Etude par modélisation de la commande optimale des systèmes de chauffage des bâtiments utilisant des chaudières à charbon

COMMANDE DE SYSTEMES DE CHAUFFAGE DE BATIMENT BASEE SUR LE PRINCIPE D’OPTIMISATION QUADRATIQUE

L’objectif d’un système de régulation de bâtiment est de minimiser la consommation d’énergie tout en maintenant un confort souhaité dans les locaux concernés. Dans les cas où les bâtiments chauffés ne sont pas occupés en permanence, où le coût de l’énergie n’est pas constant au cours de la journée, et où l’on peut faire appel à plusieurs sources d’énergie, il est très difficile d’établir une loi de commande qui permette d’optimiser le fonctionnement de l’installation de chauffage. La mise au point d’une stratégie de commande élaborée basée sur le principe de la commande optimale peut donc être envisagée. Beaucoup d’études ont été réalisées sur la commande optimale de systèmes de chauffage. Ces travaux ont fait ressortir l’intérêt de la commande optimale, en particulier dans les cas où intervient l’intermittence. Les travaux du groupement IRCOSE [IRC0.85] regroupant l’Agence Française pour la Maîtrise de l’Energie, l’Ecole des Mines, le Gaz de France et le CSTB ont abordé spécialement les applications de la commande optimale sur les systèmes de chauffage. De nombreux autres travaux tels que [V1N0.89], [ACRE.90], [BOUR.87] et [ROSS.86] relèvent aussi ces préoccupations. Ces travaux ont porté principalement sur l’utilisation des méthodes de commande optimale basées sur le  » principe du minimum de Pontriaguine ». Ils ont permis la mise au point de méthodes de conduite efficaces d’installations de chauffage. Le principal avantage de cette méthode réside dans sa souplesse d’utilisation. Elle permet les prises en compte de critères complexes et des contraintes sur les amplitudes d’action ; elle peut aussi être utilisée pour la commande de systèmes non linéaires. Cependant, la recherche de l’optimisation dans cette méthode s’effectue par une méthode itérative, en particulier lorsqu’il existe des contraintes sur la commande. A chaque itération, il faut calculer les variables d’états, le critère à minimiser et le gradient de ce critère. Cela exige des calculateurs disposant d’une puissance non négligeable, et conduit à des temps de calcul considérables. De plus, la convergence de cet algorithme risque d’être très lente lorsque l’optimisation est fait sur un intervalle de temps important. Or la gestion de l’intermittence du chauffage nécessite justement que l’optimisation soit réalisée sur un grand intervalle de temps. D’autre part, cette méthode nécessite l’emploi simultané d’un modèle en état continu et d’un modèle en état discret. Ces inconvénients sont des obstacles effectifs à la mise en oeuvre de cette méthode de commande optimale. C’est pour ces raisons que cette méthode peut être considérée comme un outil d’étude pouvant aider à la conception de stratégie simple (dite quasi optimale) de commande au moins autant que comme un outil de commande des installations. 92 Une autre méthode utilisée pour la commande de système de chauffage intermittent est la programmation linéaire [BENJ.87]. La solution consiste à discrétiser le système continu linéaire modélisant le problème de l’intermittence, puis à minimiser à chaque pas de temps le critère concerné. L’avantage de cette méthode est qu’elle peut prendre en compte des contraintes sur les variables d’état, et qu’elle a une convergence plus rapide et plus sûre. Mais on constate que le nombre de variables devient considérable puisqu’à chaque pas de temps, chacune des variables continues est remplacée par une variable discrète. De plus, le calcul est d’autant plus important que l’intervalle de temps est plus grand. La réalisation de cette méthode nécessite donc également un ordinateur de grande capacité de mémoire. Cela limite effectivement les applications de cette méthode. Compte tenu des limites d’application des méthodes décrites, il nous est apparu plus pertinent de rechercher une autre méthode de commande possédant les mêmes fonctionnalités, et ayant si possible la même efficacité tout en étant moins complexe. En examinant les méthodes de commande optimale développées en automatique, nous nous sommes aperçus qu’il existait des méthodes exigeant moins de calcul à chaque pas de temps et beaucoup plus faciles à réaliser. Une de ces méthodes est basée sur le principe d’optimisation quadratique [ATHA.66], [FOUL.87]. L’optimalisation d’un critère quadratique pour un système linéaire est l’un des rares problèmes que l’on puisse résoudre analytiquement. A partir de cette méthode, on obtient en effet une structure de commande en boucle fermée, où les mesures des sorties ou les estimations des états sont utilisées en permanence. Avec les hypothèses de stationnante du système et d’horizon de commande infini, la commande optimale devient simplement un calcul algébrique qui est très facile à mettre en oeuvre. D’autre part, cette méthode se prête à des extensions pratiques selon les besoins différents. Diverses améliorations telles que la compensation des perturbations mesurables, l’annulation des erreurs stationnaires etc.. sont possibles sans compliquer la mise en oeuvre de cette méthode. La commande basée sur le principe d’optimisation quadratique a déjà été utilisée dans de nombreux procédés industriels. On peut citer en particulier l’application à une unité pilote de fabrication de papier pour les commandes du grammage sec et de l’humidité de la feuille de papier fabriquée [SAND.73], l’application à la conduite d’une chaudière pour la commande de la pression de vapeur [EKLU.69]. Dans cette troisième partie, nous étudierons l’application de cette méthode aux systèmes de chauffage à chaudière à charbon dans les bâtiments occupés de façon intermittente. Dans le chapitre 10, nous rappellerons d’abord le principe de la commande et donnerons la solution discrète de la commande optimale. Nous étudierons ensuite des améliorations de la structure de commande, notamment pour la prise en compte de contraintes sur les action. Le chapitre 12 sera consacré à l’étude de la sensibilité de la commande optimale sur les écarts du modèle. Une méthode d’auto-réglage qui permet de corriger automatiquement les erreurs de commande dues aux imprécisions du modèle ou à d’autres causes sera proposée dans ce chapitre. Les applications de la commande optimale au système de chauffage intermittent seront étudiées en deux étapes. Le chapitre 11 nous permettra de comprendre, en réduisant l’installation de chauffage à un système sans inertie, comment la stratégie de la commande proposée est applicable au système de chauffage intermittent. Des simulations seront effectuées afin de faire ressortir les comportements de la commande et les influences des différents facteurs sur ces comportements. Des comparaisons avec d’autres systèmes de commande seront également effectuées. Dans le chapitre 13, l’installation de chauffage posède une grande inertie. En intégrant les modèles de chaudière à charbon et du réseau d’eau en tant que système de chauffage, nous pourrons apprécier l’importance de la prise en compte de l’inertie de l’installation de chauffage sur la régulation du système de chauffage intermittent. 

COMMANDE OPTIMALE BASEE SUR LE PRINCIPE D’OPTIMISATION QUADRATIQUE 

Rappels théoriques

D’un point de vue pratique, le travail est effectué en se basant directement sur le modèle discret. Cela nous permet de déterminer la loi de commande sous une forme discrète qui peut être utilisée directement dans un calculateur industriel. C’est pour cette raison que nous avons pris comme point de départ de notre étude les résultats représentés dans le livre de M. FOULARD [FOUL.87] et dans la thèse de M. SANDRAZ [SAND.75]. Nous les rappelons brièvement ci-après.

FORMULATION GENERALE DE LA COMMANDE OPTIMALE

Le système linéaire est supposé être une représentation d’état discret.commandable et observable. Il a la forme suivante : X(i+1) = A . X(i) + B . U(i) + 9 (10-1) Y(i ) = C.X(i) dans laquelle, U(i) est le secteur d’entrée de dimension r dont les composantes peuvent être la puissance du chauffage, le débit du combustible etc . X(i) est le vecteur d’état de dimension n dont les éléments sont soit des températures soit la masse du combustible. Y(i) est le vesteur de sortie de dimension m dont les éléments sont les variables à contrôler telles que les températures de bâtiment. 9 est un vecteur constant, de dimension n, qu’il convient de prendre en compte pour permettre de traiter facilement certaines extensions que nous développerons ultérieurement. Les matrices A, B, et C sont constantes et ont respectivement pour dimension (n,n) ; (n,r) et (m,n). Si e(i) est l’écart entre le vecteur de consigne Z et le vecteur de sortie Y(i), la commande optimale recherchée, qui est donc une suite de vecteurs U(i), doit minimiser un critère quadratique J tel que : N-l J = Z [ e(i)T . Q . e(i) + U(i)T . R . U(i) ] (10-2) i=l Les matrices de pénalisation Q et R sont respectivement de dimension (m,m) et (r,r), elles sont symétriques et définies positives. Plusieurs théories permettent de traiter le problème de la commande optimale des systèmes linéaires par minimisation d’un critère quadratique. Nous obtenons ci-dessous la stratégie de la commande optimale à partir du « principle of optimality » qui nous offre une présentation simple et à caractère « intuitive ». Ce principe est le suivant : Si l’ensemble des actions correspondant au problème initial P est optimal, l’ensemble des actions correspondant au problème partiel P1 doit l’être également, quelles que soient les données du problème initial P et les actions déjà réalisées (appartenant donc à la politique optimale) pour passer dePàP. . 94 Il est facile d’appliquer ce principe à la détermination de la loi de commande minimisant le critère quadratique J défini par l’équation (10-2) (FOUL.87). 

COMPENSATION DES PERTURBATIONS MESURABLES

En situation réelle, il arrive souvent qu’un modèle dynamique de système comporte un nombre d’entrées supérieur au nombre d’actions pratiques utilisées pour assurer la commande de sorties. Autrement dit, les entrées comportent des actions contrôlables ainsi que des perturbations non contrôlables. Mais dans les équations représentées ci-dessus, nous n’avons pas pris en compte ces données aléatoires. L’influence de ces entrées non contrôlables est compensée par la régulation des sorties. Mais ceci peut nuire à la qualité de la commande. Il est donc souhaitable d’intégrer ces entrées non contrôlables (perturbations) pour améliorer les performances de la commande. Nous traitons ici uniquement du cas des perturbations mesurables. La prise en compte de ces perturbations mesurables oblige à adjoindre, au modèle du système initial, un modèle supplémentaire qui définit l’influence de ces perturbations.

Utilisations et formules pratiques

Nous avons rappelé ci-dessus la structure de commande optimale qui est constituée de deux termes (équation 10-11) : le terme de correction L(i)X(i) et le terme anticipatif H(i). A partir de l’équation (10-11), on constate que la valeur de H(i) dépend de celle de la consigne Z. Lorsque cette dernière est changée, il est nécessaire de recalculer la matrice G(i) ainsi que H(i). Nous proposerons, dans ce sous-chapitre, une autre structure plus pratique de la commande dont le calcul du terme anticipatif est indépendant de la consigne Z. Cette nouvelle structure est obtenue sous la condition que la consigne Z est constante dans tout intervalle d’itération (ou la modification de Z ne se fait que sous forme d’un échelon à l’instant initial).