la compréhension du transfert de chaleur par convection naturelle dans une enceinte parabolique que l’on trouve dans des concentrateurs solaires paraboliques. Il a analysé l’effet de la paroi verticale de l’enceinte parabolique chauffé par le bas sur la convection naturelle laminaire. Khudheyer S. Mushatet [23] a étudié numériquement le transfert de chaleur et l’écoulement du fluide à l’intérieur d’une cavité carrée inclinée ayant deux parois verticales ondulées différentiellement chauffées et deux parois horizontales planes isolées. Il a étudié l’effet de l’angle d’inclinaison, l’amplitude et le nombre d’ondulations pour Rayleigh 5 Ra 10 . Les résultats obtenus montrent que le taux du transfert de chaleur augmente avec l’augmentation du nombre d’ondulations, de l’angle d’inclinaison et du nombre de Rayleigh, par contre l’augmentation de l’amplitude de la cavité diminue le nombre de Nusselt local et donc le taux du transfert de chaleur

FORMULATION MATHEMETIQUE 

INTRODUCTION 

En physique, il est nécessaire d’être quantitatif et d’utiliser avec aisance les mathématiques. Certains diront que la nature s’exprime avec le langage des mathématiques. On dit souvent qu’une théorie n’est achevée que lorsqu’on connait l’équation différentielle qui gouverne le phénomène physique. Dans ce chapitre, nous proposons la modélisation mathématique du problème physique par des équations. En nous basant sur les équations de continuité, de la quantité de mouvement et de la chaleur. En fin, nous définirons le coefficient de transfert de chaleur qui est caractérisé par le nombre de Nusselt. 

DESCRIPTION DU PROBLEME 

Considérons une enceinte délimitée par deux portions de paraboles cylindriques d’axes horizontales ouvertes à gauche et à droite et par une paroi plane horizontale, rempli d’un fluide newtonien en l’occurrence de l’air (voir figure 2. 1). Figure 2.1 : configuration de la géométrie étudiée. Dans le système de coordonnées OX OY ,  les équations des portions de paraboles cylindriques sont données par : 13   2 2 0 0 2 2 0 0 1 . 4 2.2.1 1 . 4 y x b b y x b b                              Avec – 0 0   et les paramètres repérant les portions de paraboles de gauche et de droite. – La quantité 2 2 0 0 b. + b.   représente la longueur du segment AB . Initialement le système est en équilibre thermodynamique à la températureTC . A partir de cette date, on porte les deux paraboles (ouvertes à gauche et à droite) à une température TH et la paroi plane horizontale à une températureTC . L’enceinte étant différentiellement chauffée le fluide se met alors en mouvement et nous nous proposons d’étudier ce phénomène de convection naturelle thermique en partant des équations de Navier- Stokes et du bilan de l’enthalpie massique.

HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES 

La résolution des équations complètes de Navier- Stokes et du bilan de l’enthalpie massique dans une telle enceinte étant à l’heure actuelle impossible, nous allons poser certaines hypothèses simplificatrices jugées raisonnables dans la modélisation de notre problème. Ainsi nous admettons que :  Tous les phénomènes sont indépendants du temps ;  Le fluide est newtonien et les transferts sont bidimensionnels ;  Le travail des forces dues à la viscosité ainsi que le rayonnement sont négligés.  Nous supposons être dans le cadre de l’approximation de Boussinesq consistant à considérer les variations de la masse volumique  négligeable au niveau de tous les termes des équations de la quantité de mouvement hormis dans le terme de pesanteur dont les variations avec 14 la température, engendrent la convection naturelle [35]. Ces variations sont alors traduites par l’équation d’état suivante qui relie la masse volumique à la température.       0 1 T T0  T et T0 représentent les températures du fluide en un point donné du système et de référence.  : Le coefficient de dilatation thermique du fluide défini par : 1 T p              0 : Masse volumique du fluide à la températureT0.

Formulation vectorielle du problème en variables primitives

 Les phénomènes dynamiques et thermiques au sein d’un fluide sont alors décrits compte tenu des hypothèses simplificatrices ci- dessus par les trois équations suivantes : 

Equation de continuité 

Elle traduit le principe de conservation de la masse dans tous les points d’un fluide continu. L’équation de continuité prend la forme suivante. V  0.

Equation de la quantité de mouvement

 Le bilan de la quantité de mouvement permet d’établir les relations entre les caractéristiques du fluide et les causes qui les produisent.

Equation de la chaleur

En tenant compte des hypothèses simplificatrices, l’équation du bilan de l’enthalpie massique se ramène à l’équation de la chaleur suivante : . T = . . . T V          2.4.3       = Cp    ;  : Conductivité thermique ; Cp : Capacité calorifique massique du fluide à pression constante. 2.4.4 Equation de la pression: Bien que les équations 2.4.1, 2.4.2 et 2.4.3 nous permettent a priori d’avoir les champs des vitesses, de la pression et de la température, un problème subsiste car la pression n’apparaît pas de manière explicite dans le problème hydrodynamique. C’est pourquoi on adjoint au système 2.4.1 – 2.4.3   , une équation de la pression de type Poisson obtenue en appliquant l’opérateur divergence aux deux membres de l’équation2.4.2 . Il vient après quelques transformations :          0 0 1 . . . . . p V V g T   2.4.4                  Le système 2.4.1 – 2.4.3    est fermé par les conditions aux limites suivantes : – Conditions d’adhérence et de non- pénétration sur toutes les parois de l’enceinte V  0 2.4.5.  a   Et 16 n n V . . 0 2.4.5.       b     n  avec le vecteur normal local à la paroi. – Conditions thermique sur les parois de l’enceinte – Sur les portions de paraboles : T T  H 2.4.5.c – Sur la plaque plane T T  C 2.4.5.d  – Conditions sur la pression L’une des difficultés de l’étude des transferts en convection réside à poser des conditions aux limites sur le champ des pressions au niveau d’une paroi. Puisque qu’il n’existe pas de conditions intrinsèques sur la pression, des auteurs proposent : Sur toute la paroi : n p . 0   2.4.5.e   Cependant cette condition est réductrice car elle ne tient pas compte des effets de frottement qui ont lieu au niveau des parois. Pour avoir une condition sur le champ des pressions plus générale on projette l’équation du mouvement normalement à la paroi. Alors l’équation (2.4.2), en tenant compte des conditions d’adhérence, se ramène à :   0     0 1 0 . n p g T v n n n V 1   . . . 2.4.5. f                                 Nous voyons que la formulation du problème thermo- convectif dans cette enceinte en variables vitesse pression est très compliquée car les équations sont fortement couplées et non linéaires. En outre le champ de pression pose problème car il est très délicat de poser des conditions aux limites sur ce dernier. Cependant en convection naturelle l’importance de la pression est moindre et par-dessus tout il n’est pas le moteur. Pour diminuer le degré de non linéarité des équations et éliminer le terme de pression qui est gênant, on profite de la bidimensionnalité des transferts pour reformuler en utilisant le formalisme vorticité – fonction de courant.