Intégrales de fractions rationnelles bivariées

Une série algébrique (corollaire 9). Le but de ce chapitre est de rendre ce résul- tat effectif, c’est-à-dire de donner un algorithme qui calcule un polynôme annula- teur pour cette série. La stratégie que nous allons adopter s’appuie sur la formule donnée par la proposition 8 :sont les petits pôles (voir la définition 6) de la fraction F. On di- vise alors le travail en deux étapes : on commence par calculer un polynôme qui annule chacun des résidus Res(F, y) dans la section 3.1, puis on en déduit un poly- nôme qui annule la somme des résidus dans la section 3.2. Ces algorithmes inter- médiaires sont essentiellement appliqués à des fractions rationnelles univariées, on travaillera donc dans un corps K qui sera spécialisé plus tard à K Æ k(x).Dans cette section on souhaite, étant donnée une fraction rationnelle, calcu- ler un polynôme qui annule une partie de ses résidus. Dans le cas des résidus aux pôles simples, c’est un résultat classique en intégration symbolique que l’on peut calculer un tel polynôme à l’aide d’un résultant introduit par Rothsteina ensuite donné des formules similaires pour le cas de pôles mul-tiples. Malheureusement, les résultants de Bronstein ne sont pas adaptés au calculcar la complexité de leur évaluation croît exponentiellement avec la multiplicité des pôles. Voici une méthode pour obtenir le résultat avec une complexité polyno- miale.

POLYNÔME ANNULANT LES RÉSIDUS D’UNE FRAC

On retrouve donc la formule classique pour les résidus aux pôles simples, et le résultant correspondant n’est autre que le résultant de Rothstein et Trager.Ses pôles sont d’ordre d Å 1. Sur cet exemple, l’algorithme peut-être effectué à la main pour d quelconque. En reprenant les notations de l’algorithme.Par la suite, on voudra appliquer l’algorithme 6 à un polynôme bivarié, auquel cas le résultat obtenu est également un polynôme bivarié. Afin d’analyser son bi- degré, on décortique les deux étapes principales de l’algorithme : l’extraction de coefficient dans le développement en série d’une fraction rationnelle, et le calcul final de résultant. Pour cette dernière, on dispose de bornes classiques pour le de- gré d’un résultant rappelées dans l’annexe A. Pour ce qui est de l’extraction de co- efficient, il se trouve que le développement en série d’une fraction rationnelle est très structuré : on va montrer que les degrés des coefficients croissent au plus li- néairement.Pour le (2), la condition S(0) Æ 0 rend la série f (S) bien définie. Le résultat est alors une conséquence directe du (1)., on obtient le résultat pour une puissance pure grâce au (1) de la proposition. Le cas général dé- coule alors du (3) par récurrence sur le nombre de facteurs dans la décomposition sans carré de Q, et en utilisant l’additivité du degré et du degré total.

Étant donné que cette borne est une fonction croissante de chacun des degrés, elle reste vraie si on les remplace eux-mêmes par des majorants respectifs. On en déduit la borne opérations dans k. On s’intéresse maintenant aux calculs effectués lors de la i -ème itération de la boucle. Pour ce faire, on note nécessite une division exacte de polynômes de bide- gré au plus peut être calculé par évaluation et interpolation par rapport à (x, y) enOn passe maintenant au deuxième sous-problème : à partir d’un polynôme an- nulant chacun des résidus, calculer un polynôme qui annule la somme d’un cer- tain nombre de résidus. Je commence cette section avec un rappel sur les sommes de Newton attachée à un polynôme. C’est un objet très classique qui va intervenir de façon fondamentale pour attaquer ce problème.est appelée la n-ième somme de Newton de p. On utilisera la notation N (p) pour désigner la série génératrice ordinaire des sommes de Newton de p. Plus précisé- ment,Rappelons quelques propriétés élémentaires bien connues des sommes de New- ton. On utilise la notation rec(p) pour désigner le polynôme réciproque de p.que les séries génératrices ordinaires sont utiles pour manipuler les opérations de type < produit composé >, alors que les < sommes composées > se manipulent mieux par l’intermédiaire de la série génératrice exponentielle bien sûr, il est aisé de jongler entre séries génératrices ordinaires et exponentielles puisque l’on passe de l’une à l’autre en multipliant ou en divisant par des facto- rielles.