Inégalités de Fefferman-Stein pour l’opérateur maximal de Dunkl associé à Z

Le principal but de ce chapitre est de démontrer dans le cadre de l’analyse de Dunkl des inégalités de Fefferman-Stein pour un opérateur maximal défini classiquement au moyen des mesures µ et de la translation de Dunkl. Ces inégalités, qui constituent un outil fon- damental en analyse harmonique, généralisent dans un cadre vectoriel le théorème maximal (scalaire) prouvé par Thangavelu et Xu ([56]). Cependant, comme la grande majorité des résultats de la théorie de Dunkl, nous ne pourrons démontrer ces inégalités que dans le cas où le groupe de réflexions est Z. La méconnaissance de l’opérateur de translation généralisé empêche à l’heure actuelle d’énoncer un théorème de Fefferman-Stein en toutes généralités. Pour autant, démontrer ces inégalités dans le cadre Z où l’opérateur de trans- lation est mieux cerné est loin d’être une évidence car la structure de la translation de Dunkl ne permet pas la mise en œuvre des outils d’analyse réelle.Le contenu du chapitre est le suivant. Dans un premier temps, nous introduirons, pour un groupe de réflexions quelconque, l’opérateur maximal de Dunkl pour lequel un théorème maximal a été démontré. Nous apporterons alors des précisions sur la taille des constantes de ce théorème. Nous présenterons en détails dans une deuxième section le cadre de travail dans lequel nous établirons les inégalités de Fefferman-Stein, à savoir Z . On démontrera en particulier une inégalité fondamentale pour la translatée de Dunkl de la fonction carac- téristique d’une boule euclidienne de rayon r centrée en l’origine. La troisième section sera quant à elle consacrée à l’énoncé et à la démonstration des inégalités de Fefferman-Stein. On donnera enfin dans une dernière section une extension de ces inégalités à une plus large classe d’opérateurs liés à l’analyse de Dunkl.Signalons que ce chapitre contient entre autres les résultats publiés dans [12].

Opérateur maximal de Dunkl

Dans cette section, nous allons introduire l’opérateur maximal de Dunkl associé à un groupe de réflexions et présenter le théorème maximal prouvé en 2005 par Thangavelu et Xu. Nous apporterons des précisions sur les constantes de ce théorème.Dans le cas où la fonction de multiplicité κ est nulle, on retrouve l’opérateur maximal classique introduit en 1930 par Hardy et Littlewood dans un cadre unidimensionnel (voir [27]) et généralisé en dimension supérieure par Wiener en 1939 (voir [59]). Le résultat suivant, dû à Thangavelu et Xu ([56]), discute du caractère LRevenons au théorème maximal (théorème 2.2). À l’heure actuelle, une preuve basée sur une méthode combinant des arguments de recouvrement et d’interpolation semble, pour un groupe de réflexions quelconque, hors de portée, tout comme une théorie des in- tégrales singulières dans le contexte de l’analyse de Dunkl semble hors de portée. Cela est dû à la structure de la translation de Dunkl qui ne permet pas la mise en œuvre des outils classiques d’analyse réelle, et ce, bien que les mesures µsoient doublantes. Pour démon- trer le théorème maximal en toute généralité, Thangavelu et Xu ont réussi à contourner le problème en contrôlant l’opérateur maximal de Dunkl au moyen de l’opérateur maximal associé au semi-groupe de la chaleur de type Dunkl afin d’utiliser le théorème ergodique de Hopf-Dunford-Schwartz. Cette technique est due à Stein ([50]). Plus précisément, ils ont démontré l’inégalité ponctuelle suivante.

Si l’utilisation de ce théorème ne permet pas d’établir des inégalités de Fefferman-Stein, il permet en revanche d’être plus précis quant à la taille des constantes dans le théorème maximal. C’est ce que nous allons voir maintenant dans une nouvelle sous-section.Les théorèmes que nous allons présenter dans cette sous-section généralisent certains résultats démontrés par Stein et Strömberg pour la fonction maximale usuelle (voir [48]). Nous nous inspirons d’ailleurs de leur stratégie de preuve.Nous supposerons γ. Les résultats de l’analyse de Dunkl sont en grande majorité démontrés dans ce cas particulier car c’est le seul où la connaissance explicite du noyau (produit des noyaux unidimensionnels) permet d’établir une formule produit pour celui-ci. De plus, on peut )-borné de l’opérateur de translation. C’est ce que nous allons maintenant présenter.