Modelage des matrices de sensibilité

Définition 1.06 : Nous définissons deux indicateurs de performance à partir de la norme 𝐻∞ sur les matrices de sensibilité et sensibilité complémentaire par [1.05]: 𝑀𝑆 = ‖𝑆‖∞ et 𝑀𝑇 = ‖𝑇‖∞ 𝑀𝑆 et 𝑀𝑇 correspondent à un pic de la courbe de gain de chacun des transferts considérés. Des valeurs de 𝑀𝑆 et 𝑀𝑇 grands indiquent une faible performance du système ainsi qu’une faible robustesse vis-à-vis des perturbations pouvant l’affecter. Des valeurs typiques sont données par : 𝑀𝑠 ≤ 2 (6 dB) et 𝑀𝑇 ≤ 1,25 (2dB). 1.10.1 Marge de module La marge du module est donc la plus petite distance du point critique au lieu de transfert en boucle ouverte : ∆𝑀 = 1/𝑀𝑆 (1.29) 1.10.2 Bande passante en boucle fermée La bande passante en boucle fermée est définie par la pulsation de coupure 𝜔𝑐 pour laquelle : ‖𝑆(𝑗𝜔𝑐 )‖∞ = 1 √2 (1.30) 

Différentes formes de modèles d’erreurs

Forme du modèle d’erreurs Processus perturbé 𝑮̃ Condition de robustesse en stabilité 𝑾𝟐𝒉 Additive directe [𝐺 + ∆𝑛𝑠] ‖𝑊2𝐾𝑆‖∞ < 1 𝑊2𝐺 −1 Additive inverse [(𝐼 + 𝐺∆𝑛𝑠) −1𝐺] ‖𝑊2𝐺𝑆‖∞ < 1 𝑊2𝐾 −1 Multiplicative directe en sortie [(𝐼 + ∆𝑛𝑠)𝐺] ‖𝑊2𝑇‖∞ < 1 𝑊2 Multiplicative directe en entrée 𝐺[(𝐼 + ∆𝑛𝑠)] ‖𝑊2𝑇′‖∞ < 1 𝑊2 Multiplicative inverse en sortie [(𝐼 + ∆𝑛𝑠) −1𝐺] ‖𝑊2𝑆‖∞ < 1 𝑊2(𝐺𝐾) −1 Multiplicative inverse en entrée [𝐺(𝐼 + ∆𝑛𝑠) −1 ] ‖𝑊2𝑆′‖∞ < 1 𝑊2(𝐾𝐺) −1 Tableau 1.01 : Différentes formes de modèles d’erreurs 15 1.12 Gabarit de la robustesse en stabilité Dans le cas général, on peut mettre les différentes conditions de robustesse en stabilité du système perturbé en boucle fermée sous la forme [1.05] [1.06]: ∀𝜔 ∈ ℝ , ‖𝑊2ℎ𝑇‖∞ < 1 (1.31) Cette inégalité est équivalente à : ∀𝜔 ∈ ℝ , 𝜎[𝑇(𝑗𝜔)] < 1 |𝑊2ℎ(𝑗𝜔)| (1.32) En utilisant la propriété des valeurs singulières et l’inégalité (1.32), nous avons : ∀𝜔 ∈ (𝜔ℎ, +∞) , 𝜎[𝐺(𝑗𝜔)𝐾(𝑗𝜔)] < 1 |𝑊2ℎ(𝑗𝜔)| (1.33) Nous obtenons le gabarit de la robustesse en stabilité de la figure 1.13 : Gabarit de la robustesse en stabilité .

Robustesse en performance

Nous dirons que le système bouclé perturbé satisfait la robustesse en performance si la condition de performance nominale est vérifiée pour toute une classe de processus de matrices de transfert 𝐺̃, différent de 𝐺 par l’une quelconque des formes de représentation des incertitudes de modèle. Définition 1.07: Rechercher la robustesse en performance revient à fixer un majorant noté 𝜀𝑦 de l’erreur 𝒚 du système perturbé, qui est supérieur à la norme −∞ de sa matrice de sensibilité 𝑆̃ en fonction de la fréquence 𝜔. La spécification de la robustesse en performance du système perturbé est définie par : ‖𝑆̃(𝑗𝜔)‖∞ < 𝜀𝑦 (1.34) 16 La matrice de transfert de robustesse en performance est calculée entre la consigne 𝒄 et la sortie pondérée 𝑧1 de la figure 1.15. Elle est notée 𝑀𝑟𝑝. L’introduction entre le vecteur d’entrée 𝑐 et le vecteur de sortie 𝑧1 d’une matrice d’erreurs fictives ∆𝑓 avec ‖∆𝑓‖ ∞ < 1 permet de transformer le schéma d’analyse de robustesse en performance de la figure 1.01 en un schéma d’analyse de la robustesse en stabilité. Nous obtenons alors le schéma – bloc de la figure 1.14. Schéma bloc du système perturbé avec introduction du modèle d’erreur fictive En isolant respectivement les erreurs de modèle ∆𝑓 et ∆, nous obtenons le schéma bloc de la figure 1.15. Schéma bloc du système perturbé pour l’analyse de la robustesse en performance 17 Théorème 1.05 : Sous les hypothèses suivantes :  tous les pôles de la matrice de transfert nominale du système en boucle fermée sont à partie réelle négative ;  la matrice des erreurs de modèle ne possède pas des pôles à partie réelle négative. Le système de la figure 1.16 est stable pour toute matrice ∆𝑟𝑝(𝑠) ∈ ∆(𝑠) telle que ‖∆𝑟𝑝‖∞ < 1, si et seulement si : ∀𝜔 ∈ ℝ , ‖𝑀𝑟𝑝(𝑗𝜔)‖∞ < 1 (1.35) Avec ∆𝑟𝑝= {𝑑𝑖𝑎𝑔[∆, ∆𝑓]} (1.36)

Synthèse H∞ 1

Résolution par les équations de Riccati

La synthèse H∞ des systèmes linéaires à temps continu propose un cadre général pour le calcul d’un correcteur en manipulant des concepts fréquentiels. Elle permet de prendre en compte des objectifs de stabilité, de marges de stabilité et de modelage de différentes matrices de transfert. Nous exposons dans ce paragraphe la notion de problème standard et la méthode de résolution du problème H∞ standard par l’équation algébrique matricielle de Riccati. Nous décrivons également l’algorithme 𝛾 – itération pour la résolution du problème H∞ standard. La synthèse H∞ permet de prendre en compte, à priori et explicitement, des spécifications fréquentielles et temporelles du cahier de charges, simplifiant ainsi la synthèse. En effet, les spécifications fréquentielles sont naturellement prises en compte par la synthèse H∞. Les spécifications temporelles classiques (temps de montée, rejection de perturbations, atténuation de bruit, découplage, erreur statique, dépassement) peuvent être facilement interprétées dans le domaine fréquentiel. Le second avantage est d’ordre méthodologique. En effet le critère H∞ est construit directement à partir du cahier de charges, ce qui est particulièrement intéressant pour des spécifications nombreuses et complexes. Or les spécifications sont facilement traduisibles en terme de gabarits fréquentiels. Et les gabarits fréquentiels correspondent aux pondérations en entrée et en sortie que l’on trouve dans la synthèse H∞ pondérée. Ainsi, le choix des gabarits se fait de façon méthodologique. Le troisième avantage est basé sur la représentation fréquentielle. Or cette représentation fréquentielle est à la base de l’analyse de la robustesse par le théorème du petit gain et son extension à la 𝜇-analyse. 18 La synthèse H∞ permet de synthétiser des correcteurs robustes en prenant en compte explicitement des incertitudes dynamiques. De plus, cette approche peut être étendue à la désensibilisation de la boucle fermée aux incertitudes paramétriques et aux non-linéarités. En d’autres termes, on utilise un critère unique pour ajuster au mieux le compromis performance/robustesse. Enfin, l’approche fréquentielle est une approche naturelle pour l’amortissement des modes souples puisqu’il s’agit de contraindre les pics de résonance sur certains transferts de la boucle fermée.

Le problème H∞ standard

Le modèle incertain du système étant défini, il s’agit de calculer une loi de commande compatible avec la structure en contre-réaction de la figure 1.16 et qui confère au système la meilleure insensibilité aux éventuelles incertitudes et perturbations tout en lui permettant d’atteindre un niveau de performance satisfaisant. Cela implique le choix d’une structure de commande par la définition de spécifications fonctionnelles et le choix d’une méthode de synthèse. La synthèse H∞ utilise la notion de problème standard, qui est représenté sur la figure 1.16, la matrice de transfert du processus augmenté 𝑃(𝑠) modélise les interactions dynamiques entre deux ensembles de vecteurs d’entrées et deux ensembles de vecteurs de sorties.