Méthode orientée basse-fréquence le modèle sphéroïdal

Ce chapitre présente un modèle habituellement utilisé en acoustique sous-marine où l’on considère une enceinte prenant la forme d’une ellipse de révolution. En définissant la source comme une portion vibrante de ce sphéroïde, il est possible de résoudre l’équation de Helmholtz par séparation des variables. De cette manière, le calcul prend une forme analytique. Le calcul des fonctions propres reste difficile. L’enceinte considérée ici est une barre de son qui, par son coté allongé, prend pleinement avantage des coordonnées sphéroïdales par rapport aux coordonnées sphériques. Une méthode pour modéliser un piston circulaire plutôt qu’un classique piston carré est présentée. Plusieurs méthodes pour choisir le sphéroïde en fonction de la forme de l’enceinte sont également présentées et comparées. Enfin, un critère pour choisir l’ordre de troncature des fonctions d’onde sphéroïdale est établi et vérifié en pratique. Les résultats montrent que le modèle fonctionne aux basses et moyennes fréquences. L’étude suggère également que le rayonnement d’un sphéroïde est plus régulier que celui d’une forme rectangulaire, ce qui laisse penser que ce type d’enceinte serait plus adapté à la recherche d’une restitution neutre.L’idée de ce chapitre est de proposer un modèle analytique pour décrire le rayonnement d’une barre de son. La forme de l’enceinte réelle va être approximée par une forme pour laquelle on sait résoudre analytiquement le problème de Helmholtz. Un tel travail a été effectué par Aarts avec une enceinte rectangulaire de dimensions standards modélisée par une sphère rigide [2, 1]. L’équation de Helmholtz est en effet séparable dans les coordonnées sphériques. Les résultats obtenus sont meilleurs que ceux issus du traditionnel modèle du piston plan. Notons qu’il est aussi possible d’obtenir le développement du rayonnement sur les harmoniques sphériques par d’autres méthodes. Par exemple, par la mesure en s’affran- chissant de l’influence de la salle [154], ou bien par projection et minimisation de la vitesse surfacique sur une sphère virtuelle englobant l’enceinte [20]. On profite alors des propriétés de ces harmoniques, par exemple en terme d’interprétation des modes rayonnants [153]. Ces développements sont d’autant plus pertinents que les modes acoustiques d’une sphère ressemblent à ceux d’un boîte rectangulaire [37], en particulier en terme de facteur de rayonnement. Il existe d’ailleurs d’autres interprétations de ces modes. Ils sont en effet reliés aux ondes rampantes via une transformation de Watson [142, 141] et l’application de ces transformations au cas sphérique existe déjà [114, 115]. Au delà de l’interprétation, on peut aussi contrôler le rayonnement de telles enceintes si elles comportent plusieurs haut-parleurs. Pour des enceintes sphériques réelles, ce contrôle peut se faire sur la base des harmoniques sphériques [107], ou sur les modes de rayonnement [99]. De nombreuses études ont été faites sur cette approche (voir aussi [165]), bien que le caractère sphérique peut amener certains problèmes de résonance ou d’aliasing [97, 108]. Il est aussi possible de se servir de telles enceintes pour contrôler un champ sonore déjà existant [9].

Cependant, l’approche en coordonnées sphériques n’est pas adaptée au cas d’une en- ceinte allongée. De fait, la géométrie sphérique a du mal à rendre compte de l’asymétrie de la barre de son ; et le développement du rayonnement sur les harmoniques sphériques souffre du même problème. Un autre modèle envisageable, très étudié dans la littérature, serait celui du piston sur un cylindre. Les premières expressions sur cylindre infini sont données par Laird [71] et Greenspoon [47]. Il existe aussi des expressions pour section non- circulaire [17], ou pour des réseaux de pistons [92]. Mais puisque le cylindre est infini, l’application du contrôle de la directivité ne peut se faire que dans un plan perpendiculaire à l’axe du cylindre. Dans ce dernier cas, l’application est alors un succès, en se servant notamment du caractère analytique de la directivité [112, 68, 105]. Il existe bien des ex- pressions pour des cylindres finis, obtenues avec différentes méthodes de dérivations [23, 111, 157], mais aucune n’est capable de prédire le rayonnement dans l’axe du cylindre.Dans ce chapitre, on propose donc un modèle basé sur les coordonnées sphéroïdales, dans lesquelles l’équation de Helmholtz est séparable. L’enceinte est alors modélisée par une ellipse de révolution. La séparation de l’équation de Helmholtz dans ces coordonnées fait apparaître les fonctions d’ondes sphéroïdales, qui sont beaucoup plus complexes à calculer que leurs homologues sphériques.

Les premières résolutions de l’équation avec ces coordonnées sont faites par Lamé en 1837, puis s’ensuivent de nombreuses études qui aboutissent aux deux ouvrages de référence par Flammer et Meixner [42, 84], auxquelles on ajoutera les développements asymptotiques de Slepian [125]. Notons que ces fonctions peuvent être utilisées comme base d’une série entière [91] ou d’une quadrature [160] et possèdent une propriété de double orthogonalité [110]. La liste des propriétés utiles pour l’acoustique est, entre autres, donnée par [60]. Il existe plusieurs approches pour calculer ces fonctions [3, 62, 152], en particulier la méthode de Van Buren [146, 148] qui donne en plus un programme Fortran permettant de calculer ces fonctions rapidement pour un large panel de valeurs. Cette méthode – que nous utiliserons dans ce chapitre – a ouvert la porte à de nombreuses applications. Ces avancées s’accompagnent d’un regain d’intérêt pour ces coordonnées, jusqu’au domaine de la géologie [78].