Identification d’un modèle nonlinéaire NARMAX

 Stratégies et structures des modèles

Modèles et modélisation

Un modèle est une identité mathématique capable de prédire le comportement du système modélisé suivant un stimulus connu. Ils transforment l’entrée, appelé signal de commande, en une Figure 6.2 – Système réel et représentation par un modèle de paramètres −→β . sortie linéaire ou non de manière la plus proche possible de celle du système. Selon Corriou [53], les modèles peuvent être distingués suivant quatre caractéristiques : le comportement dynamique, la représentation temporelle, leur type et leur linéarité. Le comportement dynamique permet de savoir si le modèle représente un processus qui évolue dans le temps, c’est-à-dire de savoir si les dérivées temporelles ∂ ·/∂t sont nulles ou non. Dans le cas d’une valeur nulle, on parle alors de modèle statique, et dans le cas opposé de modèle dynamique. La pression pariétale étant dans le présent cas un signal instationnaire, le modèle associé est alors un modèle dynamique. La représentation temporelle correspond à la description continue ou discrète du temps dans le modèle. Le type est relatif au contenu physique introduit dans la conception du modèle. Un modèle dit boîte-noire est un modèle mathématique n’ayant a priori aucune signification physique, un tel modèle est alors dit de comportement. Dans le cas opposé, lorsque la physique du phénomène est intégrée, le modèle est dit de connaissance. Ce dernier cas peut être illustré avec la simulation numérique directe (DNS) des écoulements. Enfin, la caractéristique portant sur la linéarité permet de savoir si la réponse du système est linéaire vis-à-vis du stimulus. A savoir que la grande majorité des outils du domaine de l’automatique sont développés pour les systèmes ou modèles linéaires.

Dynamique d’un modèle

Il est important de bien distinguer les termes modèle dynamique et dynamique du modèle ou modèle statique et statique du modèle . En effet, un modèle dynamique ou statique peut être caractérisé par sa dynamique et sa statique. La dynamique du modèle est la caractérisation des régimes transitoires, c’est-à-dire le comportement du modèle lors d’un changement de commande. A l’opposé, la statique du modèle est quant à elle la caractérisation des régimes permanents. Afin de faciliter la distinction des termes, la dynamique et la statique d’un modèle sont respectivement nommées par la suite comportement dynamique du modèle et comportement statique du modèle. 6.2.1.3 Principe d’un modèle L’objectif est de représenter un système physique réel par un modèle M, ce qui permet de simuler ensuite le comportement du système. Un modèle dépend de sa structure définie par un certain nombre de grandeurs ou paramètres qui peuvent être rangés dans un vecteur, noté par la suite −→β . Ainsi, sous l’action d’une excitation variant dans le temps u(t), nommée entrée dans la  terminologie de l’automatique, le système et le modèle doivent idéalement répondre de la même façon. Leurs réponses, ou sorties, sont respectivement notées y(t) et ym(t, −→β , u). La figure Fig. 6.2 décrit ce principe à l’aide d’un schéma bloc pour un système mono-entrée et mono-sortie (SISO). Le concept reste le même pour un système multi-entrées et/ou multi-sorties (MISO, SIMO et MIMO) 1. 6.2.1.4 Constitution d’un modèle Les entrées et sorties du modèle sont reliées par une ou plusieurs relations mathématiques plus ou moins complexes quelles soient linéaires ou non. Pour des modèles dynamique de comportement, il existe différents types de relations suivant les caractéristiques issues du cahier des charges. Une fonction de transfert et une représentation d’état sont adaptés pour un modèle linéaire à temps invariant respectivement SISO et MIMO. Il est à noter que le modèle mono-variable peut être considéré comme un cas particulier d’un système multi-variable. Le lecteur intéressé est invité à consulter un ouvrage dédié à l’automatique pour approfondir les notions sur ces structures, par exemple Corriou [53]. L’avantage de ces structures est qu’il existe de nombreux outils mathématiques dédiés au calcul du modèle, de l’estimation, de la robustesse et la conception de régulateur. Cependant, la majorité des systèmes à modéliser ne sont ni linéaires et ni à temps invariant, c’est-à-dire qu’ils ont une même réponse pour une même séquence d’entrée appliquée à différents instants. Les modèles ont alors une structures nécessitant l’introduction de fonctions non-linéaires pour assurer une relation entre sorties et entrées non-linéaires. Globalement, un modèle non-linéaire peut être défini par une fonction non-linéaire f−→β caractérisée par le vecteur des paramètres −→β . La représentation temporelle du modèle de l’écoulement contrôlé est choisie discrète puisqu’il doit représenter la relation entre la vitesse de soufflage au fond de la cavité et la mesure de la pression pariétale simulée par un code de simulation numérique discret en temps. Soit k le pas de temps discret actuel, un modèle non-linéaire SISO peut-être exprimé sous la forme : y[k] = f−→β (y[k − 1],…,y[k − ny], u[k − 1],…,u[k − nu], ,[k − 1],…, ,[k − n,]) + η[k] (6.1) où u et y sont respectivement les entrées et sorties du modèle. , et η sont des perturbations pouvant être liées aux bruits de mesures par exemple, qui sont nulles dans le cas idéal. Ainsi, la clef d’un modèle non-linéaire réside dans le choix adapté de la fonction f−→β , c’est-à-dire dans le choix de la structure du modèle. La structure la plus complète qui puisse permettre d’un point de vue théorique de pouvoir modéliser la quasi-totalité des processus est la structure de réseaux de neurones artificiels (Dreyfus et al. [67]). La performance de tels modèles résident principalement dans la structure interne des réseaux de neurones (nombre de couches, nombre de neurones, récursivité, etc.) et des fonctions d’activation. L’emploi de cette structure nécessite de nombreux essais et une grande expertise de la part de l’ingénieur. Cette structure assure donc l’utilisation de fonctions non-linéaires avec des relations non-linéaires entre elles. Afin de simplifier une telle structure, il est possible d’obtenir des résultats satisfaisant en émettant l’hypothèse de relations linéaires entre les différentes fonctions. C’est en réalité un cas particulier des réseaux de neurones à une couche. La structure du modèle est constituée d’une base de projection non-linéaire, c’est-à-dire de fonctions non-linéaires. La sortie du modèle est alors une combinaison linéaire de ces différentes fonctions non-linéaires. Soit Φi(y[k − 1],…,y[k − ny], u[k − 1],…,u[k − nu], ,[k − 1],…, ,[k − n,], −→βi) une des n fonctions non-linéaires formant la base de 1. S : single, M : multi, I : input et O : output. projection, la sortie du modèle est alors définie par : y[k] = Bn i=1 θiΦi(y[k−1],…,y[k−ny], u[k−1],…,u[k−nu], ,[k−1],…, ,[k−n,], −→βi, ,)+η[k] (6.2) Le vecteur des paramètres −→β du modèle est donc la somme des paramètres −→βi de chaque fonction de la base, plus les différents termes θi, appelés coefficients de régression. Ces derniers sont typiquement formulés tous ensembles dans un vecteur noté Θ. Ce type de structure constitue la grande famille des modèles paramétriques non-linéaires, qui est la plus utilisée. La structure du modèle est alors définie par le choix de cette base par exemple des fonctions polynomiales ou des ondelettes. Lorsque les non-linéarités peuvent être décomposées par des dérivées partielles non-linéaires du premier ordre, la structure du modèle peut-être de nouveau simplifiée par l’utilisation de série de Volterra donnant lieu aux modèles non-linéaires de Volterra, Wiener, Hammerstein et leur combinaison (voir Ogunfunmi [151]). Ces structures sont les plus employées dans le domaine de la modélisation. De nombreuses autres structures non-linéaires existent, relevant parfois du cas particulier, dont le principe peutêtre rattaché à une modification de l’une de ces trois structures