Méthodologies existantes pour effectuer une analyse de stabilité

Les termes BIBO stable et BIBS stable sont employés pour déterminer si un système seul ou incluant ses sous-systèmes, dans le cas de la stabilité BIBS, sont stables. Cependant, pour identifier clairement si un système est stable ou non, il est plus convenable d’effectuer une étude beaucoup plus robuste soit l’analyse de stabilité. Dans la littérature, diverses méthodes peuvent être trouvées pour effectuer l’analyse de stabilité.

Méthode graphique par simulation

Il existe diverses méthodes théoriques qui permettent de conclure sur la stabilité d’un circuit, mais il existe également des méthodes plus visuelles pour conclure sur la stabilité d’un point d’opération ou d’une conception d’un circuit. En effet, des logiciels spécialisés permettent de simuler des circuits électriques et des systèmes mécaniques afin de tracer la réponse de la sortie du circuit ou du système. Les courbes obtenues permettent donc de voir l’évolution de la sortie du système et d’identifier si, visuellement, la sortie demeure stable ou instable suite à l’application d’une entrée. Un système dont la sortie se stabilise à une valeur fixe est stable. Par contre, si la sortie augmente indéfiniment, alors le système est instable. Les courbes permettent aussi de calculer les performances du système soit : la précision, la rapidité et l’amortissement. Cette méthode d’analyse par simulation a d’ailleurs été appliquée à des systèmes de propulsion électrique. En effet, Voncilă, Voncilă et Fetecău (2010), et Nord (2006) effectuent leur analyse de stabilité pour un système de propulsion électrique intégré en analysant divers graphiques qui représentent la réponse du système suite à une perturbation ou à la simulation d’un scénario.

La méthode graphique par simulation se distingue des méthodes théoriques puisque très peu de calculs mathématiques sont nécessaires pour arriver à une conclusion sur la stabilité. Par contre, comme cette analyse se concentre essentiellement sur la forme des réponses et non sur les pôles et les zéros du système, cette méthode est alors moins précise que les autres. Aussi, cette méthode n’est pas axée sur la conception, c’est-à-dire que l’analyse de stabilité est effectuée sur un circuit déjà conçu et ne permet pas de concevoir un système stable. De plus, avec cette méthode, il faut simuler le plus de scénarios possibles afin de garantir la stabilité pour le plus de cas possibles, ce qui implique que cette méthode est longue à appliquer. Ce type d’analyse n’est donc pas idéal pour le cas de la présente recherche à cause du manque de précision et du grand nombre de simulations à effectuer.

Méthode par le critère généralisé de Nyquist

L’analyse de stabilité par le critère généralisé de Nyquist est une méthode classique et efficace pour déterminer si un circuit est stable ou non. Ce critère permet d’étudier la stabilité d’un système en boucle fermée en analysant la réponse harmonique du système en boucle ouverte et les emplacements des pôles en boucle ouverte. Pour obtenir la réponse harmonique du système, il est nécessaire de tracer le diagramme de Nyquist. Comme il s’agit d’une analyse en boucle fermée, le système doit avoir la forme d’un système G(s) avec une boucle de rétroaction H(s).

Méthode par stabilité de Lyapunov 

L’application de la stabilité de Lyapunov est une méthode qui se distingue des autres, car elle fait appel à la notion d’énergie totale du système et se base sur le modèle exact du système. De plus, la stabilité de Lyapunov peut s’appliquer à des systèmes non linéaires ce qui fait de cette méthode une des plus polyvalentes. Le concept de la stabilité de Lyapunov consiste à trouver une fonction définie positive V(x) représentant généralement l’énergie totale du système. Il s’agit ensuite de démontrer que cette fonction est décroissante dans le temps, c’est-à-dire que la dérivée de V (V) par rapport au temps est une fonction définie négative. Si ܸV est négative alors l’énergie totale du système est dissipée et le système est considéré stable.

La stabilité de Lyapunov a été appliquée dans l’article de Tashakori et Ektesabi (2012) pour étudier la stabilité d’un onduleur et d’un moteur sans balais à courant continu. Comme l’onduleur est contrôlé par une modulation PWM (Pulse Width Modulation), il est donc plus avantageux d’étudier le circuit par la stabilité de Lyapunov. L’avantage d’utiliser la stabilité de Lyapunov est qu’en regardant comment la fonction V(x) varie dans le temps, il est possible de conclure sur la stabilité du système sans avoir à résoudre des équations différentielles non linéaires. Cependant, cette méthode requiert également les fonctions de transfert, ce qui peut causer des difficultés comme mentionné précédemment dans la méthode basée sur le critère généralisé de Nyquist. Aussi, la fonction V(x) doit être bien définie, sinon il faut refaire l’analyse de Lyapunov jusqu’à temps de trouver la bonne fonction V(x). Malgré que cette méthode soit robuste pour des systèmes contenant des non-linéarités, la nécessité de connaître le modèle rend cette méthode difficile à appliquer au système à l’étude vu la complexité du circuit. Il est donc préférable de trouver une méthode alternative pour analyser la stabilité du système PÉI.

Méthode par critères de stabilité petit gain 

Jusqu’à présent, les méthodes présentées sont soit imprécises ou soit complexes à appliquer car la connaissance des fonctions de transfert est nécessaire. Rappelons que pour le cas de la présente recherche une méthode simple et précise est recherchée afin de pouvoir analyser le système PÉI du dirigeable LTAA-10 qui est un circuit complexe. Dans la littérature, Belkhayat (1997) propose d’étudier des circuits contenant des charges à puissance constante (Constant Power Load en anglais d’où l’acronyme CPL) à l’aide du théorème du petit gain. Les circuits CPL sont particuliers, car le fait de maintenir une puissance constante fait apparaître un phénomène d’impédance négative dans le circuit. Cette impédance négative peut causer des instabilités lorsque combinée avec certaines composantes.

En conclusion, dans ce chapitre les principes de la stabilité et la présentation des circuits PÉI ont été présentés pour bien comprendre l’idée générale de la recherche. De plus, une revue de la littérature de différentes analyses de stabilité a été effectuée pour avoir une vue d’ensemble des méthodes qui sont appliquées pour analyser des types de circuit semblables aux circuits PÉI. La majorité des méthodes analysées nécessitent les fonctions de transfert pour conclure sur la stabilité du circuit. Par contre, selon la complexité du circuit, l’obtention des fonctions de transfert peut s’avérer très difficile, donc des erreurs peuvent se faufiler et l’analyse de stabilité sera erronée. La méthode d’analyse de stabilité par critères de stabilité petit gain se démarque des autres par le fait qu’elle ne requiert pas les fonctions de transfert, mais plutôt les matrices d’impédances dans le repère dq. Pour faciliter la tâche, un algorithme d’extraction d’impédance, comme le fait Amouri (2014), peut être combiné avec l’analyse de stabilité par critères de stabilité petit gain afin d’obtenir les impédances nécessaires même si le circuit est complexe. De plus, cette analyse peut être utilisée au niveau de la conception, ce qui permet facilement d’essayer différents prototypes de circuit et valider qu’ils sont stables. Grâce à ses avantages, l’analyse de stabilité par critères de stabilité petit gain combinée avec l’algorithme d’extraction d’impédances proposé par Francis (2010) est donc appliquée dans cette recherche afin d’étudier plus en détail la stabilité du circuit PÉI du dirigeable LTAA-10.