La thermalisation des électrons dans une atmosphère stellaire
L’équation cin étique des électrons
Forme générale
Cette équation a la forme des équations cinétiques de la théorie cinétique des gaz (dilués) ½ ∂ ∂t + ve. ∂ ∂r + ge(r, ve,t). ∂ ∂ve ¾ [ne(r,t)fe(r, ve,t)] = Σe(r, ve,t) , (3.1) ou` ge(r, ve,t) est l’accélération moyenne, en (r,t), d’un électron de vitesse ve, et Σe(r, ve,t) est un terme de source décrivant les collisions élastiques, inélastiques et les transitions radiatives des électrons : Σe = Σel + Σinel + Σrad . (3.2) Le but de ce chapitre est de calculer les trois composantes de ce terme dans une atmosphère stellaire, c’est-à-dire pour les processus décrits à la section 1.3. La référence sur le sujet est la monographie d’Oxenius [78]. Dans une atmosphère stellaire plan-parallèle, statique et stationnaire, la variable de position r est remplacée par la variable de profondeur géométrique z, et la variable de temps disparaˆıt. On suppose donc que les électrons ont atteint une certaine configuration d’équilibre (pas forcément maxwellien) qui nous autorise à ignorer la variation temporelle des grandeurs qui les caractérisent (température, densité, fdv). Lorsque cet équilibre est atteint, la fdv des électrons vérifie l’équation cinétique suivante : ve. ∂ ∂z [ne(z)fe(z, ve)] + ne(z)ge(z, ve). ∂ ∂ve fe(z, ve) = Σe(z, ve) . (3.3) Cette équation est compliquée du fait de la dépendance angulaire du membre de gauche. En fait, nous nous placerons dans un contexte ou` les termes du membre de gauche, qui sont les principaux responsables de l’anisotropie de la fdv des électrons, sont séparément négligeables par rapport au terme de collisions élastiques situé dans le membre de droite (voir section 3.6). Cela rend admissible l’hypothèse d’isotropie de la fdv des électrons faite ici, qui permettra de simplifier l’écriture du membre de droite de (3.3). Notamment la dépendance spatiale des fdv et de Σe ne dépend plus que des paramètres de l’ECE : les densités numériques, les températures, et la dépendance spatiale des fdv autres que celle des électrons. La dépendance en z de ces paramètres est extérieure à l’ECE, qui est complètement locale en z. Nous pourrions alors omettre la dépendance implicite en z dans la suite de chapitre, comme cela est fait dans l’annexe B, afin d’alléger les notations, mais nous garderons explicite cette dépendance par homogéneité avec les autres chapitres de ce mémoire.
Termes de collisions élastiques
Dans une atmosphère d’hydrogène pur, les électrons entrent en collision élastique avec d’autres électrons, avec des protons ou avec des atomes neutres. Les deux premiers types de collision présentent l’avantage d’être décrits par des sections efficaces simples, et l’inconvénient d’être à longue portée, au contraire des collisions avec les neutres qui ont des sections efficaces compliquées mais sont à courte portée. Dans les deux cas, la forme générale du terme de collisions élastiques (Boltzmann) va être modifiée. Nous décrirons d’abord dans la section 3.2.1 la forme générale du terme de collisions élastiques (forme de Boltzmann intégrale), qui sera simplifiée dans la section 3.2.2 grâce à nos hypothèses de travail, aux formes particulières des sections efficaces, etc. Le terme de source aura alors une forme différentielle, mais sera encore trop compliqué pour être traité numériquement sous cette forme. Les collisions élastiques auront une forme différentielle, alors que les collisions inélastiques et interactions radiatives garderont la forme intégrale de Boltzmann. Résoudre une équation intégrodifférentielle non linéaire est très difficile numériquement, et nous verrons à la section 3.2.3 la forme simple apportée par le modèle BGK.
Forme simplifiée
Dans une atmosphère d’hydrogène pur, les électrons libres entrent en collision avec eux-mêmes (e), avec les protons (+) et avec les atomes neutres d’hydrogène (H), d’ou` l’écriture : 1 ne(z) Σel(z, ve) = Σel,e(z, ve) + Σel,+(z, ve) + Σel,H(z, ve) , (3.12) ou` nous avons isolé la densité numérique ne des termes détaillés des collisions. Nous n’avons pas isolé les autres densités afin de pouvoir comparer les termes les uns par rapport aux autres, et définir correctement la fréquence de collision du modèle BGK (en unités s −1 , voir section 3.2.3). Pour les deux premiers termes Σel,e(z, ve) et Σel,+(z, ve), on connaˆıt parfaitement la section efficace différentielle d’interaction, mais l’intégrale figurant dans le terme de source diverge parce que la sed devient infinie pour de petits angles de déviation. Pour empêcher cette intégrale de diverger, la méthode usuelle est de faire une coupure du domaine d’intégration sur les angles, coupure à un angle minimum de déviation noté θc. Cette coupure est physiquement justifiée par l’effet systématique d’écrantage d’une charge par ses voisines, dit de Debye-Huc¨ kel [70]. On admet que la longueur de corrélation entre deux charges dans un plasma statistique est la longueur de Debye λD(z). Cette longueur représente le paramètre d’impact maximal de collision élastique entre deux charges. Si le paramètre d’impact est plus grand, les deux charges n’interagissent pas, et il n’y a pas de déviation. C’est cette valeur du paramètre d’impact qui est utilisée en général pour calculer l’angle de coupure. Toutes les grandeurs utilisées par la suite sont amplement détaillées dans la note C.2, et nous donnons l’expression de ces termes de source dans la section 3.2.2.1. Pour le troisième terme, l’intégrale de la sed ne diverge pas, la forme de Boltzmann est donc valable, mais elle est compliquée. Il est possible de grandement le simplifier, par exemple en le linéarisant, car l’électron entre en collision avec une particule beaucoup plus lourde que lui, ce qui a une incidence forte sur la dynamique des collisions. Des calculs ont été faits par I. B. Bernstein à partir de cette constatation [5], et nous les résumons dans la section 3.2.2.2. De plus, la section efficace est mal connue, et nous avons dû la modéliser à l’aide d’une étude détaillée dans l’annexe A (section A.5.4
Table des matières
Résumé
Abstract
Introduction
Notations
1 Le modèle
1.1 Atmosphères plan-parallèles, statiques et stationnaires
1.2 Les particules
1.3 Les collisions envisagées
1.4 Données atomiques intrinsèques
2 L’équation de transfert
2.1 Rappels
2.1.1 Cas général
2.1.2 Cas des atmosphères stellaires plan-parallèles et stationnaires
2.1.2.1 Conditions aux limites
2.1.3 Les moments de l’intensité spécifique
2.2 Expression des coefficients volumiques
2.2.1 Coefficient d’absorption
2.2.1.1 Transitions bb
2.2.1.2 Transitions bf
2.2.1.3 Transitions ff
2.2.2 Coefficient d’émission
2.2.2.1 Transitions bb
2.2.2.2 Transitions fb
2.2.2.3 Transitions ff
2.2.3 Coefficient de diffusion
2.3 Atmosphères en équilibre thermodynamique local
2.3.1 Atmosphères thermalisées
2.3.1.1 Transitions bb
2.3.1.2 Transitions bf-fb
2.3.1.3 Transitions ff
2.3.2 Atmosphères en équilibre thermodynamique local
3 L’équation cinétique des électrons
3.1 Forme générale
3.2 Termes de collisions élastiques
3.2.1 Forme générale de Boltzmann
3.2.2 Forme simplifiée
3.2.2.1 Les collisions des électrons avec les particules chargées
3.2.2.1.1 La section efficace différentielle de collision
3.2.2.1.2 La forme de Fokker-Planck-Landau
3.2.2.1.3 La forme de Boltzmann avec coupure
3.2.2.1.4 Conclusion
3.2.2.2 Les collisions des électrons avec les atomes neutres
3.2.3 Forme modélisée BGK
3.3 Termes de collisions inélastiques
3.3.1 Remarque .
3.4 Termes de collision dus ˆ aux processus radiatifs
3.4.1 Le processus de photoionisation et son inverse
3.4.2 Le processus de transition free-free ff
3.4.2.1 Remarque
3.4.3 La diffusion Thomson
3.5 Réorganisation du terme de source
3.6 Simplification de l’équation
3.6.1 Terme d’écoulement
3.6.2 Terme de force
3.7 Le mécanisme de non thermalisation des électrons
4 Les équations de transport des particules lourdes
4.1 Forme générale
4.2 Cas des atmosphères stellaires
4.3 Les taux de transition
4.3.1 Les taux collisionnels
4.3.1.1 Relation avec les taux électroniques
4.3.1.2 Atmosphère en ETL
4.3.2 Les taux radiatifs
5 Méthode de résolution des équations du problème
5.1 Retour sur le modèle. Fermeture des équations
5.1.1 Introduction
5.1.2 L’équation de l’équilibre hydrostatique
5.2 L’équation de transfert
5.2.1 Introduction de la variable de profondeur optique
5.2.2 Solution exacte de l’équation de transfert
5.2.2.1 Moment d’ordre : l’intensité moyenne
5.2.2.2 Moment d’ordre 1 : le flux radiatif
5.2.2.3 Moment d’ordre 2 : la pression de radiation .
5.2.3 Les équations couplées à l’équation de transfert
5.2.3.1 Couplage ET-ECE
5.2.3.2 Couplage ET-ES
5.3 L’équation cinétique des électrons
5.3.1 Méthode de résolution
5.3.2 L’équation de l’équilibre radiatif (ER)
5.3.3 Couplage avec l’équation de transfert
5.4 Les équations de l’équilibre statistique
5.4.1 Couplage avec l’ET
5.4.2 Couplage avec l’ECE
5.5 Résolution de l’équation de transfert couplée aux ES
5.5.1 Calcul de la fonction source S∗
5.5.2 L’équation de transfert dans la raie
5.5.3 Le problème monochromatique associé
5.6 La méthode de résolution du problème global
6 Calculs numériques
6.1 Les modèles présentés
6.1.1 Détermination des paramètres
6.1.2 Vérification de la condition de plasma cinétique classique
6.1.3 Vérification des autres conditions
6.2 Discrétisation des variables
6.2.1 Les fréquences
6.2.2 Les vitesses
6.2.3 Les profondeurs géométriques
6.2.4 Les profondeurs optiques
6.3 Les résultats
6.3.1 Modèles ETL
6.3.2 Modèles NETL
6.3.3 Modèles NECM
6.3.4 Validité de la forme de l’ECE
6.4 Conclusion
7 Applications astrophysiques et conclusion
7.1 Extensions possibles de ce travail
7.1.1 Confirmation des résultats obtenus
7.1.2 Transfert de rayonnement avec un modèle réaliste de diffusion
7.1.3 Amélioration des équations cinétiques du problème
7.1.4 Amélioration de l’équation cinétique des électrons
7.1.4.1 Equation ´ stationnaire .
7.1.4.2 Le terme d’écoulement et le champ de force extérieur des électrons
7.1.4.3 Le modèle BGK pour le terme de collisions élastiques des électrons
7.1.4.4 Effets d’anisotropie de la fdv électronique
7.1.5 Amélioration des équations de l’équilibre statistique
7.1.5.1 Milieu à deux températures
7.1.5.2 Effets d’écoulement des atomes
7.1.5.3 Prise en compte des collisions inélastiques entre atomes
7.2 Survol de quelques retombées astrophysiques
7.2.1 La modélisation des milieux dilués non transparents tels que les atmosphères
stellaires ou les nuages interstellaires
7.2.2 Le calcul de la température et/ou de la densité électronique par des techniques spectroscopiques ou des mesures in situ (sondes spatiales dans le cas du soleil)
7.2.3 L’obtention de conditions aux limites pour l’étude de la région de transition et de la couronne solaire
7.3 Conclusion
A Description des interactions
A.1 Processus radiatif bound-bound (bb)
A.1.1 Calcul des coefficients d’Einstein
A.1.2 Calcul des profils moyens d’absorption et d’émission
A.2 Processus radiatif bound-free et free-bound (bf-fb)
A.2.1 Transitions bf : section efficace de photoionisation
A.2.1.1 Expression de la section efficace intégrée de photoionisation de l’atome d’hydrogène
A.2.2 Transition fb : section efficace de recombinaison radiative
A.3 Processus radiatif free-free (ff )
A.3.1 Section efficace d’absorption ff
A.3.1.1 Expression de la section efficace d’absorption ff pour un potentiel purement coulombien
A.3.2 Section efficace d’émission ff
A.4 Processus radiatif de diffusion
A.4.1 Généralités
A.4.2 Section efficace intégrée de diffusion Thomson des photons
A.4.3 Section efficace de diffusion Rayleigh sur les atomes d’hydrogène
A.5 Collisions élastiques
A.5.1 Généralités. Section efficace différentielle
A.5.2 Section efficace intégrée
A.5.3 Collisions élastiques des électrons avec des particules chargées
A.5.4 Cas des collisions élastiques des électrons avec les atomes
A.5.4.1 La section efficace différentielle de collision (sed)
A.5.4.2 La section efficace intégrée (sei)
A.5.4.2.1 Formulaire
A.5.4.2.2 Données
A.5.4.2.3 Théorie classique
A.5.4.2.4 Théorie quantique
A.5.4.2.5 Ajustement des donnée
A.6 Collisions inélastiques d’excitation et son inverse
A.6.1 Section efficace différentielle
A.6.2 Section efficace intégrée .
A.7 Collisions inélastiques d’ionisation et son inverse .
A.7.1 Généralités
A.7.2 Expression de la section efficace intégrée sur les directions émergentes
A.7.3 Calcul de la section efficace intégrée sur les vitesses émergentes
A.7.4 Section efficace de recombinaison à trois corps
B Le modèle BGK pour les collisions élastiques
B.1 Introduction
B.2 Les différentes approches
B.2.1 L’approche mathématique
B.2.1.1 L’approche du spectre de l’opérateur de collision
B.2.1.2 La méthode de l’équivalence des moments
B.2.1.3 Les autres méthodes
B.2.2 L’approche phénoménologique
B.2.3 Conclusion
B.3 Etude ´ sur la validité du modèle BGK
B.3.1 Conservation des invariants collisionnels
B.3.2 Problème stationnaire
B.3.3 Conclusion
B.4 Choix des fréquences de collision
B.4.1 Les collisions des électrons avec les atomes
B.4.2 Les collisions entre particules chargées
B.4.2.1 L’approche numérique
B.4.2.2 L’approche intuitive
B.4.2.3 L’approche mathématique
B.4.2.4 Choix de la fréquence
B.4.3 Conclusion
B.5 Conclusion
C Notes
C.1 Grandeurs liées aux atmosphères ETL (équilibre thermodynamique local)
C.2 Définition et grandeurs d’un plasma cinétique classique
C.2.1 les collisions élastiques électrons – particules chargées
C.2.2 Les différents types de plasmas
C.3 Les fonctions auxiliaires du transfert
C.3.1 Moments doubles de la fonction de Green
C.3.2 Les trois premiers moments de l’intensité spécifique
C.3.3 Notations
C.3.4 Définition des coefficients αn et βn pour n ≥
C.3.5 Définition des fonctions Φn pour n ≥
C.3.6 Définition des fonctions γn pour n ≥
C.3.6.1 Deux propriétés des fonctions γn utiles aux calculs numériques
C.3.6.2 Expression des fonctions γn sur les plans frontière
C.3.7 Définition des fonctions Rn pour n ≥
Table des figures
Liste des tableaux
Références
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