L’enseignement de l’arithmétique en France au collège et à la transition collège / lycée

Travaux sur la division euclidienne

Nous avons retenu deux articles relatifs à la division euclidienne : Campbell (2002), Zazkis (1998). Les deux articles s’interrogent sur la compréhension de la division euclidienne chez les enseignants en formation de l’école élémentaire. Les concepts, les procédures et le langage de la division euclidienne sont la préoccupation de Campbell, tandis que Zazkis s’est intéressée plus particulièrement à l’ambigüité lexicale de deux termes « diviseur » et « quotient ». Dans ce qui suit, nous allons les présenter brièvement.

Campbell (2002)

La problématique de Campbell, dans son article intitulé « Coming to Terms with Division: Preservice Teacher’s Understanding »; concerne l’identification des phénomènes linguistiques, conceptuels, et procéduraux associés à la compréhension par les enseignants en formations du concept de la division euclidienne. Pour lui, la division est une notion à multiples facettes, elle est soumise à plusieurs interprétations étroitement liées en mathématiques. La division peut être vue comme un partitionnement d’une quantité concrète en nombre entier de parties, mais il y a des conditions formelles sur la division relatives aux domaines sur lesquelles il est défini. L’auteur s’intéresse à la question suivante : les enseignants en formation comprennent-ils les différences conceptuelles et procédurales entre la division des entiers et la division des rationnels ? Pour étudier cette question, il a réalisé des entretiens avec 21 enseignants volontaires parmi un groupe d’étudiants inscrits dans un cours professionnel : « Fondements des mathématiques pour les enseignants ». Le cours comportait des sujets de base de la théorie élémentaire des nombres tel que la divisibilité, la décomposition en facteurs premiers ; la division euclidienne n’était pas explicitement traitée dans le cours. Il a proposé aux enseignants des problèmes en demandant d’identifier le quotient et le reste de la division euclidienne dans des situations différentes : – Situation familière : trouver le quotient et le reste de la division de 21 par 2. – Nouvelle situation : avec la décomposition en facteurs premiers : trouver le couple (q, r) correspondant à la division de M par 15 ; M = 33 × 52 × 7 – Situation concernant l’utilisation de la calculatrice : trouver le couple (q, r) correspondant à la division de 10561 par 24, Est ce que la calculatrice vous aide et, si oui, comment ? – Situation faisant un appel au théorème de la division euclidienne (A = 6 ×147 + 1, trouver le couple (q, r) correspondant à la division euclidienne de A par 2, et par 6). – Situation demandant de montrer si la division en général et la division euclidienne plus particulièrement peuvent être considérées comme un inverse de la multiplication. Par ces situations, l’auteur cherche à savoir si les participants peuvent mettre en relation des expressions langagières avec les valeurs associées au quotient et reste ou mobiliser des concepts familiers dans un nouveau contexte. Il souhaite également explorer ce qu’il en est de la compréhension tacite du théorème de la division par les participants, et examiner les différentes manières dont les enseignants peuvent établir la relation entre la division des entiers et la division des rationnels. Nous détaillerons les résultats présentés par les auteurs concernant la relation entre la division euclidienne et la décomposition en facteurs premiers plus loin dans le paragraphe (I.3.2.1) qui est consacré à cette dernière notion Les données recueillies et les analyses des auteurs montrent que les participants ont rencontré des difficultés pour traiter les problèmes proposés, difficultés que nous détaillons ci-dessous. – Concernant les termes de la division, l’auteur a identifié deux difficultés principales Pour certains participants, le reste de la division est la partie décimale du quotient rationnel, tandis que d’autres participants ne prennent pas en compte le fait que le reste doit être inférieur strictement au diviseur, dans le cas où on leur propose l’écriture 21 = 2 × 9 + 3. Ainsi, le fait que le quotient et le reste de la division euclidienne doivent être entiers, et le reste doit être inférieur strictement au diviseur, n’était pas évident pour ces participants. Il montre que les participants ayant donné l’écriture (21 = 2 × 9 + 3) ont pensé à la disposition quotitive1 de la division, alors que les participants ayant utilisé l’approche fractionnaire2 , ont pensé à la disposition partitive de la division. L’auteur explique que, dans cette étude, la compréhension des enseignants en formation du concept de division semble être compromise par les manques concernant les domaines numériques, les expressions symboliques et les définitions. Il fait l’hypothèse que ces difficultés peuvent être provoquées par l’ambigüité contextuelle des termes tels : division, dividende, diviseur, quotient et reste. – Concernant la division euclidienne comme division théorème, l’auteur montre que très peu des participants ont pu identifier le couple (q, r) correspondant à la forme donnée tandis que la relation entre la divisibilité et la division euclidienne était évidente pour les participants. De nombreux participants répondent correctement en utilisant une méthode consistant à calculer explicitement le nombre donné, puis à effectuer la division. Dans la question proposant d’identifier le reste et le quotient de la division de A par 2 et par 6 où A = 6 ×147 + 1, le reste de la division de A par 6 a été identifié par certains participants comme une addition du quotient après avoir calculé (6 ×147)| 6 du reste (càd : le reste=147 + 1). De même, le quotient est identifié par d’autres participants dans la division de A par 2 comme une addition du quotient après avoir calculé (6 ×146) | 2 et du reste (càd : le quotient = 3 ×147 + 1). L’auteur en conclut que ces résultats montrent que la relation entre la technique de la division euclidienne et le théorème de la division euclidienne n’était pas évidente pour la plupart des participants. – Concernant la différence entre la division des entiers et la division des rationnels, cette étude a montré que les enseignants en formation n’ont pas une compréhension adéquate en ce qui concerne cette différence. Il met en évidence que l’usage du terme « quotient » peut induire une confusion du fait qu’il peut avoir des sens formels différents selon que l’on considère ce terme par rapport à la division des entiers ou à la division des rationnels, ceci devant être croisé avec le fait que ce terme a également différents sens conceptuels, selon que l’on considère la division partition ou la division quotition. 1 On parle de division quotitive lorsque le quotient peut être considéré comme un scalaire permettant de répondre à la question « en a combien de fois b ? » ; lorsque le quotient peut être considéré comme la mesure d’une part dans le partage avec ou sans reste de a en b parts. L’approche fractionnaire est associée à la composante fractionnaire (partie décimale) du quotient rationnel, tandis que l’approche intégrale est liée à la composante entière du quotient rationnel. Il justifie les réponses erronées des participants du fait que l’écriture de la division sous la forme « A ÷ D = Q + R » peut être comprise par certains participants comme une équation conduisant à l’écriture suivante : « A = D (Q + R).3 » En conclusion, les difficultés rencontrées par les participants dans cette étude sont synthétisées par les principaux points suivants : – Il n’y a pas une familiarité avec la relation entre les nombres entiers, les nombres rationnels et leurs expressions symboliques. – Il y a une tendance forte pour interpréter les expressions de la division en utilisant un langage informel. – On observe un manque de distinction entre la division des entiers et la division des rationnels. Nous soulignons que Campbell dans cette étude a mis l’accent sur le théorème de la division euclidienne, par le fait que dans le couple (q, r), q et r doivent être des nombres entiers naturels et que le reste doit être inférieur strictement au diviseur, et par la nécessité de mettre en place ce théorème pour conclure après avoir effectué la division euclidienne. Notons cependant que, dans cette étude, il n’a pas mis en évidence l’unicité du couple (q, r). L’ambiguïté des expressions de la division euclidienne, en particulier le terme « quotient », mise en évidence par Campbell, est l’objet d’étude du travail de Zazkis que nous présentons ci–dessous.

Zazkis (1998)

Zazkis, dans son article : « Divisors and Quotients : Acknowledging Polysemy », est amenée à étudier le langage de la division euclidienne. Elle s’intéresse plus spécifiquement à étudier la polysémie4 des deux termes « diviseur » et « quotient » c’est-à-dire les différentes significations associées à ces deux termes. Pour elle, la polysémie de « diviseur » et « quotient » présente une ambigüité lexicale et cette ambiguïté ne relève pas de la différence entre l’usage familier et l’usage mathématique ; elle est interne au contexte mathématique lui-même. Elle explique que le diviseur a deux sens dans le contexte mathématique de la division : I. Premier sens : parmi les termes de la division, c’est le nombre par lequel on divise. 3 En France, cette écriture n’est en général pas utilisée. 4 On parle de polysémie lorsqu’un même mot peut avoir des significations différentes selon les contextes ; la signification d’un terme polysémique est le plus souvent spécifiée par le contexte (mais pas toujours) ; la polysémie peut aussi bien se produire entre l’usage dans un contexte familier et le registre mathématique, que dans le registre mathématique lui-même. Chapitre I – 20 – II. Deuxième sens : il est associé à la définition mathématique formelle de diviseur dans l’ensemble des entiers, formulée en termes de multiplication et division de la manière suivante : (a) En termes de multiplication: « For any two whole numbers a and b, where b is non-zero, b is a divisor (or factor) of a if and only if there exists a whole number c such that b c = a. » (P.27) (a) En termes de division: « b is divisor of a in this sense if and only if the division of a by b results in a whole number, with no remainder. » (p.27) Nous ajoutons que la définition ci-dessus est en fait celle de la relation « être un diviseur de » qui est la relation réciproque de la relation « être divisible par ». De ce fait, l’ambigüité lexicale renvoie également ici à une ambiguïté sur le statut logique des termes. De la même manière, le mot « quotient » a deux sens, selon que l’on considère la division euclidienne ou la division dans un anneau (Q) ou un corps (R) : I. Premier sens : il désigne le résultat de la division. II. Deuxième sens : ce terme concerne la division euclidienne ; il correspond à la partie entière du résultat dans Q ou R (au sens I). Les données de cette étude sont recueillies lors d’une discussion et d’entretiens avec des enseignants de l’école élémentaire en formation. Les résultats obtenus à l’issue de la discussion en classe indiquent que 19 participants interrogés sur le quotient et le reste de la division de 12 par 5 ont donné comme réponse 2 pour le quotient et 2 pour le reste tandis que 37 participants ont donné comme quotient 2.4 ou 12| 5 ; ces réponses sont justifiées à l’aide des références qui étaient disponibles pour les participants, dont les manuels et les dictionnaires. Les participants ayant donné le quotient 2, ont expliqué le quotient en donnant le sens (II) associé à la division euclidienne, tandis que les participants ayant donné la réponse 2.4 et 12| 5 ont expliqué le quotient comme le résultat de la division. Les résultats obtenus lors des entretiens montrent que le sens attribué au terme « quotient » par les participants est différent de celui retenu par l’interviewer. Zazkis explique que le mot « quotient » apparaît souvent dans la classe avec « somme », « différence » et « produit » pour désigner le résultat de chacune des quatre opérations arithmétiques. Contrairement au cas de l’opération de « addition » et « multiplication », la signification de « quotient » est ambiguë lorsqu’il désigne le résultat de la division, car l’ensemble des entiers est clos pour l’addition et la multiplication, alors qu’il n’est pas clos par rapport à la division. La signification de quotient dépend du contexte d’usage de ce terme, soit dans la division des entiers où le résultat est le quotient et reste entiers, soit dans la division des rationnels, dans laquelle le terme quotient désigne le résultat de l’opération. L’auteur Chapitre I – 21 – montre que dans le cas du terme « diviseur », la construction grammaticale permet de distinguer entre les deux interprétations. L’article indéfini « un » avec la préposition « de » dans l’expression : « un diviseur de » oriente vers l’interprétation en termes de relation. Alors que l’article défini « le » avec la préposition « dans », dans l’expression « le diviseur dans », oriente vers l’interprétation « le nombre par lequel on divise ». Ceci permet donc en principe de lever l’ambiguïté. Mais ce n’est pas le cas du terme « quotient ». En effet, la forme grammaticale ne donne aucune indication quand à l’interprétation. Lorsqu’on parle de quotient et de reste, le sens de quotient est évident car il est associé à la division euclidienne, mais quand on parle seulement de quotient, ce terme comporte une ambigüité. Elle explique qu’on utilise l’extension de sens pour certains mots dans un contexte mathématique, par exemple, le sens de la multiplication, qui est vue au début comme une addition répétitive, est étendu des nombres entiers aux nombres décimaux et réels et rationnels. Cette extension de sens peut être vue comme un usage métaphorique du mot « multiplication ». Cette métaphore apparait naturelle lorsqu’on construit nos connaissances mathématiques. Les opérations qui résultent de ce sens étendu sont cohérentes avec le sens originel, par exemple, l’extension de l’addition ne crée pas de confusion : 17 est la somme de 12 et 5 quelque soit l’ensemble de nombres considérés (entiers, rationnels, réels). Mais le cas de la division est différent, l’extension de la division des entiers à la division des rationnels ne conserve pas sa cohérence. On pourrait néanmoins remarquer qu’une difficulté du même ordre se présente déjà lorsqu’on étend l’addition aux nombres relatifs. L’auteur souligne enfin que les éléments qui permettent en principe de déterminer la signification des termes, comme le contexte ou la forme grammaticale, ne sont pas toujours suffisants. Et elle fait l’hypothèse que proposer des activités appropriées didactiquement pourrait permettre de révéler les conflits de signification et de les résoudre. Nous soulignons que Zazkis a montré l’ambigüité d’expressions liées à la division euclidienne, mais qu’elle n’a pas mis en évidence le fait que l’explicitation de la distinction entre relation et propriété pourrait aussi jouer un rôle important pour lever ces ambigüités. Les travaux de Campbell et Zazkis, mettent en évidence les difficultés rencontrées par les enseignants en formation de l’école élémentaire, relatives à la division euclidienne et au vocabulaire associé, et montrent la nécessité d’un travail spécifique sur ces points. I.2. Travaux sur la divisibilité La divisibilité occupe une place privilégiée dans les recherches sur l’enseignement et l’apprentissage des concepts et des méthodes de la théorie élémentaire des nombres. Les travaux que nous présentons ci-dessous sont des travaux consacrés à la divisibilité et la structure multiplicative (Zazkis et Campbell, 1996), (Brown et al, 2002), des travaux relatifs  aux concepts de multiple et de diviseur (Zazkis, 2000), et des travaux associés au langage de la théorie des nombres notamment la divisibilité (Zazkis, 2002). 

Divisibility and multiplicative structure (Zaksis & Campbell, 1996)

Nous présentons d’abord le travail de Zazkis et Campbell (1996) intitulé “Divisibility and Multiplicative Structure of Natural Numbers: Preservice teachers’ understanding”, car leur travail sera un outil dans le travail de Bown et al (2002) sur le concept de divisibilité. Dans ce texte, Zazkis et Campbell rapportent les résultats d’une étude sur la manière dont les enseignants en formation comprennent les concepts de la théorie des nombres, et en particulier le concept de la divisibilité et la structure multiplicative des nombres naturels, et ils visent à analyser et décrire les stratégies cognitives utilisées dans la résolution des problèmes. Pour conduire cette étude, ils se réfèrent à la théorie APOS, dont ils se proposent en outre d’étudier dans quelle mesure elle permet de comprendre comment se construit le concept de divisibilité chez les apprenants. Ils présentent la théorie APOS (action, processus, objet et schéma) qui a été proposée par Dubinsky (1991) pour analyser la construction des connaissances mathématiques de la manière suivante : l’action est une transformation des objets pour obtenir d’autres objets. Lorsque l’action totale peut se dérouler entièrement dans l’esprit d’un individu ou peut être imaginée comme ayant lieu sans que la personne passe nécessairement par toutes les étapes spécifiques, l’action a été intériorisée pour devenir un processus. Les nouveaux processus peuvent aussi être construits en inversant ou coordonnant les processus existants. Quand un processus peut être transformé par une action, alors on dit que le processus a été encapsulé pour devenir un objet. La construction des connexions qui associent les actions, les processus et les schémas à un objet particulier est vue comme la thématisation du schéma associé à cet objet. Chaque objet est ensuite repris comme un noyau d’un schéma. Les données de cette étude ont été recueillies lors d’entretiens conduits avec 21 enseignants en formation de l’école élémentaire. L’analyse des réponses des participants est divisée en trois parties : a) description du développement du concept de divisibilité suivant la théorie d’APOS, (b) étude des relations conceptuelles et procédurales entre la divisibilité et la division, (c) étude des critères de divisibilité. Dans la première partie de l’analyse, Zazkis et Campbell ont examiné les réponses des participants pour deux problèmes, en s’appuyant sur la théorie d’APOS. Nous allons présenter ici un de ces deux problèmes, puis nous indiquerons les étapes par lesquelles les participants sont passés pour construire le concept de divisibilité et qui ont été identifiées par les auteurs: “Consider the number M = 3 3 × 2 5 × 7. Is M divisible by 7? Explain. Chapitre I – 23 – Is M divisible by 5, 2, 9, 63, 11, 15? Explain.” (P.542) Les auteurs ont trouvé que seuls six participants parmi les vingt-et-un ayant participé à l’expérimentation étaient capables de démontrer et de résoudre les problèmes avec une compréhension de la divisibilité comme objet ; les quinze participants restants n’étaient pas capables de donner dans certains cas la réponse sans effectuer la division ; parmi ceux-là huit ont exclusivement effectué la division. Les stratégies cognitives par lesquelles les participants sont passés pour répondre à cette question, sont décrites par Zazkis et Campbell selon les étapes suivantes : – Action : Les participants ont pensé à la divisibilité comme une action, ils ont calculé M et ont effectué ensuite la division par 7 pour décider si M est divisible par 7. -Intériorisation: De l’action au processus : les auteurs expliquent que l’intériorisation est caractérisée par le changement qui permet de passer de l’activité procédurale à la compréhension du processus. La distinction action / processus est utilisée pour distinguer l’activité procédurale de la compréhension du processus. Ils soulignent que les participants ici ont pensé à l’activité de la division comme un processus, dans lequel la division est visée, mais n’est pas réellement effectuée. Le participant a compris que le processus de la division permet de décider si un nombre entier satisfait les critères de divisibilité. Il a pu identifier 7 comme un facteur sans effectuer la division, mais il a écrit M comme produit de deux facteurs M = 6 15 × 7. Les auteurs ont trouvé que les participants ont pensé à la divisibilité en termes de division ou multiplication. – Nouveaux processus : la coordination et l’inversion : Zazkis et Campbell soulignent que les nouveaux processus peuvent être obtenus par la coordination des processus existants ou l’inversion des processus existants. Le processus de la divisibilité par 15 est pris comme une coordination de la divisibilité par 3 et par 5, ainsi un nombre est divisible par 15 s’il est divisible par 5 et par 3. Les participants ont pu décider M est divisible par 63 car M est divisible par 9 = 3² et 7 (63 = 7 × 9). Nous soulignons5 que la divisibilité par le produit (15) qui est vue comme une coordination de deux nombres faisant le produit (5 et 3) n’est correcte que dans le cas où ces deux nombres (5 et 3) sont premiers entre eux. Zazkis et Campbell ont trouvé que, dans cet exemple, plusieurs participants avaient des difficultés pour répondre aux questions qui nécessitent une coordination : ces difficultés apparaissent avec tous les facteurs de M qui ne sont pas explicitement dans la décomposition de M.