Modèle géométrique des engrenages

Les modèles de comportements étudiés nécessitent d’avoir une représentation géométrique de l’engrenage. Le modèle basé sur la projection de points dans le plan d’action est basé sur une représentation discrète des surfaces de substitution. Les modèles basés sur TCA et la dichotomie Modèle géométrique des engrenages Modèles et outils d’analyse des variabilités en phase de conception des produits à denture 56 « 3D » requiert une expression paramétrique des surfaces de substitution. La section suivante explicite l’obtention de ce modèle paramétrique. Il est possible de considérer différentes représentations des surfaces de substitution d’un engrenage (Figure 2-19):  une représentation paramétrique des surfaces.  une représentation multiparamétrique : un ensemble de surfaces reliées entre elles par des conditions de raccordement pour que, ensemble, elles représentent la surface active globale,  une représentation de type éléments surfaciques (triangles par exemple)  une représentation discrète (un ensemble de points par exemple)  … Figure 2-19 – Quelques représentations mathématiques de surfaces de dents Le choix du modèle mathématique des surfaces dépend du modèle de comportement cinématique utilisé. Le modèle de comportement de projection de points dans le plan d’action s’appuie sur une représentation discrète des surfaces de substitution. L’ensemble des points peut être obtenu en discrétisant une représentation paramétrique continue des surfaces de substitution par exemple. Cette étape de discrétisation n’est pas un obstacle, l’inverse l’est. Ainsi, l’objectif de cette section est d’expliciter le modèle géométrique de substitution développé pour l’analyse de l’engrènement basée sur TCA ou la dichotomie (Figure 2-20) : u v S =S(u,v)  i S Si ui vi = ( , ) ( , ) Si ui vi  i S Triangle ui vi = ( , ) ( ) i T S xi yi zi = , , Modèles et outils d’analyse des variabilités en phase de conception des produits à denture 57 Figure 2-20- Position de la section 2.4 dans la simulation de l’engrènement sans charge Le modèle géométrique proposé doit fournir une représentation paramétrique des surfaces de substitution et permettre l’estimation de l’influence d’écarts géométriques et de tolérances sur ces écarts sur l’erreur cinématique. Il est contraint à être cohérent avec les modèles de représentation des spécifications dans le cas des engrenages. Cet aspect est implicite dans ce chapitre et sera développé dans le chapitre 3. La prise en compte des défauts de forme d’une surface active nécessite la possibilité de générer des surfaces de forme très diverses. Dans ses travaux, Bruyère [Bruyère 2006] propose une modélisation des défauts de formes en ajoutant des déformations normales à la surface nominale (Figure 2-21 ). 

Construction des surfaces de substitution par des surfaces de Bézier

Comme il a été mentionné précédemment, les polynômes sont réputés pour leur facilité de mise en œuvre, leur robustesse, et leur stabilité. Nous proposons d’approximer un nuage de points, intégrant les variations géométriques par des surfaces de Bézier. Ces dernières ont fait l’objet de nombreuses études, et notamment dans le domaine du Reverse Engineering ou retro conception. La rétro-conception consiste à obtenir une description mathématique continue (paramétrique par exemple) d’un objet à partir d’un modèle physique via sa représentation discrète (nuage de points). Plusieurs techniques sont possibles [Popiel 2006], [Cattiaux-Huillard 1999], [Yau 1995], [Ueng 1998], [Werner 1998]. Introduction des défauts géométriques (Position, Orientation et Forme) Les surfaces NURBS (Non Uniform Rational Bézier Surface) sont celles qui offrent la meilleure image du nuage de points. Une surface NURBS est constituée d’un ensemble de carreaux élémentaires de degré deux par deux par exemple, raccordés entre eux par des conditions de continuité en tangence et en courbure. La surface est l’union d’un ensemble de surfaces polynomiales ou rationnelles. Bien que cette approche soit intéressante d’un point de vue géométrique puisqu’elle permet la reconstitution de surfaces de forme très variées et permet de considérer des variations de courbures très importantes, elle ne peut être mise en œuvre que très difficilement pour la recherche de points de contact en utilisant TCA ou la dichotomie. Il serait alors nécessaire de connaître les deux carreaux les plus proches pour le contact, ce qui d’un point de vue algorithmique peut être très fastidieux à mettre en œuvre du fait de la combinatoire importante. Afin de s’affranchir de l’aspect combinatoire des surfaces définies par morceaux comme les surfaces NURBS, nous proposons d’approximer les nuages de points des surfaces intégrant les variations géométriques par un unique carreau de Bézier. L’approximation (ou lissage) est préférable dans notre cas à l’interpolation étant donné le nombre substantiel de points pouvant constitués les nuages. La section suivante établit la formulation mathématique d’une surface de Bézier.