MODÉLISATION DE GUERRE

Loi carrée de Lanchester 

Le modèle carré de Lanchester ou loi carrée de Lanchester est le plus connu des modèles classiques de Lanchester. Lanchester considérait ce modèle particulièrement important pour la guerre moderne (1917). Définition 1.6 Soient deux unités de force X et Y en guerre. Le modèle carré de Lanchester ou loi carrée de Lanchester est un cas particulier des équations généralisées de Lanchester en posant r = u = 0 et s = v = 1. Elle est donnée par dx dt = −K2y ; x(0) = x0 (1.7) dy dt = −K1x ; y(0) = y0 (1.8) où K1 : taux de destruction pour une unité X opérationnelle contre les unités Y opérationnelles K2 : taux de destruction pour une unité Y opérationnelle contre les unités X opérationnelles Ce modèle décrit le combat entre deux forces homogènes utilisant des armes à longue portée telles des armes à feu comme tanks, revolver, fusil mitrailleur … Tous les deux se battant sous l’hypothèse d’informations tactiques complètes. L’information tactique complète signifie qu’une unité opérationnelle arbitraire est à tout moment capable de détecter au moins des nombreuses unités opérationnelles hostiles car elle est capable de tuer. En outre, on suppose que toutes les unités opérationnelles de chaque côté sont en mesure de partager pleinement leurs informations et de coordonner leur puissance de feu parmi les unités hostiles opérationnelles. En fait, la puissance de feu est le seul facteur limitant. Les capacités de détection et de coordination sont supposées suffisantes pour le tir. Cette hypothèse peut être tout à fait irréaliste, car il est difficile d’identifier de nombreuses situations de combat modernes, où l’hypothèse est respectée des deux côtés. Par exemple, très peu d’opérations de l’armée sont effectuées avec des informations tactiques complètes des deux côtés. Au sein de l’OTAN, le modèle carré est souvent utilisé sans tenir compte de cette hypothèse. Proposition 1.2 Le modèle carré est simple et peut être résolu par des moyens analytiques. De la solution analytique, il est possible de tirer les critères suivant pour la victoire – Si K1x 2 0 > K2y 2 0 alors X porte la victoire avec une taille finale xf = r x 2 0 − K2 K1 y 2 0 11 – Si K1x 2 0 < K2y 2 0 alors Y porte la victoire avec une taille finale yf = r y 2 0 − K1 K2 x 2 0 – Si K1x 2 0 = K2y 2 0 alors même destruction

 Loi mixte de Lanchester ou modèle de combat mixte

 Définition 1.7 La loi mixte de Lanchester ou modèle de combat mixte est un mélange du modèle carré et du modèle de guérilla. Elle est encore un cas particulier des équations généralisées de Lanchester en posant r = 0 et s = u = v = 1. Elle est donnée par dx dt = −K2y ; x(0) = x0 (1.9) dy dt = −αxy ; y(0) = y0 (1.10) Ce modèle décrit le combat entre deux forces homogènes. L’interprétation pourrait être que X avance sur un terrain ouvert à la recherche et à la lutte contre Y . Y se bat en position cachée et camouflée. Le taux de détection est le seul facteur limitant pour X. La puissance de feu est le seul facteur limitant pour Y . Proposition 1.3 Ce modèle mixte peut être résolu par des moyens analytiques. De la solution analytique, il est possible de tirer les critères suivant pour la victoire – Si αx2 0 > 2K2y0 alors X porte la victoire avec une taille finale xf = r x 2 0 − 2K2 α y0 – Si αx2 0 < 2K2y0 alors Y porte la victoire avec une taille finale yf = y0 − α 2K2 x0 – Si αx2 0 = 2K2y0 alors même destruction Preuve. En faisant le rapport entre l’équation 1.10 et l’équation 1.9, nous avons dy dx = α K2 x 15 K2dy = αxdx En intégrant membre à membre, nous avons K2(yf − y0) = α 2 (x 2 f − x 2 0 ) 2K2yf = αx2 f + 2K2y0 − αx2 0 • Si 2K2y0 − αx2 0 = 0, nous avons 2K2yf − αx2 f = 0 si yf tend vers 0, alors xf le aussi ; si xf tend vers 0, alors yf le aussi ; D’où X et Y ont même destruction. 

 La croissance de ressource et de dépense militaire d’un État

 Notre modèle de base part de deux hypothèses sur la croissance des ressources. Tout d’abord, la croissance économique et militaire demandent des investissements. Le plus investi s’agrandit plus vite. Plus l’État investit dans l’armée, moins il peut investir dans l’économie. Les dépenses militaires comportent le coût d’opportunité de la réduction des dépenses économiques. Remarque 1.1 En partant de ces hypothèses, la croissance des ressources d’une nation est en fonction de la quantité de ses ressources investies dans la croissance économique et du montant qu’elle investit dans les préparatifs militaires pour les combats. 

Définition 1.8 

Les dépenses militaires d’une nation sont conditionnées au niveau des dépenses militaires de l’autre nation. 

 La croissance de ressource et de dépense militaire d’un État dans la rivalité en temps de paix 

Proposition 1.4 (Kadera[4]) La croissance de ressource d’une nation i dans la rivalité en temps de paix est donnée par r 0 i = αi(ri − mi)(1 − ri Ki − mi ) − βi mi ri (1.11) où ri la base de ressources agrégée de la nation i, ri ≥ 0 ; mi le niveau de dépenses militaires de la nation i, 0 ≤ mi ≤ ri ; Ki le niveau maximal de développement économique de la nation i; αi est le multiplicateur de la croissance économique de la nation i βi , αi ∈ R+. Proposition 1.5 (Kadera [4]) La croissance de dépense militaires d’une nation i par rapport à l’autre nation j dans la rivalité en temps de paix est donnée par m0 i = δimj (1 − mi ri ) (1.12) où ri la base de ressources agrégée de la nation i, ri ≥ 0 ; mi (resp. mj ) le niveau de dépenses militaires de la nation i (resp. la nation j), 0 ≤ mi ≤ ri ; δi ∈ R+.