SUR LES S-MODULES

Les anneaux

Définition 

Un anneau est un groupe abélien A noté additivement muni d’une opération de multiplication (a, b) 7→ ab et d’un élément 1 tel que pour tous a, b, c dans A, on ait : – associativité : a(bc) = (ab)c ; – commutativité : ab = ba ; – élément neutre : 1a = a ; – distributivité : a(b + c) = ab + ac. Exemples 1.1.1 (Z, +, ×); (Q, +, ×); (R, +, ×); (C, +, ×) sont des anneaux associatifs commutatifs.

Sous-anneaux

Définition

Soient (A, +, ×) un anneau et B une partie de A. B est dit sous-anneau de A si : (i) (B, +) est un sous-groupe de (A, +); (ii) ∀ a, b ∈ B, a.b ∈ B ; (iii) 1A ∈ B. Exemples 1.1.2 (Z, +, .) est un sous anneau de (Q, +, .). Soit (A, +, .) un anneau. Z(A) = {a ∈ A : a.c = c.a ∀ c ∈ A} est un sous-anneau de A. Définition 1.1.3 Soient A et B deux anneaux. On appelle morphisme d’anneaux de A dans B toute application f : A −→ B vérifiant les axiomes suivants : (1) f est un morphisme de groupe : pour tout x, y ∈ A f(x + y) = f(x) + f(y). (2) f est compatible avec la multiplication : pour tout x, y ∈ A f(x × y) = f(x) × f(y). (3) f est un morphisme unitaire : f(1A) = 1B. Mémoire de Thèse Unique. 7 Sur les S-Modules. 

Les idéaux

 Définition 1.1.4 Soient (A, +, .) un anneau et I une partie de A. On dit que I est un idéal `a gauche (respectivement `a droite ) de A si : – (I, +) est un sous-groupe de (A, +). – ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ I on a a.x ∈ I (respectivement a` droite x.a ∈ I). – I est dit idéal bilatère s’il est `a la fois idéal `a gauche et `a droite de A. l Remarque 1.1.1 Tout idéal d’un anneau commutatif est bilatère. Définition 1.1.5 Soient A un anneau commutative, unitaire et I, I1, I2 et J des idéaux de A. (1) On dit que I est principal lorsqu’il est engendré par un seul élément a ∈ A. (2) On dit que A est principal lorsque tout idéal de A est principal. (3) Un idéal I1 ⊂ A est dit premier lorsque ∀ x, y ∈ A xy ∈ I1 ⇒ x ∈ I1 ou y ∈ I1. (4) On dit que I est un idéal maximal s’il n’existe pas d’idéal J distinct de A tel que J ⊃ I ; (5) On appelle radical de Jacobson de A l’intersection de tous les idéaux maximaux. On le note J(A). Mémoire de Thèse Unique. 8 Sur les S-Modules. 

 Modules Définition

Soient A un anneau unitaire et M un groupe additif. 1. Une opération externe `a gauche de A sur M est une application notée : (a, m) 7→ am du produit carte´sien A × M dans M. 2. On dit que M est un module `a gauche sur A (ou A-module `a gauche) lorsqu’il existe une opération externe `a gauche de A sur M vérifiant pour tout m, m′ ∈ M et pour tout a, b ∈ A les axiomes suivants : (a) a(m + m′ ) = am + am′ ; (b) (a + b)m = am + bm ; (c) 1Am = m ; (d) (ab)m = a(bm). Exemples 1.2.1 1. Un anneau A est un module sur lui-mˆeme, une algèbre sur A est aussi un module ; 2. Un groupe abélien est un module sur l’anneau des entiers Z. Remarque 1.2.1 Un module sur un corps est un espace vectoriel. Définition 1.2.2 Soient M et N deux A-modules `a gauche. On appelle application A-linéaire ou morphisme de A-modules toute application f : M −→ N compatible avec les opérations de A, autrement dit tel que, pour tout m, m′ ∈ M et pour tout a ∈ A, on ait : f(m + m ′ ) = f(m) + f(m ′ ) et f(am) = af(m). On note HomA(M, N) l’ensemble des applications A-linéaire de M dans N. 1.2.1 Sous-Module Définition 1.2.3 Soit M un A-module `a gauche, et soit N ⊂ M. On dit que N est un sous-module `a gauche de M lorsque N est un sous-groupe de M tel que pour tout a ∈ A et pour tout n ∈ N an ∈ N. Définition 1.2.4 Soient M et N deux A-modules. (1) On appelle endomorphisme de M toute application Alinéaire de M dans M. On note donc EndA(M) = HomA(M, M) l’ensemble des endomorphismes de M. (2) On appelle isomorphisme de M dans N tout morphisme bijectif de M dans N . (3) On appelle automorphisme de M tout isomorphisme de M dans M. 

Quotient de modules 

Relation d’équivalence Soient A un anneau et M un A-module. On s’intéresse aux relations d’équivalence sur M qui sont compatibles avec la structure de module, c’est `a dire pour tous m, m′ , n, n′ dans M et a, b dans A, si m ∼ m′ et n ∼ n ′ alors am + bm ∼ am′ + bn′ Soit N l’ensemble des m ∈ M tels que m ∼ 0. Comme une relation d’équivalence est reflexive, 0 ∈ N. Si m appartiennt `a N, on a m ∼ 0, et donc pour tout a dans A am ∼ a0 = 0 c’est `a dire am ∈ N. Si m et n sont deux éléments de M tels que m ∼ n, on a m + (−n) ∼ n + (−n), d’o`u m − n ∈ N. Cela prouve que N est un sous-module de M. Réciproquement, soit N un sous-module de M et soit ∼ une relation d’équivalence sur M définie m ∼ n si et seulement si m − n ∈ N. Notons M/N l’ensemble des classes d’équivalence et π : M → M/N l’application canonique. Les calculs qui précédent montrent le théorème suivant. Théorème 1.2.2 ([3], p.96, Théorème 6.4.3) Soient A un anneau, M un A-module et N un sous-module de M. La relation ∼ sur M définie par m ∼ n si et seulement si m − n ∈ N est une relation d’équivalence sur M compatible avec la structure de module. L’ensemble quotient M/N posséde une structure de A-module telle que π : M → M/N est un homomorphisme de A-module. Mémoire de Thèse Unique. 11 Sur les S-Modules. 

Trace d’un module 

Définition 1.2.5 Soit U une classe non vide de A-module. Un A-module `a gauche N est dit finiment généré par U ou finiment U-généré, s’il existe un épimorphisme ϕ : ⊕i≤kUi → N avec U1, …, Uk ∈ U. Notations Gen(U) est l’ensemble des classes de A-module généré par U, gen(U) l’ensemble des classes de A-module finiment généré par U. Pour un A-module M, le sous-module : T r(U, M) = P{ Imh | h ∈ Hom(U, M), U ∈ U } ⊂ M est appelé Trace de U dans M. Si U est composé d’un seul module U on écrit simplement T r({U} ,M) et Gen({U}). Propriétés 1.2.1 ([28], p.107, Properties 13.5) Soient U une classe de A-module et M un A-module. (1) Tr(U, M) est le plus grand sous-module de M généré par U. (2) M = Tr(U, M) si et seulement si M est U-généré. (3) Tr(U, M) est un EndA(M)-sous-module de M (puisque pour U ∈ U, Hom(U, M) est un EndA(M)-module `a droite ). (4) Si U contient juste un module U, alors Tr(U, M) =  P 1≤i≤k uiϕi | ui ∈ U, ϕi ∈ Hom(U, L), k ∈ N   .