Utilités progressives Dualité

Comme dans le chapitre 3, dans ce chapitre nous nous intéressons au processus dual convexe d’une utilité progressive de la forme (5.19). Pour sim- plifier, nous nous placerons dans le cadre du marché martingale décrit dans le paragraphe 6.4, mais nous donnons en plus les équivalents des principaux ré- sultats dans le marché initial. Notre approche sera similaire à celle du chapitre précédent dans le sens où nous portons notre intérêt essentiellement à établir explicitement la dynamique du processus dual en fonction de celle de l’utilité. Dans une première section, nous établissons les conditions nécessaires d’opti- malité puis la dynamique de la transformée de Fenchel d’une utilité progressive. Nous montrons que cette dynamique est très similaire à celle de l’utilité progres- sive (6.40). Encore une fois la volatilité Γ joue un rôle très important dans la dynamique duale et fixe la mesure martingale locale optimale. Nous montrons, aussi, l’équivalent du théorème 3.6 établi dans [60] : c-à-d. que le dual convexe est, à son tour, solution d’un problème d’optimisation dual.Vues les grandes similitudes entre les utilités progressives et leur dual convexe, ainsi que la forte analogie entre les EDP stochastiques respectives, la technique de dualité ne nous permet pas de résoudre ces problèmes d’optimisation progres- sif. Par contre les techniques de changement de numéraire et de dualité nous permettent de mieux aborder les utilités progressives décroissantes dans le temps (paragraphe 7.7), étudiées par Zariphopoulou et al. [88] et M. Tehranchi et al. [36]. Nous donnons le principal théorème de ces auteurs et par changement de numéraire, nous donnons une interprétation assez importante de leurs résultats.

Dans ce chapitre, comme dans le cadre classique d’optimisation de porte- feuille (voir le chapitre 3), nous nous intéressons à la transformée de Fenchel ˜ u et de déterminer une caractérisation des processus d’utilités progressives ainsi que des richesses opti- males qu’elles génèrent à travers le dual. Pour ce, et afin de pouvoir utiliser les résultats du paragraphe 6.4, nous supposons, tout au long de ce chapitre ainsi que le chapitre suivant, qu’au moins l’une des deux hypothèses suivantes est satisfaite :b , alors nous montrons, d’après les théorèmes A.13 et A.16, que l’équation différentielle stochastique (7.2) admet une unique solution, cette solution admettant une modification continue. Par contre, l’une où l’autre de ces deux méthodes nécessite de déterminer la dynamique de I = (u′)−1 avant de pouvoir poursuivre nos investigations.Par conséquent, afin de prouver le résultat principal de ce chapitre, nous allons procéder comme suit ; dans un premier temps nous établirons les hypothèses nécessaires pour déduire la dynamique de la dérivée u′ à partir de celle de u. Puis, en partant du fait que du′(t, I(t, y)) = 0, nous déduisons celle de I.

Pour déduire la dynamique de u′, la méthode la plus naturelle est de dériver formellement, terme à terme, celle de u. Mais, de manière générale, ceci n’est pas possible, bien que les paramètres de diffusion de la dynamique de u sont dérivables. En effet, une hypothèse supplémentaire est nécessaire, voir H. Kunita [74]. Cette hypothèse est la suivante : En d’autres termes, l’hypothèse 5.2 est insuffisante. Il faut supposer de plus que les paramètres de diffusion de u sont δ-Hölderiennes, pour un certain réel δ > 0. Alors, dans ce cadre, et d’après le théorème A.12 (ii), nous avons le résultat suivant : Remarquons, d’après la deuxième partie de cette proposition, que u′ ne satis- fait pas l’hypothèse 5.2, nécessaire pour appliquer le lemme d’Itô-Ventzel. Or, comme nous l’avons expliqué ci-dessus, nous avons besoin de composer u′ au moins avec son inverse pour pouvoir établir la dynamique de ˜Avant d’énoncer le résultat principal (théorème 7.3) de ce chapitre, nous allons établir quelques propriétés caractéristiques des utilités progressives qui nous permettront de simplifier de manière très significative la preuve du résultat principal (7.3) de ce chapitre.