Depuis plusieurs décennies, les industriels ont fait de la sécurité de leurs systèmes un axe de priorité majeur de recherche. Dans les secteurs du nucléaire et de l’aéronautique, par exemple, il est important de connaître l’état d’usure d’une pièce (tube de générateur de vapeur ou aile d’avion par exemple) sans l’endommager. C’est donc dans un contexte industriel exigeant quant aux normes de sécurité des systèmes de fonctionnement critique que le contrôle non destructif (CND) trouve son utilité. Le CND a pour objectif d’inspecter l’état d’une pièce (ou d’un matériau) sans porter atteinte à son intégrité. En vue de s’adapter au mieux à la variété de contrôle rencontré (géométrie, nature du matériau …), diverses techniques ont été mises au point. Parmi elles, le CND par courants de Foucault (CF), pour l’inspection de pièces conductrices, présente une simplicité et un coût réduit de mise en œuvre. En effet, cette technique nécessite seulement l’utilisation d’une sonde (bobine), parcourue par un courant électrique alternatif, placée au voisinage de la pièce à inspecter. Le courant électrique génère un champ magnétique qui créé des courants électriques dans la pièce (appelés courants de Foucault). Ces courants développent, à leur tour, un champ magnétique qui modifie le champ magnétique total. Ce dernier est ainsi dépendant des caractéristiques de la pièce contrôlée. Pour contrôler de manière précise et efficace une pièce, la sonde doit être bien adaptée au problème considéré. C’est pourquoi, en CND par CF, la conception de sondes est un élément déterminant dans la mise en place d’une procédure de contrôle. Néanmoins, la réalisation pratique d’une sonde reste coûteuse. La simulation du CND par CF a pour objectif de réduire ces coûts en étudiant et prédisant les phénomènes électromagnétiques intervenant dans ce processus. La modélisation du CND par CF a pour but d’étudier l’intéraction sonde-pièce intervenant lors du contrôle. Il s’agit en particulier de savoir reproduire, avec précision, le comportement des phénomènes électromagnétiques présents lors du contrôle. Différentes familles de méthodes de résolution ont été étudiées et sont employées à l’heure actuelle en modélisation du CND par CF [44, 83, 74, 78, 101]. Basées sur des considérations théoriques de natures différentes, elles ont naturellement des avantages et des inconvénients qui leur sont propres [108]. Parmi elles, la méthode des éléments finis (MEF) est basée sur une formulation variationnelle du problème. Elle s’appuie sur des maillages non structurés et est donc capable de s’adapter à des géométries complexes. Le contrôle d’une pièce implique souvent de déplacer la sonde le long de celle-ci. Chaque position de la sonde dans le domaine implique une modification de la géométrie du problème examiné. Un remaillage du domaine global d’étude est, de ce fait, nécessaire. Il est, donc, à considérer autant de remaillage que de positions de la sonde. A l’heure où l’accent est mis sur les performances machine, et notamment sur la rapidité des simulations, le remaillage systématique de l’ensemble d’un domaine d’étude apparaît comme très pénalisant.

Partant de ce constat, l’idée est née de décomposer le domaine d’étude en sous-domaines dans le but de rendre des groupes de géométrie indépendants entre eux lors de la résolution. Plus précisement, il s’agit de mettre en place une méthode de décomposition de domaine qui va effectuer un échange d’information réciproque, précis et stable entre les sous-domaines. Bien entendu, l’avantage d’une telle décomposition réside également en la possibilité d’adapter le pas de discrétisation local à chaque sous-domaine en fonction de la géométrie qu’il contient. La motivation essentielle de cette approche réside dans le gain en temps de calcul qui doit en découler pour atteindre une précision donnée sur un domaine donné.

La littérature recèle un certain nombre de travaux concernant l’étude et la mise en œuvre de techniques de décomposition de domaine en modélisation électromagnétique [5, 46, 94, 97, 104]. La méthode des éléments finis avec joints [16, 17] est une technique de décomposition de domaine non-conforme (i.e. dont les maillages des sous-domaines sont non-conformes entre eux), stable et optimale. Notamment, c’est une technique bien établie pour le recollement de maillages. Néanmoins, elle implique de réaliser les transferts d’information via une interface d’échange qui n’est pas modifiée avec le mouvement de tel ou tel domaine. La définition de cette interface n’étant pas toujours envisageable, l’idée d’une extension de cette méthode à des domaines avec recouvrement a, récemment, été introduite [53, 91]. Ces travaux présentent une technique de décomposition de domaine interessante dans le sens où un sous-domaine peut se déplacer aléatoirement dans un domaine global et ce par le biais d’une interface qui reste inchangée. Cependant, elle ne considère pas d’échange réciproque d’information entre domaines. C’est précisement avec l’objectif de mettre en place un échange réciproque d’information entre domaines, où l’interface d’échange n’est pas systématiquement invariante, que les travaux de ce mémoire trouvent leur motivation.

Approximation numérique en espace – méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis (MEF) est une méthode d’approximation basée sur une formulation variationnelle du problème considéré. La discrétisation du domaine d’étude en mailles tend à choisir un espace d’approximation comme étant un espace de fonctions polynomiales par morceaux. Cet espace est alors de dimension finie. La littérature, quant à l’étude théorique de la méthode des élements finis, se trouve être très variée [6, 8, 34]. Dans celle-ci on peut citer les ouvrages de Dhatt et Touzot [43] ou encore de Brenner [28] traitant à la fois de la théorie et de la mise en œuvre de cette méthode.

Le concept de formulation variationnelle a été introduit par Courant [39]. Par la suite, la MEF a été développée théoriquement par de nombreux travaux, citons notamment ceux de Strang et Fixe [36, 100]. La notion même d’élements finis apparaît en 1960 avec Clough [37]. Cette contribution pose les principaux jalons de la méthode numérique. C’est en mécanique des structures que l’on trouve les premières applications de la MEF [105]. La méthode a ensuite été largement diffusée dans la communauté industrielle grâce notamment à la contribution de Zienkiewicz [109]. Désormais, la méthode des élements finis fait office de méthode numérique de référence tant dans le domaine théorique que dans le domaine industriel.

Les élements finis sont également couramment utilisés pour la modélisation de phénomènes électromagnétiques [80, 98] Dans le cas de modélisations en domaine temporel, la MEF peut être associée à des schémas en temps [60].